第二章单纯形法 在单纯形表中，椒运算古接利用街阵的初等变换讲行计算.而检拾数的计算可以古 接用公式(1.1山)和(1.12)计算，也可以把检验数行与约束条件同等对待，直接进行初等 变换将检验数行中基变量对应的检验数变为0（新基本可行解对应的典式的目标函数中决 策变量的系数)，则G-与行中的数即为各变量对应的检验数 典式中有关系数的经济解释： 取非基变量工m+k,k之1，令工m+=1,其它非基变量仍然为0，由典式可直接得到 （1=-m+ 工2=的-m+k 。。 2'm =bm -dm.mth 而目标函数的取值为 2=20+(cm+k-2m+) 可见典式中非基变量工m+k的系数am+k为增加1单位的m+k后使得第i行的基变量 减少的数量，而检验数cm+k-m+k则为增加一单位的xm+后目标函数的变化量从 经济的角度看，为了从事第m+k项活动1单位，需要消耗一套资源，因此需要减少当前 活动的数量以获得这一套资源m+就是为了获得从事第m+k项活动的一套资源而 减少的第行的基变量对应的活动的数量。i项活动的数量减少。 吃m+单位意味者 工，对目标函数的贡献将损失Gam+,因此为了获得从事m+k项活动1单位所需的 套资源，目标函数将损失的数量（在经济上称为活动m+k的机会费用）为 c-CaPtk=CaB-Pnkmt 可见式(1.11)中值的经济意义就是第方个活动的机会费用.另外从事第m+k项活动 1单位对目标函数的贡献为cm+k,因此从事第m+k项活动1单位而使得目标函数的变 化量为cm+k一zm+k,这就是xm+k的检验数 $2.3单纯形法 单纯形法的基本思路 找到一个基本可行解判断该基本可行解是否为最优解若不是最优解则过渡到另一 更优的基本可行解.重复上述步骤，直到找到最优解或判断不存在最优解为止 这样我们需要解决三个何题 1.如何找到第一个基本可行解（称为初始基本可行解： 2.判定一个基本可行解是否为最优解的判定准则（最优检验准则）： 3.如何在现行基本可行解的基础上得到新的基本可行解 我们以第一章例2的模型为例说明单纯形法的基本步骤。把第一章例2的模型化为
6 ò✡ó✡ôöõ✡÷✡ø❤ù ❋✢❀✢❁✢❂sÐ✺✹✻ïþý✢✒✢✰✢➅sòÓ ✭Û✢Ü✕sÿ✢②✢❝sÞ➢ ➌✢✯✢✰✢ïÓ❡s➨s➩✢Õ✢✕✢✯✢✰✢❳✢ä✢➅ ò✢✭✁sÛ (1.11) ✮ (1.12) ✯✢✰✢ï✖➧✢❳✢ä✢➛s➨s➩✢Õ✢➌✢✿✢❪✢❫❴✢❵ä✢②✢â✁✂✢ï✬➅sò➢ ➌sÿ✢② ❝✁Þ☎✄✁➨✁➩✡Õ✡➌❤✹❥ÿ✡❝✡❞✡â✡✫✡✕✁➨✁➩✡Õ✡❝✡❉ 0(✆✡ÿ✡➼✡❳✡➌✡❏✡â✡✫✡✕✁ç✁Û✡✕ÒÑÓ➹✡Ô✡Õ❤✹❥❛ ❜✡❝✡❞✡✕✁➄✡Õ)ï✬➓ cj − zj ➌❤✹❥✕✡Õ✁❣✡❉✡③✡❝✡❞✡â✡✫✡✕✁➨✁➩✡Õ. ç✁Û❤✹❥▼✡ë✁➄✡Õ✡✕✡✇✡①✡❏☎✝: ü✁✡✡ÿ✡❝✡❞ xm+k,k ≥ 1, à xm+k = 1, ✾✁✞✁✡✡ÿ✡❝✡❞✡✳✡✴✡❉ 0, ❽☛ç✁Û✡❳✡➅✁ò✡✼✡♠: x1 = b 0 1 − a 0 1,m+k x2 = b 0 2 − a 0 2,m+k . . . . . . xm = b 0 m − a 0 m,m+k ❡ÒÑÓ➹✡Ô✡Õ✡✕✡ü✡ý✡❉ z = z0 + (cm+k − zm+k). ❳☎✞✁ç✁Û❤✹☛✡✡ÿ✡❝✡❞ xm+k ✕✁➄✡Õ a 0 i,m+k ❉☎✟✁➱ 1 ❀✁é✡✕ xm+k ➯✡❢✡✼✡❾ i ➌✡✕✡ÿ✡❝✡❞ xi ➘✁➷✡✕✡Õ✡❞, ❡✁➨✁➩✡Õ cm+k − zm+k ➓✡❉☎✟✁➱✡✖✡❀✁é✡✕ xm+k ➯ÒÑÓ➹✡Ô✡Õ✡✕✡❝✡✶✡❞. ★ ✇✡①✡✕✡✱✡✲☎✠, ❉✡➊✡★✡✈✡❾ m + k Ø☎✡☎☛ 1 ❀✁é, ☞✡✣☎✌☎✍✡✖☎✎☎✏☎✑, ❤þ☞✡✣✁➘✁➷✁➇✠ ✡☎☛✕✡Õ✡❞✡ä☎✒✡✼✡↔✡✖☎✎✁✏☎✑, a 0 i,m+k ▲✡✑✡❉✡➊☎✒✡✼✡★✡✈✡❾ m + k Ø☎✡☎☛✕✡✖☎✎☎✏☎✑✡❡ ➘✁➷✡✕✡❾ i ➌✡✕✡ÿ✡❝✡❞✡â✡✫✡✕✡☎☛✕✢Õ✢❞. i Ø☎✡☎☛✕✡Õ✡❞ xi ➘✁➷ a 0 i,m+k ❀✁é, ➏☎✓✡P xi âÒÑÓ➹✡Ô✡Õ✡✕☎✔☎✕☎✄☎✖✡ñ cia 0 i,m+k , ❤þ❉✡➊☎✒✡✼✡★✡✈ m + k Ø☎✡☎☛ 1 ❀✁é☛ ☞✡✕✡✖ ✎☎✏☎✑, ÑÓ➹✡Ô✡Õ☎✄☎✖✡ñ✡✕✡Õ✡❞ (❋✡✇✡①✡❬➱❉✡☎☛ m + k ✕✘✗☎✙☎✚☎✛) ❉ Xm i=1 cia 0 i,m+k = CBP 0 m+k = CBB −1Pm+k = zm+k. ❳☎✞✁Û (1.11) ✹ zj ý✡✕✡✇✡①✡➏✡➐✁▲✡✑✡❾ j ✗ ✡☎☛✕✡◗☎✜☎✢✡✭. ✣☎✤✡★✡✈✡❾ m + k Ø☎✡☎☛ 1 ❀✁é✡âÒÑÓ➹✡Ô✡Õ✡✕☎✔☎✕✡❉ cm+k, ❤þ★✡✈✡❾ m + k Ø☎✡☎☛ 1 ❀✁é✡❡✡❢✡✼ÒÑÓ➹✡Ô✡Õ✡✕✡❝ ✶✡❞✡❉ cm+k − zm+k, ↔✁▲✡✑ xm+k ✕✁➨✁➩✡Õ. §2.3 ✥✧✦✧★✧✩ ❀✡❁✡❂✡❃✡✕✡ÿ✡➼✁➺✁➻: ➟✡♠✡✖✡✗✡ÿ✡➼✡❳✡➌✡❏, ✪☎✫☎✬☎✭☎✮☎✯☎✰☎✱☎✲☎✳☎✴☎✵☎✶☎✱; ✷☎✸☎✲☎✵☎✶☎✱☎✹☎✺☎✻☎✼☎✽☎✾ ✿ ✶☎❀☎✭☎✮☎✯☎✰☎✱. ❁☎❂☎❃☎❄☎❅☎❆, ❇☎✼☎❈☎✼☎✵☎✶☎✱☎❉☎✪☎✫☎✸☎❊☎❋☎✵☎✶☎✱☎✴☎●. ❍☎■☎❏☎❑☎▲☎▼✱☎◆☎❖☎P☎◗☎❘: 1. ❙☎❚☎❈☎✼☎❯☎✾☎P☎✭☎✮☎✯☎✰☎✱ (❱☎✴☎❲☎❳☎✭☎✮☎✯☎✰☎✱); 2. ✪☎❨☎✾☎P☎✭☎✮☎✯☎✰☎✱☎✲☎✳☎✴☎✵☎✶☎✱☎❀☎✪☎❨☎❩☎✹ (✵☎✶☎❬☎❭☎❩☎✹); 3. ❙☎❚☎❋☎❪☎✰☎✭☎✮☎✯☎✰☎✱☎❀☎✭☎❫☎❃☎❴☎✼☎❵☎❀☎✭☎✮☎✯☎✰☎✱. ❏☎❑☎❛ ❯☎✾☎❜☎❝ 2 ❀☎❞☎❡☎✴☎❝☎❢❤❣❥✐☎❦☎❧☎♠☎❀☎✭☎✮✁❅☎❆. ♥☎❯☎✾☎❜☎❝ 2 ❀☎❞☎❡☎♦☎✴
$2.3单纯形法 7 标准型： max 2 =401+45a2+24r3 2x1+3x2+x3+z4 =100 满足 31+3x2+2x +z5=120 马≥0对-切j 一、确定初始基本可行解 对一个线性规划何题，不能任意指定m个变量作为基变量.例如本何题中若选择 x1,r3为基变量.令r2=r4=c5=0.则得基本解：r1=80,x3=-60,r2=x4=r5=0 虽为基本解但不是基本可行解、对约束条件全为“<”形式的线性规划题在转化为标 准型后每一个约束条件方程左端都加了一个松弛变量.若取松弛变量为基变量，则很容易 得到一组基本可行解本例选择x4,5为基变量，则得一组基本可行解 x1=2=x=0,x4=100,x5=120 显然此时原问题的标准型即为初始基本可行解对应的典式。下面为这种典式对应的单纯 形表（初始单纯形表） 表2-1 40 4524 0 CB 120 2 C,-2 40 45 24 二、最优检验准则 最优检验准则： (1).对线性规划问题(1.6)，(1.7)，若基本可行解X对应的典式的目标函数中非基变 量的系数全部满足 CN-CBB-1≤0 则基本可行解X”为原何题的最优解 (②).对线性规划间题(1.6).(1.7)，若基本可行解X'对应的典式的目标函数中所有非 基变量的系数满足； Cw-CBB-1P≤0 且有一非基变量的系数满足，一k=0,则原问题有无穷多组最优解 (③).若基本可行解X'对应的典式的目标函数中非基变量k的系数大于零且k对 应的列向量P%=B-1P≤0，则原问题的解为无限界解. 证明：(1).不妨设基本可行解X'的基变量为x1,x2,,xm,则对应的典式为(1.13)
§2.3 ♣☎q☎r❤s 7 t❩☎❡: max z = 40x1 + 45x2 + 24x3 ✉☎✈ 2x1 + 3x2 + x3 +x4 = 100 3x1 + 3x2 + 2x3 +x5 = 120 xj ≥ 0✇☎✾☎① j. ②☎③⑤④☎⑥☎⑦☎⑧☎⑨☎⑩☎❶☎❷☎❸ ✇❹✾❹P❹❺❹❻❹❼❹❽❹◗❹❘, ✸❹❾❹❿❹➀❹➁❹❨ m P❹➂❹➃❹➄❹✴❹✭❹➂❹➃. ❝❹❙❹✮❹◗❹❘➆➅➇✷❹➈❹➉ x1, x3 ✴☎✭☎➂☎➃, ➊ x2 = x4 = x5 = 0, ✹☎❴☎✭☎✮☎✱: x1 = 80, x3 = −60,x2 = x4 = x5 = 0. ➋ ✴☎✭☎✮☎✱, ➌☎✸☎✲☎✭☎✮☎✯☎✰☎✱. ✇☎➍☎➎☎➏☎➐☎➑☎✴ “≤” ❧☎➒☎❀☎❺☎❻☎❼☎❽☎◗☎❘, ❋☎➓☎♦☎✴t ❩☎❡☎➔☎→☎✾☎P☎➍☎➎☎➏☎➐☎➣☎↔☎↕☎➙☎➛☎➜☎➝☎✾☎P☎➞☎➟☎➂☎➃. ✷☎➠☎➞☎➟☎➂☎➃☎✴☎✭☎➂☎➃, ✹☎➡☎➢☎➤ ❴☎✼☎✾☎➥☎✭☎✮☎✯☎✰☎✱. ✮☎❝☎➈☎➉ x4, x5 ✴☎✭☎➂☎➃, ✹☎❴☎✾☎➥☎✭☎✮☎✯☎✰☎✱: x1 = x2 = x3 = 0, x4 = 100, x5 = 120 ➦✁➧✁➨✁➩✁➫◗✁❘✁❀t❩✁❡✁➭✁✴✁❲✁❳✁✭✁✮✁✯✁✰✁✱✁✇✁➯✁❀✁➲✁➒. ➳✁➵✁✴❍✁➸➲✁➒✁✇✁➯✁❀✁✐✁❦ ❧☎➺ (❲☎❳☎✐☎❦☎❧☎➺): ➺ 2–1 cj → 40 45 24 0 0 cB xB b x1 x2 x3 x4 x5 0 x4 100 2 3 1 1 0 0 x5 120 3 3 2 0 1 zj 0 0 0 0 0 cj − zj 40 45 24 0 0 ➻③⑤➼☎➽☎➾☎➚☎➪☎➶ ✵☎✶☎❬☎❭☎❩☎✹: (1). ✇☎❺☎❻☎❼☎❽☎◗☎❘ (1.6),(1.7), ✷☎✭☎✮☎✯☎✰☎✱ X0 ✇☎➯☎❀☎➲☎➒☎❀➘➹ t☎➴☎➷➅➮➬☎✭✁➂ ➃☎❀☎➱➷ ➑☎✃✉☎✈: CN − CBB −1Pj ≤ 0 ✹☎✭☎✮☎✯☎✰☎✱ X0 ✴➫ ◗☎❘☎❀☎✵☎✶☎✱. (2). ✇☎❺☎❻☎❼☎❽☎◗☎❘ (1.6),(1.7), ✷☎✭☎✮☎✯☎✰☎✱ X0 ✇☎➯☎❀☎➲☎➒☎❀➘➹ t☎➴☎➷➅➮❐☎❒✁➬ ✭☎➂☎➃☎❀☎➱➷☎✉☎✈: CN − CBB −1Pj ≤ 0 ❮ ❒☎✾☎➬☎✭☎➂☎➃☎❀☎➱➷☎✉☎✈ ck − zk = 0, ✹➫ ◗☎❘☎❒☎❰☎Ï☎Ð☎➥☎✵☎✶☎✱. (3). ✷☎✭☎✮☎✯☎✰☎✱ X0 ✇☎➯☎❀☎➲☎➒☎❀➘➹ t☎➴☎➷➅❥➬☎✭☎➂☎➃ xk ❀☎➱➷☎Ñ☎Ò☎Ó❮ xk ✇ ➯☎❀☎Ô❤Õ❥➃ P 0 k = B−1Pk ≤ 0, ✹➫ ◗☎❘☎❀☎✱☎✴☎❰☎Ö☎×☎✱. Ø☎Ù: (1). ✸☎Ú☎Û☎✭☎✮☎✯☎✰☎✱ X0 ❀☎✭☎➂☎➃☎✴ x1, x2, . . . , xm, ✹☎✇☎➯☎❀☎➲☎➒☎✴ (1.13)
第二章单纯形法 任取一非基变量k,令k=日20，k以外的非基变量为0.则得如下解X =-a9 =的-a2.9 (2.14) T=6 取日>0充分小，则可使得，”≥0，即现行解x”仍然为可行解此可行解对应的 目标函数值为 -)a.因为-4<0，所以 加 只中性基变人是祁将提科目标适数位成从眉现行解为是优解 =0十(k 0.可见 (2.由最优检验准则知，X'为最优解由(1)的证明可知，取=0>0充分小，则 可使得X”仍然为可行解.因为 =0.所以2”=0+(c ·2)=0.可见存在另 一可行解X”与最优解X有相同的目标值，即X”也是最优解.易证对任意的0≤α≤1， X=aX'+(1-a)X"仍为原问题的最优解，从而原问题有无穷多组最优解. (3).不妨设基本可行解X'的基变量为x 1,2,,m,则对应的典式为(113).令非 基变量xk=0>0,xk以外的非基变量为0，则得(1.14).因为(@1k,2k ,amk)T≤0 由式(1.14)知任意xk=0>0,都使得1，，工m≥0，即现行解仍然为可行解此可行解 对应的目标函数值为=0+（一）.因 为c-张>0，所以-0+(一2)>0.可见k能无限制的增加而不影响间 题的可行性，目标函数的值也随着(c一)9而无限制的增加，因此原问题有无限界解.口 三、基可行解的改进 如果典式的目标函数中非基变量的系数即非基变量的检验数中至少有一个大于零，不 妨设 基变量xk的检验数ck-CBB-1P>0,且B-1P中至少有一个分量大于零.由最 优检验准则得知，当前的基本可行解还不是最优解，此时需要对基本可行解改进，以便得 到另一个较优的基本可行解 改进基本可行解的方法是在非基变量中选择一个变量，让它变为基变量（称为换人变 量)，再从原基变量中选择一个变量（称为换出变量），让它变为非基变量，得到一个新的基 本可行解 1.换人变量的确定 选择换入变量的基本原则是将变量换入后，得到一组使得目标函数较优的新的基本 可行解由最优检验准则的证明可知，选择检验数满足 c-CBB-1P>0,且B-1P至少有一分量大于0 的非基变量xk进入基后，将使得目标函数的值增加可见当非基变量k的检验数为大于 零的数时，将其换入可使得目标函数的值增加，此时可选择该非基变量为换入变量。 般选择换入变量的原则是选择检验数最大的那个非基变量。在用计算机解线性 划问题时，依次计算每个变量的检验数，第一个使得检验数大于0的那个非基变量就被选 择为换入变量.这样就不必将全部检验数计算出来后再选择最大的检验数，从而减少迭代 时间
8 Ü☎Ý☎Þß♣☎q☎r❤s ❿☎➠☎✾☎➬☎✭☎➂☎➃ xk, ➊ xk = θ ≥ 0,xk ❛☎à❀☎➬☎✭☎➂☎➃☎✴ 0. ✹☎❴☎❙☎➳☎✱ X00: x 00 1 = b 0 1 − a 0 l,kθ x 00 2 = b 0 2 − a 0 2,kθ . . . . . . x 00 m = b 0 m − a 0 m,kθ x 00 k = θ (2.14) ➠ θ > 0 á☎â☎ã, ✹☎✯☎ä☎❴ x 00 1 , . . . , x 00 m ≥ 0, ➭☎❪☎✰☎✱ X00 å➧ ✴☎✯☎✰☎✱. ➨✯☎✰☎✱☎✇☎➯☎❀ ➹ t☎➴☎➷☎æ✴ z 0 = z0 + (ck − zk)θ. ç☎✴ ck − zk < 0, ❐ ❛ z 0 = z0 + (ck − zk)θ < z0. ✯☎è X0 ➅❥❿☎✾☎➬☎✭☎➂☎➃☎é☎ê☎✭☎➔, ➛☎ë☎ä☎❴➘➹ t☎➴☎➷☎æ☎ìã, í☎î☎❪☎✰☎✱☎✴☎✵☎✶☎✱. (2). ï❥✵☎✶☎❬☎❭☎❩☎✹☎ð, X0 ✴☎✵☎✶☎✱. ï (1) ❀☎ñ❤❣❥✯☎ð, ➠ xk = θ > 0 á☎â☎ã, ✹ ✯☎ä☎❴ X00 å➧ ✴☎✯☎✰☎✱. ç☎✴ ck − zk = 0, ❐ ❛ z 00 = z0 + (ck − zk)θ = z0. ✯☎è☎❊☎❋☎✽ ✾ò✯ò✰ò✱ X00 ó✵ò✶ò✱ X0 ❒òôòõò❀ö➹ tòæ, ➭ X00 ÷✲ò✵ò✶ò✱. ➤òñò✇ò❿ò➀ò❀ 0 ≤ α ≤ 1, X = αX0 + (1 − α)X00 å✴➫ ◗☎❘☎❀☎✵☎✶☎✱☎ø⑤í☎î➫ ◗☎❘☎❒☎❰☎Ï☎Ð☎➥☎✵☎✶☎✱. (3). ✸☎Ú☎Û☎✭☎✮☎✯☎✰☎✱ X0 ❀☎✭☎➂☎➃☎✴ x1, x2, . . . , xm, ✹☎✇☎➯☎❀☎➲☎➒☎✴ (1.13). ➊☎➬ ✭☎➂☎➃ xk = θ > 0,xk ❛☎à❀☎➬☎✭☎➂☎➃☎✴ 0, ✹☎❴ (1.14). ç☎✴ (a1,k, a2,k, . . . , am,k) T ≤ 0, ï❥➒ (1.14) ð☎❿☎➀ xk = θ > 0, ➛☎ä☎❴ x1, . . . , xm ≥ 0, ➭☎❪☎✰☎✱å➧ ✴☎✯☎✰☎✱. ➨✯☎✰☎✱ ✇☎➯☎❀➘➹ t☎➴☎➷☎æ✴ z 0 = z0 + (ck − zk)θ. ç ✴ ck − zk > 0, ❐ ❛ z 0 = z0 + (ck − zk)θ > z0. ✯☎è xk ❾☎❰☎Ö☎ù☎❀☎ú☎➜☎î☎✸☎û☎ü☎◗ ❘☎❀☎✯☎✰☎❻, ➹ t☎➴☎➷❀æ÷☎ý☎þ (ck − zk)θ î☎❰☎Ö☎ù☎❀☎ú☎➜, ç➨☎➫◗☎❘☎❒☎❰☎Ö☎×☎✱. ÿ③⑤⑨☎❶☎❷☎❸✁✁✂✁✄ ❙✆☎ò➲ò➒ò❀ö➹ tò➴ò➷➅➬ò✭ò➂ò➃ò❀ò➱➷ ➭ò➬ò✭ò➂ò➃ò❀ò❬ò❭➷ ➅✞✝✆✟ò❒ò✾òPÑòÒòÓ, ✸ Ú☎Û☎➬ ✭☎➂☎➃ xk ❀☎❬☎❭➷ ck − CBB−1Pk > 0, ❮ B−1Pk ➅✠✝✁✟☎❒☎✾☎P☎â☎➃Ñ☎Ò☎Ó. ï❥✵ ✶✁❬✁❭✁❩✁✹✁❴✁ð, ✡☞☛✁❀✁✭✁✮✁✯✁✰✁✱☞✌✁✸✁✲✁✵✁✶✁✱, ➨✁➩▲✁▼✇✁✭✁✮✁✯✁✰✁✱☞✍✁é, ❛☞✎❴ ✼☎✽☎✾☎P✁✏☎✶☎❀☎✭☎✮☎✯☎✰☎✱. ✍☎é☎✭☎✮☎✯☎✰☎✱☎❀☎➣☎♠☎✲☎❋☎➬☎✭☎➂☎➃❤➅❥➈☎➉☎✾☎P☎➂☎➃, ✑✁✒☎➂☎✴☎✭☎➂☎➃ (❱☎✴✁✓✁✔✁✕ ✖ ), ✗☎í➫ ✭☎➂☎➃❤➅❥➈☎➉☎✾☎P☎➂☎➃ (❱☎✴✘✓✁✙✁✕✖ ), ✑✁✒☎➂☎✴☎➬☎✭☎➂☎➃, ❴☎✼☎✾☎P☎❵☎❀☎✭ ✮☎✯☎✰☎✱. 1. ✓✁✔✁✕✖☎④☎⑥ ➈✁➉☞✚✁ê✁➂✁➃✁❀✁✭✁✮➫ ✹✁✲✁ë✁➂✁➃☞✚✁ê✁➔, ❴✁✼✁✾✁➥✁ä✁❴ ➹ t✁➴✁➷✏✁✶✁❀✁❵✁❀✁✭✁✮ ✯☎✰☎✱. ï❥✵☎✶☎❬☎❭☎❩☎✹☎❀☎ñ❤❣❥✯☎ð, ➈☎➉☎❬☎❭➷☎✉☎✈ ck − CBB −1Pk > 0, ❮ B −1Pk✝✁✟☎❒☎✾☎â☎➃Ñ☎Ò 0 ❀☎➬☎✭☎➂☎➃ xk é☎ê☎✭☎➔, ë☎ä☎❴➘➹ t☎➴☎➷❀æ ú☎➜. ✯☎è✁✡☎➬☎✭☎➂☎➃ xk ❀☎❬☎❭➷ ✴Ñ☎Ò Ó ❀➷➩ , ë✁✛✁✚☎ê☎✯☎ä☎❴➘➹ t☎➴☎➷❀æ ú☎➜, ➨☎➩✯☎➈☎➉☎✬☎➬☎✭☎➂☎➃☎✴✁✚☎ê☎➂☎➃. ✾☞✜✁➈✁➉☞✚✁ê✁➂✁➃✁❀➫ ✹✁✲✁➈✁➉✁❬✁❭➷ ✵Ñ ❀☞✢✁P✁➬✁✭✁➂✁➃. ❋☞✣☞✤☞✥☞✦✁✱✁❺✁❻✁❼ ❽☎◗☎❘➩ , ✧✁★✁✤✁✥☎→☎P☎➂☎➃☎❀☎❬☎❭➷ , ❯☎✾☎P☎ä☎❴☎❬☎❭➷☎Ñ☎Ò 0 ❀✁✢☎P☎➬☎✭☎➂☎➃✁✩✁✪☎➈ ➉☎✴✁✚☎ê☎➂☎➃. ❍☎■✩☎✸✁✫☎ë☎➑☎✃☎❬☎❭➷ ✤✁✥✁✬✁✭☎➔✁✗☎➈☎➉☎✵Ñ ❀☎❬☎❭➷ , í☎îì ✟✁✮✁✯ ➩✁✰