第三章线性规划模型的建立 目前线性规划是应用最广泛、最成功的运筹学分支。在线性规划以及运筹学的其它 分支的应用中，一个重要的方面就是建立简繁适当、能反映实际向题的主要因素、得出正 确结论并能取得经济效治的数学隙型。一个经验不丰富的运筹学工作者要做到这一点.是 很不容易的。在大多数情况下建立数学模型要经过儿个阶段的精心思考。建立模型实际 上是一个多次迭代的过程每一次迭代大体上包括：实际向题的抽象、简化，作出假设、 明确变量和参数；形成明确的数学问题；解析的或数值地求解问题；对结果进行分析和验 证，如果符合实际即可应用，否则要进行修改，进入下一次的迭代。最初，为了将实际情 况简化得能较容易地建立一个粗略的、可以使用的模型，常常只考虑少量最重要的因素 而将较多次要因素略去。但这样建立的模型使得模型距实际情况较远，甚至得不出正确的 结论。因此，要在此基础上再加进一些被省略的因素中显得较重要的因素，变更已建立的 模型。然后再加进一些因素，重复建立模型，重复这一过程直到建立一个符合上述要求的 模型为止.此时如再加进不重要的因素，将使得模型变得太复杂，雄以求解或增加的求解 费用大于所取得的经济效益，从而使决策单位得不偿失。这一整套建立数学模型的过程 说起来比较简单，真正做到并不是一件轻而易举的事。有人说，建立数学模型，与其说是科 学，不如说是艺术，这是有一定道理的。 在数材中不可能计论实际工作中的大型问颗.因此本意只通时几个不同卷刑的被简 化的、较为标准的问题来说明建立模型的基本思路和技巧.当然客观现实是复杂的，干变 万化的，不可能有一套一成不变的方法，更不可能在教材中将建立线性规划模型的技巧罗 列无贵。要求从事这米工作的运算学工作著在时间中不断积累经哈，锻炼能力，探素技巧 充分发挥创造性和想象能力，达到热能生巧的地步 例1.混合问题 某石油公司用A,B和C三种原料混合成普通汽油、高级汽油和低铅汽油3种成品 出售.3种原料的单位成本儿每月最大购入量如表31 表3-1 原料单位成本（元/kg)每月最大购入量） 100 50 每公斤成品售价为：普通汽油d元高级汽油e元，低铅汽油了元. 低铅汽油每月最多销售50t, 各种汽油规格如下 普通汽油：A不少于20%.C不多于30% 高级汽油P:A不少于40%，B不少于10%，并不多于20%，C不多于10%， 低铅汽油L:B不少于30%。 要求建立线性规划模型，以决定各种汽油的销售数量来取得最大利润。 解通常，建立墩学草羽的第一步是确宗决策变量.如果我们设工1，工2。工3分别为3 种成品的数量，那么必须知道各种成品的成本和售价，以便决定.现在题目中已给出了 1
✂✁✂✄ ☎✂✆✂✝✂✞✂✟✂✠✂✡☞☛☞✌ ✍✏✎✒✑✒✓✒✔✒✕✒✖✒✗✒✘✒✙✒✚✒✛✒✜✢✙✒✣✒✤✒✥✒✦✒✧✒★✒✩✒✪✒✫✢✬✒✑✒✓✒✔✒✕✒✭✒✮✒✦✒✧✒★✒✥✒✯✒✰ ✩✱✪✱✥✱✗✱✘✳✲, ✴✱✵✱✶✱✷✥✱✸✱✹✱✺✱✖✱✻✱✼✱✽✱✾✱✿✱❀✱✜❂❁✱❃✱❄✱❅✱❆✱❇✱❈✱✥✱❉✷✱❊✱❋✜❂●✱❍✱■ ❏▲❑▲▼▲◆❁▲❖▲●▲P▲◗▲❘▲❙✱✥▲❚✱★▲❯✱❱✱✫ ✴✱✵P✱❲✱❳▲❨✱❩▲✥✱✦▲✧✱★✱❬▲❭✱❪✷✱❫✱❴▲❵✱✴▲❛, ✖ ❜✱❳✱❝✱❞✱✥✱✫❂✬✱❡✱❢✱❚✱❣✱❤✱✐, ✻✱✼✱❚✱★✱❯✱❱✷P✱❥✱❦✵✱❧✱♠✥✱♥✱♦✱♣✱q✱✫❂✻✱✼✱❯✱❱✱❅✱❆ r✖ ✴✱✵❢✱s✱t✱✉✱✥✱❥✱✈, ✇✱✴s✱t✱✉✱❡✱①r✱②✱③: ❅✱❆✱❇✱❈✱✥✱④✱⑤✱✜⑥✽✱⑦✱⑧⑥❭✱❍✒⑨✱⑩✒✜ ❶❏▲❷▲❸▲❹▲❺❚▲❻❽❼▲✣ ❶❏✥✱❚✱★▲❇✱❈✱❻❽❾▲❿✱✥✱➀▲❚✱➁▲➂✱➃✱❾▲❇✱❈✱❻❽➄❑✱➅✱➆▲➇✩✱❿❹❲ ➈⑧⑥➉➅✒➊✒➋❅✒❆✒➌✒➍✒✗✒✘✒⑧⑥➎✒➏✷➆✒➇✒➐✒➑⑧ ➆✒➒✐ ✴ s✒✥✒t✒✉✱✫⑥✙✒➓, ➔✒→✒➣❅✒❆✒❣ ❤✒✽✒⑦✒●✒❁✒↔✒❝✒❞✒➂✒✻✒✼✴✒✵✒↕✒➙✥✒✜⑥➍✒✭✒➛✒✘✒✥✒❯✒❱, ➜✒➜✒➝q✒➞✒➟❸✙✶✒✷✥ ❊✒❋, ➠➣ ↔▲❢▲s✷▲❊▲❋▲➙▲➡✫❽➢❵✱➤✻✱✼✱✥▲❯✱❱▲➛✱●✱❯▲❱✱➥▲❅✱❆▲❣✱❤✱↔▲➦, ➧▲➨●▲❳▲❍▲■❏✥ ❑✱▼✫ ❊✱➩, ✷ ✬ ➩✱➫✱➭r✱➯✱➲➆ ✴✱➳✱➵✱➸✱➙✥ ❊✱❋ ✲➻➺✱●✒↔✶✒✷✥ ❊✱❋, ❷✱➼✳➽✻✱✼✱✥ ❯✱❱✱✫⑥➾✱➚➯✱➲➆ ✴✱➳✱❊✱❋, ✶✱➪✻✱✼✱❯✱❱, ✶✱➪✱❵✱✴❥✱✈✱➶❴✻✱✼✴✱✵➊✱➋r✒➹✷ ➃✱✥ ❯✱❱➔✱➘✫ ➩✱➴➉➯✱➲➆❳✶✱✷✥ ❊✒❋, ➣ ➛✱●✱❯✱❱❷●✱➷➪✱➬, ➮ ✭✱➃✱❾✱➀✱➱➲✥✱➃✱❾ ✃✘✒❡✒❐✒❒✒❖✒●✒✥✒P✒◗✒❘✒❙, ❮ ➠➛✒❰✒Ï✒Ð✒Ñ✒●✒❳✒Ò✒Ó✒✫ ❵✒✴✒Ô✒Õ✻✒✼✒❚✒★✒❯✒❱✒✥✒❥✒✈, Ö▲×▲ØÚÙ↔▲✽▲Ð, Û ■❫▲❴◆❳▲✖✴▲Ü▲Ý➠❞✱Þ✱✥▲ß✱✫áà✱âÖ , ✻▲✼▲❚▲★▲❯▲❱, ã✯Ö✖▲ä ★ , ❳✱➉Ö✖✱å✱æ, ❵ ✖✱à✴✱ç✱è✱é✥✱✫ ✬✒ê✒ëì✲í❳✒➍✒❁✒î▼❅✒❆✒❬✒❭ì✲í✥✒❡✒❱✒❇✒❈, ❊✒➩✒ï✒ð✒➝✒ñ❥✒❦✵ ❳✒ò✒ó✒❱✒✥➵ ✽ ⑦✱✥✱✜❂↔➔✱ô✱õ✥✱❇✱❈Ø✱Ö ❶✻✱✼✱❯✱❱✱✥➫✱ï♣✱ö❹✱÷✱ø✫❂❀✱➾✱ù✱ú✱û✱❅✱✖➪✱➬✥ , ü❷ ý⑦✱✥, ❳✱➍✱❁✱à✴✱Õ✱✴✣✱❳❷✥✱✸✱þ, ➼❳✱➍✱❁✱✬✱ê✱ë✳✲➣✻✱✼✱✑✱✓✱✔✱✕✱❯✱❱✱✥÷✱ø✱ÿ ✂✁✂✄✫ ✷ ➃❮ ß❵ ó✱❬✱❭✱✥✱✦✱✧✱★✱❬✱❭✱❪✱✬➴✂☎ ✲➻❳✂✆✂✝✂✞✱P✱❲, ✟✂✠❁✂✡, ☛✂☞÷✱ø, ✌✩✂✍✂✎✂✏✂✑✱✓❹✂✒⑤✱❁✂✡, ✓✱❴✂✔❁✂✕ø✥✱➂✂✖✱✫ ✗ 1. ✘➋❇✱❈ ✙✂✚✂✛✂✜✂✢ ✘ A✜ B ❹ C ✣✂✤✂✥✂✦✂✘➋✣✂✧ñ✂★✛✜✪✩✂✫★ ✛✱❹✂✬✂✭★ ✛ 3 ✤ ✣✂✮ ❍✂✯✱✫ 3 ✤✂✥✂✦✥✱Ð✱Ñ✱✣ï ❦✇✂✰ ✙✱❡✂✱➒✱❸➉✂✲ 3–1✫ ✲ 3–1 ✥ ✦ Ð✱Ñ✱✣ï (✳/kg) ✇✂✰ ✙✱❡✂✱➒✱❸ (t) A a 100 B b 150 C c 50 ✇ ✜✂✴✣✂✮✂✯✂✵➔: ✧ ñ✂★✛ d ✳, ✩✂✫★ ✛ e ✳, ✬✂✭★ ✛ f ✳ ✫ ✬✂✭★ ✛✇✂✰ ✙✱❢✂✶✂✯ 50t✫ ✷ ✤✂★✛✔✂✸✱➉✱✐: ✧ ñ✂★✛ R:A ❳✱➟✱❐ 20%,C ❳✱❢✱❐ 30%; ✩✂✫★ ✛ P:A ❳✱➟✱❐ 40%,B ❳✱➟✱❐ 10%, ◆❳✱❢✱❐ 20%,C ❳✱❢✱❐ 10%; ✬✂✭★ ✛ L:B ❳✱➟✱❐ 30%✫ ✷ ➃✱✻✱✼✱✑✱✓✱✔✱✕✱❯✱❱, ✭✱❰ç✷ ✤✂★✛✥✂✶✂✯✱❚❸✱Ø❖✱●✱✙✱❡✂✹✂✺✱✫ ✻ ñ✱➜, ✻✱✼✱❚✱★✱❯✱❱✱✥✂✼✴ ✖✱✖❏ç❰✱Ï❷✱❸✫⑥➉➅✂✽✿✾⑩ x1 ✜ x2 ✜ x3 ✩✂❀➔ 3 ✤ ✣✂✮✱✥✱❚❸ , ❁✂❂✂❃✂❄✂❅✱è✷ ✤ ✣✂✮✱✥✱✣ï ❹✯✂✵, ✭✂❆✱❰ç cj ✫⑥û✱✬✱❈ ✍➻✲ ➽❈❇❍ → 1
2 第三章线性规划模型的建立 售价，但由于各种汽油的确切配方不知道，算不出各种汽油的单位成本，因此用上面定义 的决策变量不能建立问题的线性规划模型。 在这个问题里。必须作出两个决策，即每种汽油各用多少A、B和C原料及各生产多 少。遇到这种情况，采用双下标变量往往能顺利的建立模型。我们设： x)=种汽油中所用的原料g) 其中i=A,B,C:=R,PL.这样j种汽油的生产量就是 tj-RL (3.1) 例如对普通汽油TR=xAR十EBR十xCR 与此相似，原料i的需要量就是 =4品，C D= (3.2 例如对原料A,DA=工AR十EAP+王A 目标函数是总销售收入减总成本的余额最大，即 max dT-+eTp+fTL- aDA-bDB -cDo 将式(1.1)和(1.2)代入上式得： max 2 d(TAR+TBR+TCR)+e(TAP+IBP +TCP) +f(FAL+BL+CL)-a(EAR+AP+AL) -b(BR+BP+BL)-c(CR+cp+CL) 根据各种原料每月最大购入量列出第一组约束条件方程 EAB+E4P+E1L.<100000 BR+BP+xBL≤150000 rCR+xCp+xcL≤50000 第二组约束条件方程是对低铅汽油销售量的限制： xAL+xBL+xCL≤50000 第三组约束条件方程是各种汽油规格的限制。以普通汽油规格为例： 普通汽油中原料A的重量≥02， 普通汽油重量 即 TAR AR+rBR+eR之02
2 ❉❋❊❈●■❍✂❏✂❑✂▲✂▼✂◆❋❖❈P✂◗ ✯✿✵, ➢❙❘í❐✷ ✤✿★✛✥❏✿❚✿❯✸✒❳❅✒è, ❱ ❳✒❍ ✷ ✤✿★✛✥✒Ð✒Ñ✒✣ï, ❊✒➩✘r✹ ç✿❲ ✥✱❰✱Ï❷✱❸❳✱❁✱✻✱✼✱❇✱❈✱✥✱✑✱✓✱✔✱✕✱❯✱❱✱✫ ✬❵✱✵❇✱❈✂❳, ❃✂❄❭✱❍✂❨✵❰✱Ï, ➌✇✂✤✂★✛✂✷✘✱❢✱➟ A✜ B ❹ C ✥✂✦✮✷✕✂❩✱❢ ➟✱✫✪❬❴✱❵✂✤❣✱❤, ❭ ✘✂❪✱✐ô❷✱❸✂❫✂❫❁✂❴✂✹✱✥✱✻✱✼✱❯✱❱✱✫ ✽✂✾⑩ : xij = j✤✂★✛ ✲➻❒✱✘✱✥✥✂✦ i(kg) ✯✳✲ i = A, B, C;j = R, P,L✫ ❵✱➤ j ✤✂★✛✥✂✕✂❩❸✺✱✖: Tj = X C i=A xij , j = R, P,L. (3.1) ❵➉✱➄✂✧ñ✂★✛ TR = xAR + xBR + xCR ✫ ã✱➩✂❛✂❜, ✥✂✦ i ✥✂❝✷❸✺✱✖: Di = X L j=R xij ,i = A, B, C. (3.2) ❵➉✱➄✥✂✦ A,DA = xAR + xAP + xAL ✫ ✍ ô✂❞❚✱✖✂❡✂✶✂✯✂❢➒✂❣❡✱✣ï ✥✂❤✂✐✱✙✱❡, ➌ max z = dTr + eTp + fTL − aDA − bDB − cDC . ➣✂❥ (1.1) ❹ (1.2) ✉➒r ❥ ● : max z = d(xAR + xBR + xCR) + e(xAP + xBP + xCP ) +f(xAL + xBL + xCL) − a(xAR + xAP + xAL) −b(xBR + xBP + xBL) − c(xCR + xCP + xCL) ❦✂❧✷ ✤✂✥✂✦✱✇✂✰ ✙✱❡✂✱➒✱❸❍✂✼✴✂♠✂♥✂♦✂♣✱Ü✸✱✈: xAR + xAP + xAL ≤ 100000 xBR + xBP + xBL ≤ 150000 xCR + xCP + xCL ≤ 50000 ✼✂q♠✂♥✂♦✂♣✱Ü✸✱✈✱✖✱➄✬✂✭★ ✛✶✂✯❸✥✂r✂s: xAL + xBL + xCL ≤ 50000 ✼✣✂♠✂♥✂♦✂♣✱Ü✸✱✈✱✖✷ ✤✂★✛✔✂✸✱✥✂r✂s✱✫⑥✭✂✧ñ✂★✛✔✂✸➔ ❵ : ✧ ñ✂★✛ ✲✥✂✦ A ✥✶ ❸ ✧ ñ✂★✛✶ ❸ ≥ 0.2, ➌ xAR xAR + xBR + xCR ≥ 0.2
即 -0.8EAR +0.2BR+0.2ICR<0. 与此相似，普通汽油规格2为： -0.3xAR-0.3xBR+0.7xCR≤0： 高级汽油规格1： -0.6zAP +0.4FBP+0.; 高级汽油规格2： 0.1zAP -0.9rBP+0.1rCP <0; -0.2FAP+0.8FBP-0.2rCP S0. 高级汽油规格3 -0.1xAp-0.1xBp+0.9zcp≤0： 低铅汽油规格： 0.3FAL -0.7FBL +0.3FCL S0. 非负约束： Fij 20,i=A,B,C:j=R,P,L. 这就是这个问题的线性规划模型。 用单纯形法求出这个问题的最优解后，决策者不但知道有利的各种汽油数量，而且知 道各种汽油的确切配方。 例2.多阶段投资问题 某公司有20万元可用于投资，投资方案有以下5种，每种方案的投资额不受限制. 方案A5年内每年都可投资，年初投资1元2年后可收回1.2元 方案B:5年内每年都可投资，年初投资1元，3年后可收回1.3元 方案C:只在第1年初有一次投资机会，每投资1元4年后可收回1,4元 方案D:只在第2年初有一次投资机会，每投资1元，4年后可收回1.7元 方案E:只在第4年初有一次投资机会.每投资1元1年后可收回1.4元 此外每年年初若将1元存入银行，年末可收获106元 投资所得的收益和银行利息可用于投资， 要求建立线性规划棋型，使公司在5年末收获的资金最多. 解将投资和收益情况归纳成表32，对建立数学模型将有帮助。表中投资方案的下 标表示投资年份。用F表示未投资完而存入银行的金额。在第4年，因有投资方案E,所 以没有F4.此外不考虑B4,A5和B,。因这些投资收回时已超过了5年的期限。 表32中虚线的起点是当年年初的投资额，虚线的终点为当年年初的可用金额（第1 年年初是20万元)，两者必须相等。这样对第1年至第5年年初的投资情况，都可建立 个约束条件方程
3 ➌ −0.8xAR + 0.2xBR + 0.2xCR ≤ 0. ã✱➩✂❛✂❜, ✧ ñ✂★✛✔✂✸ 2 ➔: −0.3xAR − 0.3xBR + 0.7xCR ≤ 0; ✩✂✫★ ✛✔✂✸ 1: −0.6xAP + 0.4xBP + 0.4xCP ≤ 0; ✩✂✫★ ✛✔✂✸ 2: 0.1xAP − 0.9xBP + 0.1xCP ≤ 0; −0.2xAP + 0.8xBP − 0.2xCP ≤ 0. ✩✂✫★ ✛✔✂✸ 3: −0.1xAP − 0.1xBP + 0.9xCP ≤ 0; ✬✂✭★ ✛✔✂✸: 0.3xAL − 0.7xBL + 0.3xCL ≤ 0. t✂✉♥✂♦: xij ≥ 0,i = A, B, C; j = R, P,L. ❵ ✺✱✖❵✱✵❇✱❈✱✥✱✑✱✓✱✔✱✕✱❯✱❱✱✫ ✘✱Ð✂✈✱❼✱þ✱➃✱❍ ❵✱✵❇✱❈✱✥✱✙✂✇✱❾✱➚, ❰✱Ï✱❪✱❳✱➢❅✱èà✂✹✱✥✷ ✤✂★✛❚❸ , ➠✂①❅ è ✷ ✤✂★✛✥❏✂❚✂❯✸✱✫ ✗ 2. ❢❧✱♠✂②✂③❇✱❈ ✙✂✜✂✢à 20 ý✳ ➍✱✘✱❐②✂③, ②✂③✸✂④✱à✱✭✱✐ 5 ✤, ✇✂✤✸✂④✱✥②✂③✐✱❳✂⑤✂r✂s✱✫ ✸✂④ A:5 ⑥❋⑦➻✇✂⑥✂⑧➍ ②✂③, ⑥ ➓②✂③ 1 ✳,2 ⑥ ➚✱➍✂❢❋⑨ 1.2 ✳; ✸✂④ B:5 ⑥❋⑦➻✇✂⑥✂⑧➍ ②✂③, ⑥ ➓②✂③ 1 ✳,3 ⑥ ➚✱➍✂❢❋⑨ 1.3 ✳; ✸✂④ C: ➝✬✂✼ 1 ⑥ ➓✱à✴ s②✂③✂⑩✂❶, ✇✂②✂③ 1 ✳,4 ⑥ ➚✱➍✂❢❋⑨ 1.4 ✳; ✸✂④ D: ➝✬✂✼ 2 ⑥ ➓✱à✴ s②✂③✂⑩✂❶, ✇✂②✂③ 1 ✳,4 ⑥ ➚✱➍✂❢❋⑨ 1.7 ✳; ✸✂④ E: ➝✬✂✼ 4 ⑥ ➓✱à✴ s②✂③✂⑩✂❶, ✇✂②✂③ 1 ✳,1 ⑥ ➚✱➍✂❢❋⑨ 1.4 ✳. ➩✂❷, ✇✂⑥✂⑥➓✂❸➣ 1 ✳✂❹➒✂❺✱➇, ⑥✂❻➍✂❢✂❼ 1.06 ✳ ✫ ②✂③❒✱●✱✥✂❢✱❙❹✂❺✱➇✹✂❽✱➍✱✘✱❐②✂③✫ ✷ ➃✱✻✱✼✱✑✱✓✱✔✱✕✱❯✱❱, ➛✜✂✢✬ 5 ⑥✂❻❢✂❼✱✥③✂❾✙✱❢✱✫ ✻ ➣✿②✿③❹❢✒❙✒❣✒❤✿❿✿➀✒✣✿✲ 3-2, ➄✒✻✒✼✒❚✒★✒❯✒❱➣ à✿➁✿➂✒✫✪✲ì✲②✿③✸✿④✒✥✒✐ ô✲✂➃②✂③✂⑥✂➄✫❂✘ F ✲✂➃✂➅②✂③✂➆➠❹ ➒✂❺✱➇✥❾✐✱✫❂✬✂✼ 4 ⑥, ❊à②✂③✸✂④ E, ❒ ✭✂➇✱à F4 ✫ ➩✂❷❳✱q✱➞ B4, A5 ❹ B5 ✫ ❊✱❵✱➳✂②✂③❢❋⑨➴ ➽❈➈❥ → 5 ⑥ ✥✂➉✂r✱✫ ✲ 3-2 ✲❈➊✱✑✱✥× ❛✖✱❀⑥✂⑥➓✱✥②✂③✐ , ➊✱✑✱✥✂➋❛✱➔❀⑥✂⑥➓✱✥✱➍✱✘❾✐ (✼ 1 ⑥✂⑥➓✱✖ 20 ý✳), ❨✱❪❃✂❄✂❛✂➌✫ ❵✱➤➄✂✼ 1 ⑥✱➨✼ 5 ⑥✂⑥➓✱✥②✂③❣✱❤, ⑧➍✱✻✱✼✴ ✵✂♥✂♦✂♣✱Ü✸✱✈:
4 第三章线性规划模型的建立 表3-2 年份（年初）1 3 A 5 6 A1· 1.241 B1..... 1.3B1 1.4C 1.06F 1.24 1.3B D2. 1.7D2 A3, 1.2A3 1.3B3 106F A山 1.2A4 E4.... 1.4E Fs. 1.06F 第1年：A1+B1+C1+F=200000: 第2年：A2+B2+D3+F2=1.06F: A2+B2+D2+-1.06=0 第3年：A3+B+A-1.241-1.0GF2=0: 第4年：44+E4-1.3B1-1.242-1.06F3=0: 第5年：F-1.4C1-1.3B2-1.243-1.4E4=0: 非负约束： A,B,C,D,E5,F≥0，j=1,,5 目标函数是第6年年初（第5年年末）收回的资金最大： maxz=1.7D2+1.3B3+1.2A4+1.06F. 这个问题也可以用动态规划解决 例3.生产进度问题 某工厂生产的一种产品需求有季节性只能在4个月内销售，生产也要在这4个月内 进行。可以在正常工作时间生产，也可以因生产能力的限制而在加班时间生产。某个月产 品的产量可以大于当月的销售量而将多余的产品存贮，但要在当月付出存贮费。第4月未 要将产品全部售完.以免存到第2年。 产品在正常工作时间生产，每月最多能生产100单位，单位成本为15元。在加班时间 生产，每月最多能生产30单位，单位成本为20元。每月生产量及其平均单位成本不一定 要相等。存贮费每月每单位0.2元.4个月的需求量分别为50,130,150及100单位.要求 建立线性规划模型以确定每月在正常时间及加班时间各生产多少产品，使总成本最小
4 ❉❋❊❈●■❍✂❏✂❑✂▲✂▼✂◆❋❖❈P✂◗ ✲ 3–2 ⑥✂➄ (⑥ ➓ ) 1 2 3 4 5 6 A1 . . . . . . . . . . . . . . . 1.2A1 B1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3B1 C1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4C1 F1 . . . . . . 1.06F1 A2 . . . . . . . . . . . . . . . 1.2A2 B2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3B2 D2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7D2 F2 . . . . . . A3 . . . . . . . . . . . . . . . 1.2A3 B3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3B3 F3 . . . . . . 1.06F3 A4 . . . . . . . . . . . . . . . 1.2A4 E4 . . . . . . 1.4E4 F5 . . . . . . 1.06F5. ✼ 1 ⑥: A1 + B1 + C1 + F1 = 200000; ✼ 2 ⑥: A2 + B2 + D2 + F2 = 1.06F1; ➀ : A2 + B2 + D2 + F2 − 1.06F1 = 0; ✼ 3 ⑥: A3 + B3 + F3 − 1.2A1 − 1.06F2 = 0; ✼ 4 ⑥: A4 + E4 − 1.3B1 − 1.2A2 − 1.06F3 = 0; ✼ 5 ⑥: F5 − 1.4C1 − 1.3B2 − 1.2A3 − 1.4E4 = 0; t✂✉♥✂♦: Aj , Bj , Cj , Dj , Ej , Fj ≥ 0, j = 1, . . . , 5. ✍ ô✂❞❚✱✖✂✼ 6 ⑥✂⑥➓ (✼ 5 ⑥✂⑥✂❻) ❢❋⑨➻✥③✂❾✙✱❡: max z = 1.7D2 + 1.3B3 + 1.2A4 + 1.06F5. ❵✱✵❇✱❈✂➍✱➍✱✭✱✘✂➎✂➏✱✔✱✕✱❾✱❰✱✫ ✗ 3. ✕✂❩➆✂➐❇✱❈ ✙❬✂➑✂✕✂❩✱✥✴✂✤❩✂✮✂❝✱➃✱à✂➒✂➓✱✓, ➝❁✱✬ 4 ✵✂✰❋⑦✶✂✯, ✕✂❩✂➍✷ ✬❵ 4 ✵✂✰❋⑦ ➆✱➇✫❂➍✱✭✱✬✱■➜❬✱❭➴✂☎✕✂❩, ➍✱➍✱✭ ❊✕✂❩✱❁✂✡✱✥✂r✂s➠✬➲✂➔➴✂☎✕✂❩✱✫ ✙ ✵✂✰ ❩ ✮▲✥→❩❸➍▲✭▲❡▲❐▲❀✰ ✥✂✶→✯❸➠➣ ❢→❤✱✥→❩✂✮❹→➣, ➢ ✷ ✬▲❀✰→↔❍ ❹→➣✃✫↕✼ 4 ✰→❻ ✷✱➣❩✂✮✂➙✂➛✂✯➆, ✭✂➜❹✂➣✱❴✼ 2 ⑥ ✫ ❩→✮▲✬▲■➜❬▲❭➴→☎✕✂❩, ✇→✰ ✙▲❢▲❁→✕→❩ 100 Ð▲Ñ, Ð▲Ñ▲✣ï▲➔ 15 ✳ ✫❽✬➲→➔➴→☎ ✕✂❩, ✇✂✰ ✙✱❢✱❁✂✕✂❩ 30 Ð✱Ñ, Ð✱Ñ✱✣ï✱➔ 20 ✳ ✫ ✇✂✰ ✕✂❩❸✮✱✯✂➝✂➞✱Ð✱Ñ✱✣ï ❳✴✱ç ✷✂❛✂➌✫ ❹✂➣✃✇✂✰✱✇Ð✱Ñ 0.2 ✳ ✫ 4 ✵✂✰ ✥✂❝✱➃❸✩✂❀➔ 50,130,150 ✮ 100 Ð✱Ñ✱✫ ✷ ➃ ✻✱✼✱✑✱✓✱✔✱✕✱❯✱❱✱✭ ❏ç✱✇✂✰ ✬✱■➜✱➴✂☎✮➲✂➔➴✂☎✷✕✂❩✱❢✱➟✂❩✂✮, ➛✂❡✱✣ï ✙✂➟✱✫
解设 马=在第j月正常工作时间内生产的产品数 j=1,2,34 斯=在第了月加班时间内生产的产品数 1=1.2.3.4 =在第月末存贮的产品数 j=1,2,3. 生产能力限制约束条件方程 x)≤100， 5≤30， j=1,2,3,4 满足需求的约束条件方程是 x1+1-21-50, 2+h+-22=130, +g+2-28=150, 4+3+=100. 非负约束条件是 %320,j-1,2,3.4 目标函数是 minz=15(1+x2+x3+r4)+20(1+9+g+4)+0.2(a+2+23): 例4.工厂选址问题 有A.B、C三个原料产地，其原料要在工厂加工，制成成品，再在销售地出售.A.B 两地又是销售地.已知有关数据如表33 表33 华料产量 每万地成，品所需下费 地点 每牛成品销量 (历) (仟元 30 5. 26 13 4 24 0 3 4t原料制成1t成品， AB问距离150km,BC间距离200km.CA问距离100km. 原料运费每万吨公里300元，成品运费每万吨公里250元. 如在B地设厂，每年生产成品不能超过5万吨，在A、B设厂，生产规模不受限制。 要求建立线性规划模型，使决策人能够决定在哪儿个地点设厂，生产能力多大，以达 到总费用（为简化问题，这里只包括产品加工费、原料及成品运费）最小的目的。 解在建立模型之前，先检查一下题目中所给数据是否产销平衡
5 ✻ : ⑩ xj = ✬✂✼ j ✰ ■ ➜❬✱❭➴✂☎❋⑦✕✂❩✱✥✂❩✂✮✱❚, j = 1, 2, 3, 4; yj = ✬✂✼ j ✰ ➲✂➔➴✂☎❋⑦✕✂❩✱✥✂❩✂✮✱❚, j = 1, 2, 3, 4; zj = ✬✂✼ j ✰✂❻✂❹✂➣✥✂❩✂✮✱❚, j = 1, 2, 3. ✕✂❩✱❁✂✡✂r✂s♥✂♦✂♣✱Ü✸✱✈: xj ≤ 100, yj ≤ 30, j = 1, 2, 3, 4 ➠✂➡❝✱➃✱✥♥✂♦✂♣✱Ü✸✱✈✱✖: x1 + y1 − z1 = 50, x2 + y2 + z1 − z2 = 130, x3 + y3 + z2 − z3 = 150, x4 + y4 + z3 = 100. t✂✉♥✂♦✂♣✱Ü✖ : xj , yj , zj ≥ 0, j = 1, 2, 3, 4. ✍ ô✂❞❚✱✖: min z = 15(x1 + x2 + x3 + x4) + 20(y1 + y2 + y3 + y4) + 0.2(z1 + z2 + z3). ✗ 4. ❬✂➑✂➢✂➤✱❇✱❈ à A✜ B ✜ C ✣✱✵✂✥✂✦❩✱➂, ✯ ✥✂✦✱✷✬✱❬✂➑➲❬ , s✱✣✱✣✂✮, ➯✬✂✶✂✯✱➂✱❍✂✯✱✫ A✜ B ❨✱➂✂➥✱✖✂✶✂✯✱➂✱✫ ➽❅à✂➦✱❚❧➉✂✲ 3–3✫ ➧ 3-3 ➨➫➩ ➭➲➯➲➳➲➵➲➸➲➺ (➻ t) ➭➲➯➲➼➲➽➲➾➲➚➲➺ (➻ t) ➭➻➲➪➼➲➽➲➶➲➹➲➘➲➴➲➷ (➬➲➮) A 30 7 5.5 B 26 13 4 C 24 0 3 4t ✥✂✦s✱✣ 1t ✣✂✮✱✫ AB ☎➥✂➱ 150km,BC ☎➥✂➱ 200km,CA ☎➥✂➱ 100km✫ ✥✂✦✦✃✇ ý✂✃✜❳ 300 ✳, ✣✂✮✱✦✃✇ ý✂✃✜❳ 250 ✳ ✫ ➉✱✬ B ➂✱⑩✂➑, ✇✂⑥✕✂❩✱✣✂✮✱❳✱❁➈❥ 5 ý✂✃, ✬ A✜ B ⑩✂➑, ✕✂❩✱✔✱❯✱❳✂⑤✂r✂s✱✫ ✷ ➃✒✻✒✼✒✑✒✓✒✔✒✕✒❯✒❱, ➛✒❰✒Ï✒â✒❁✿❐✒❰ç ✬✿❒✒❦✵ ➂ ❛⑩✿➑, ✕✿❩✒❁✿✡✒❢✒❡, ✭ ✓ ❴ ❡✃✘ (➔✽✱⑦✱❇✱❈, ❵ ❳ ➝②✱③❩✂✮➲❬✃✜ ✥✂✦✮✱✣✂✮✱✦✃ ) ✙✂➟✱✥ ✍✢✥✱✫ ✻ ✬✱✻✱✼✱❯✱❱✂❮✱✎, ❰✂Ï✂Ð✱✴✐✱❈ ✍➻✲➻❒❇❚❧✖✱➎✂❩✂✶✂➝✂Ñ✱✫