第六章运输问题 在线性规划问题中，有一类特殊类型的问题一运输问题。这类问题主要研究把某种 物资从若干个产地调运到若干个销地，每个产地的供应量和每个销地的销售量及从一个 产地到一个销地的运输费用已知，要求确定一个总运费最少的方案， 6.1运输问题的线性规划模型 引例设某种物资（如粮食，棉花，煤炭等）有m个产地A1,42,,Am,产量分别为 a1,a1,am个单位：另外有n个销地B1,B2,,Bn,销量分别为b1,b1,,bn个单位。 又假设产销是平衡的，即 三- 此外，由产地A:向销地B运输每单位货物的运价为，问应该如何调运这种货物才能 使总的运费最小？ 解设为由产地A:向销地B调运这种货物的数量。连同单位运价可以列成 表6-1和表6-2. 单位运价表 表6-1 销地 B Bn 产地 4 92 21 C2n Am Cml Cm2 Cmn 平衡表 表6-2 销地 B2 产量 产地 11 工12 A2 x22 02 A 销量 02 由A,运出去的物资总量应等于A,的产量，即 xy=a,i=1,2.…m 1
✂✁✂✄ ☎✂✆✂✝✂✞ ✟✡✠✡☛✡☞✡✌✡✍✡✎✑✏, ✒✡✓✡✔✡✕✡✖✡✔✡✗✡✘✍✡✎ —- ✙✡✚✍✡✎✡✛✢✜✔ ✍✡✎✡✣✡✤✡✥✡✦✡✧✡★✡✩ ✪✬✫✬✭✬✮✬✯✬✰✬✱✬✲✬✳✙✬✴✮✬✯✬✰✬✵✬✲, ✶ ✰✬✱✬✲✘✬✷✬✸✬✹✬✺✬✶✰✬✵✬✲✘ ✵✬✻✹✬✼✭ ✓ ✰ ✱✡✲✴✡✓✰✡✵✡✲✘✡✙✡✚✡✽✡✾✑✿❁❀, ✤✡❂✡❃✡❄✓ ✰✡❅✙✡✽✡❆✡❇✡✘✡❈✡❉✛ §6.1 ❊●❋●❍●■●❏●❑●▲●▼●◆●❖◗P ❘✡❙ ❚✡★✡✩✪✡✫ (❯✡❱✡❲, ❳✡❨, ❩✡❬✡❭) ✒ m ✰✡✱✡✲ A1, A2, . . . , Am, ✱✹✡❪✡❫✡❴ a1, a1, . . . , am ✰✡❵✡❛; ❜✡❝✡✒ n ✰✡✵✡✲ B1, B2, . . . , Bn, ✵✹✡❪✡❫✡❴ b1, b1, . . . , bn ✰✡❵✡❛✛ ❞✡❡❚✱✡✵✡❢✡❣✡❤✘, ✐ Xm i=1 ai = Xn j=1 bj . ❥❝, ❦ ✱✡✲ Ai ❧✵✡✲ Bj ✙✡✚✡✶❵✡❛✡♠✡✪✘✡✙✡♥✡❴ cij ✛♦✍✸✡♣✡❯✡q✳✙ ✜✡✩♠✡✪✡r✡s t✡❅✘✡✙✡✽✡❆✡✉? ✈ ❚ xij ❴✑❦ ✱✡✲ Ai ❧✵✡✲ Bj ✳✙ ✜✡✩♠✡✪✘✡✇✡✹, ①✡②❵✡❛✙✡♥ cij ③✡④✡⑤✡⑥ ⑦ 6-1 ✺⑦ 6-2✛ ❵✡❛✙✡♥⑦ ⑦ 6–1 ✵✡✲ B1 B2 . . . Bn ✱✡✲ A1 c11 c12 . . . c1n A2 c21 c22 . . . c2n . . . . . . . . . . . . . . . Am cm1 cm2 . . . cmn ❣✡❤✡⑦ ⑦ 6–2 ✵✡✲ B1 B2 . . . Bn ✱✹ ✱✡✲ A1 x11 x12 . . . x1n a1 A2 x21 x22 . . . x2n a2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . Am xm1 xm2 . . . xmn am ✵✹ b1 b2 . . . bn ❦ Ai ✙✡⑧✡⑨✡✘✪✡✫✡❅✹✡✸✡❭✡⑩ Ai ✘✱✹, ✐ Xn j=1 xij = ai ,i = 1, 2, . . . , m. 1
2 第六章运输问题 同理，运进B的物资总量应等于B影的销量，即 =5-12n 在表6-2中，这两组等式为第i行的未知数1，x2,,工m的和等于这一行右端的 a4:而第j列的未知数1,2，，xm的和等于这一列底下的b。 从表6-1和表6-2中还可以看出，总的运费等于 因此我们可以把上面的问题归纳为如下线性规划问题： min = (6.1) 满足 (6.2) (6.3) x≥0，（∑a-∑） 6.4) i=1 j=1 这就是运输问题的数学模型.除了经常遇到的物资调运问题外，在其它活动中会遇到 类似的问题。由于这类问题最早是从物资运输问题产生出来的，因此把具有(6.1以、(6.2)、 (6.3)和(6.4)形式的线性规划问题都叫做运输问题。 例如，设有m台机床，要加工n种零件.第i台机床可加工出a4种零件（= 1,2.,m:而第j种零件必须有个G=1,2.,,且 - =1 为第i台机床加工种零件时每一件的加工费问这些零件应如何分配给这m台机 床使总的加工费为最小？ 显然，当设为第1台机床加工第j种零件的个数时，就转化为一个运输问题. 运输问题显然是一个线性规划问题，当然可以用单纯形法求解，但这个问题具有一种 固定结构，使我们可以找到另外比较简单的解法。本章介绍表上作业法. S6.2初始基本可行解的求法 既然运输问题是一种线性规划问题，所以运输问题的最优解一定可以在基本可行解 中找到。当找到初始基本可行解以后，要判别是否为最优解.不是最优解时就要进行调整
2 ❶✑❷❁❸❺❹✡❻✑❼❁❽ ②✡❾, ✙✡❿ Bj ✘✪✡✫✡❅✹✡✸✡❭✡⑩ Bj ✘ ✵✹, ✐ Xm i=1 xij = bj , j = 1, 2, . . . , n. ✟⑦ 6–2 ✏ , ✜✬➀✬➁❭✬➂✬❴✬➃ i ➄✬✘✬➅✬❀✬✇ xi1, xi2, . . . , xin ✘✬✺✬❭✬⑩✜ ✓✬➄✬➆✬➇✬✘ ai ; ➈✡➃ j ⑤✘✡➅✡❀✡✇ x1j , x2j , . . . , xmj ✘✡✺✡❭✡⑩✜ ✓⑤✡➉✡➊✘ bj ✛ ✭✡⑦ 6–1 ✺⑦ 6–2 ✏❁➋③✡④✡➌⑧, ❅ ✘✡✙✡✽✡❭✡⑩ z = Xm i=1 Xn j=1 cijxij . ➍❥✡➎✡➏③✡④ ✧✡➐✡➑✘ ✍✡✎✡➒✡➓❴✡❯➊ ✠✡☛✡☞✡✌✡✍✡✎: min z = Xm i=1 Xn j=1 cijxij (6.1) ➔✡→ Xn j=1 xij = ai ,i = 1, 2, . . . , m (6.2) Xm i=1 xij = bj , j = 1, 2, . . . , n (6.3) xij ≥ 0,( Xm i=1 ai = Xn j=1 bj ) (6.4) ✜↔➣❢✙↔✚✍↔✎✘↔✇↔↕↔➙✡✗✛➜➛↔➝✡➞↔➟✡➠✴✡✘✪↔✫✡✳✙ ✍↔✎❝, ✟↔➡↔➢↔➤↔➥➦✏➨➧↔➠✴ ✔✡➩✡✘✍✡✎✡✛ ❦❁⑩✜ ✔ ✍✡✎❆✡➫❢✡✭✡✪✡✫✙✡✚✍✡✎✱✡➭⑧✡➯✡✘, ➍❥✧✡➲✒ (6.1)➳ (6.2)➳ (6.3) ✺ (6.4) ➵✡➂✡✘✠✡☛✡☞✡✌✡✍✡✎✡➸✑➺❁➻➽➼✡➾✡➚✡➪✡✛ ➶❯, ❚ ✒ m ➹➴➘➴➷, ✤➴➬➴➮ n ✩➴➱➴✃➴✛ ➃ i ➹➴➘➴➷③ ➬➴➮⑧ ai ✩➴➱➴✃ (i = 1, 2, . . . , m); ➈✡➃ j ✩✡➱✡✃✡❐✡❒✒ bj ✰ (j = 1, 2, . . . , n), ❮ Xm i=1 ai = Xn j=1 bi cij ❴✬➃ i ➹✬➘✬➷➬✬➮ j ✩✬➱✬✃✬❰✶✬✓✃ ✘➬✬➮✽ ✛♦✍✬✜✬Ï✬➱✬✃✸✬❯✬q✬❪✬Ð✬Ñ✜ m ➹✬➘ ➷, t✡❅✘➬✡➮✽✡❴✡❆✡✉? Ò✡Ó, Ô❚ xij ❴✡➃ i ➹✡➘✡➷➬✡➮➃ j ✩✡➱✡✃✘✰✇ ❰ , ➣✡Õ✡Ö❴✡✓✰✙✡✚✍✡✎✡✛ ✙↔✚✍↔✎Ò↔Ó❢ ✓ ✰✠↔☛✡☞↔✌✡✍↔✎, ÔÓ ③↔④ ✾❵↔×➵↔Ø❂↔Ù↔✛ÛÚ✡✜✰✍✡✎↔➲✒↔✓✩ Ü❄✡Ý✡Þ, t✡➎✡➏③✡④✡ß✴✡❜✡❝✑à❁á✡â❵ ✘Ù Ø ✛♦ã✡ä✡å✡æ⑦➐✡ç✡èØ ✛ §6.2 é●ê●ë●ì●í●î●ï●❏●ð●ñ òÓ✙✬✚✍✬✎❢ ✓ ✩✬✠✬☛✬☞✬✌✬✍✬✎, ó④ ✙✬✚✍✬✎✘✬❆✬ôÙ ✓ ❄③✬④ ✟✬õ✬ã③➄ Ù ✏ß✴ ✛ Ôß✴↔ö↔÷õ↔ã③➄ Ù ④✡ø, ✤↔ù❫❢↔ú❴↔❆↔ôÙ↔✛Ûû❢ ❆↔ôÙ↔❰✡➣✡✤❿✡➄✳✡ü
$6.2初始基本可行解的求在 3 这线性规下去，划到找到最优解时为何·下面题来研究运输问意的基本可行解具有的特 运输同圆有口十个约有二件类含Xm个快的.在运输线题的 这型时，一般都假设约方程中要有多的方程，但在产销平衔的运输问题的约方程组 然 中甘系数 的方程。可以应量在n+m 个基的量组成。 费组成一个基h.=n十m-?这用题把闭回定的台最然 后介绍有关定理。 定义凡是能够排列成下列形式的的量集合称为一个闭回定： (6.5) 中s=n+m-1,i1,2,,i,的不产同，九，2，j。的下产同。这些出现在(6.)中的 量称为这个闭回路的顶点。 1三4月就是个且把产邻两个的2 划线为闭回路的 上单闭回路就 具有表6-3所示的形另. 表6-3 销地 产地 11 12 13T14 21 2 F24 A3 又如12,13,2322,12和1112,2,34,24,211调是闭回路.把外们画在表上 分别如表6-4和表6-5所示。 表6-4 销地 3 3 产地 A 14 2 A3 工31 T32 T33 工34
§6.2 ý✡þ✡ÿ✁✁✂✁✄✁☎✝✆✁✞✁✟ 3 ✜✡✠✡☛✡☞➊⑨, ✌✬✴ß✴✬❆✬ôÙ✬❰❴✡✍✛ ➊ ➑✏✎➯✥✬✦✙✬✚✍✬✎✘õ✬ã③➄ Ù✬➲✒✬✘✕ ☛✡✛ ✙✡✚✍✡✎✒ n + m ✰✁✑✁✒✁✓✃ , ✔✁✕ n × m ✰✁✖✁✗✁✘✹ ✛♦✟✁✙✁✚✡✠✡☛✡☞✬✌✡✍✬✎✘✡✛ ✜ ✗❰ , ✓✁✢➸❡❚✑✁✒❈✁✣ ✏✥✤✒✁✦✁✧✡✘✡❈✁✣, Ú✡✟✱✡✵✡❣✡❤✘✡✙✡✚✍✡✎✘✑✁✒❈✁✣➁ ✏ , ➡✁★✇✁✩✁✪✡✘✁✫ m ➄✡✘✡✺✁✬✡⑨ø n ➄✡✘✡✺✁✭✁✮✁✯✡✴✡✓✰ 0 ❧✹ ✛ ➍❥✁✑✁✒❈✁✣ ✏✥★ ✇✰✩✰✪↔✘↔➄❢✠↔☛✰✱✰✲✘ ✛✴✳↔➣❢✰✵, ✑✰✒❈✰✣➁➦✏✷✶↔✟✦✰✧↔✘✡❈✰✣✛ ③✡④✰✸✝✹, ✟ n + m ✑✰✒❈✰✣✏✘✰✺✰✻ n + m − 1 ✰➸❢✠↔☛✰✼✰✲✘, ✭ ➈↔✙↔✚✍↔✎✘↔✶↔✓➁↔õ✸✑❦ n + m − 1 ✰õ✘ ✹ ➁ ⑥ ✛ ✽✠✡➁⑥✓ ✰õ :xi1j1 , xi2j2 , . . . , xisjs (s = n + m − 1)? ✜✁✾✁✎✁✿✁❀❂❁✁❃✁❄ ✘✁❅✁❆, Ó øå✡æ✒✲✡❄❾ ✛ ❇✁❈ ❉❢✡s✁❊✁❋⑤✡⑥✡➊✡⑤➵✡➂✡✘✘ ✹✁●✁❍✁■✡❴✡✓✰ ❁✁❃✁❄: xi1j1 , xi1j2 , xi2j2 , xi2j3 , . . . , xisjs , xisj1 (6.5) ➡✑✏ s = n + m − 1,i1,i2, . . . ,is ❏ û✁✱②, j1, j2, . . . , js ❏ û✁✱② ✛♦✜✡Ï⑧✁❑✟ (6.5) ✏✘ ✘ ✹✁■✡❴✜✰✁▲✝▼✥◆✘P❖✁◗✛ ➶❯, m = 3,n = 4, ❘ x21,x23,x13,x14,x34,x31 ➣❢ ✓ ✰✏▲❙▼❚◆✛ ✜✏✾ i1 = 2,i2 = 1,i3 = 3;j1 = 1,j2 = 3,j3 = 4✛ ✮✧▲✝▼✥◆✘✁❯✁❱✟⑦ ✏✥❲⑧, ❳✡❮✧✁✱✁❨✡➀✰✁✘✹ (④ ✼ ❆ø✓ ✰✰✘✹✰❩↔➃↔✓✰✰✘✹) ✾✰✌✠✰✱① (■ ✜↔Ï✌ ✠ ❴ ▲❬▼✷◆✘✰❭)✛❫❪✁❴↔➐✁❵▲✝▼✷◆➣ ➲ ✒⑦ 6–3 ó✁❛✡✘✡➵✁❜✛ ⑦ 6–3 ✵✡✲ B1 B2 B3 B4 ✱✡✲ A1 x11 x12 x13 x14 A2 x21 x22 x23 x24 A3 x31 x32 x33 x34 ❞ ❯ x12,x13,x23,x22,x12 ✺ x11,x12,x32,x34, x24,x21,x11 ✳❢✁▲✝▼✥◆✛✢✧✁❝➏❲✡✟⑦➐ ❪✡❫✡❯⑦ 6–4 ✺⑦ 6–5 ó✁❛✛ ⑦ 6–4 ✵✡✲ B1 B2 B3 B4 ✱✡✲ A1 x11 x12 x13 x14 A2 x21 x22 x23 x24 A3 x31 x32 x33 x34
第六章运输问题 表6-5 销地 B 产地 A 11 T12 13 14 42 T21 22 T23 工24 A3 31 32 34 定理1.n十m-1个变量，，，.(s=n+m一1)构成基本可行解的充 要条件是它不含闭回路。（证略） 有了上述准备，下面介绍常用的几种运输问题的初始基本可行解的求法. 一、西北角法 下面通过例题介绍这个方法.运价表和平衡表合并在一个表中，单位运价，写在左 下角，x)写在右上角. 例1.根据表6-6，求初始基本可行解 表6-6 销地 B B B 产量 产地 12 f18 14 0 10 工22 T23 4 1 3 4 2 5 T31 工33 A3 4 销量 3 8 4 6 解最下一行各数字之和与最右一列各数字之和都为21，满足平衡条件.从左上角的 变量11开始，先给x1以尽可能大的值，为此令 x11=max{3,9}=3. 由x11=3可以看出，21和x31必须为0，即已经知道了3个未知量的值.通常，先画 好一张空表格，把求出的未知数的值填在表上。我们约定，在3的外面画一个圈，在0的 地方打上“×”.然后再决定12的值（即表中未求出值的左上角的变量）.取有： 12=mim9-3,8}=6. 在x12的位置上填上6并画圈，x1314这时应为0，故打上“×”.用同样的方法，可以得 出：z22=2,T32=0,23=324=0,33=1,x34=6(见表6-7)
4 ❶✑❷❁❸❺❹✡❻✑❼❁❽ ⑦ 6–5 ✵✡✲ B1 B2 B3 B4 ✱✡✲ A1 x11 x12 x13 x14 A2 x21 x22 x23 x24 A3 x31 x32 x33 x34 ❇✁❞ 1. n + m − 1 ✰✁✘✹ xi1j1 , xi2j2 , . . . , xisjs (s = n + m − 1) Þ⑥õ✡ã③➄ Ù ✘✁❡ ✤✓✃❢➢✡û✕ ▲✝▼✥◆✛ (✸✁❢) ✒ ➝✡➐✁❵✁✜✁❣, ➊ ➑✡å✡æ✡➟✾✡✘✁❤✩✙✡✚✍✡✎✘✡ö✡÷õ✡ã③➄ Ù ✘❂Ø ✛ ✐❦❥♠❧❦♥❦♦❦♣ ➊ ➑✁q✁r➶✎✡å✡æ✡✜✰❈✡Ø✛ ✙✡♥⑦ ✺❣✡❤✡⑦❍✁❳✟✓ ✰✡⑦ ✏ , ❵✡❛✙✡♥ cij s✟✁t ➊✁✉, xij s✟➆ ➐ ✉ ✛ ❙ 1. ✈✁✇⑦ 6–6, ❂ ö✡÷õ✡ã③➄ Ù✡✛ ⑦ 6–6 ✵✡✲ B1 B2 B3 B4 ✱✹ ✱✡✲ x11 x12 x13 x14 A1 2 9 10 7 9 x21 x22 x23 x24 A2 1 3 4 2 5 x31 x32 x33 x34 A3 8 4 2 5 7 ✵✹ 3 8 4 6 ✈ : ❆➊✓✡➄✁①✡✇✁②✁③✡✺✁❩✡❆✡➆✡✓⑤①✡✇✁②✁③✡✺➸ ❴ 21, ➔✡→✡❣✡❤✁✓✃✡✛ ✭t✡➐✉✘ ✘ ✹ x11 ④÷, ✎Ñ x11 ④✁⑤✡③s✁⑥✘✁⑦, ❴❥✁⑧ x11 = max{3, 9} = 3. ❦ x11 = 3 ③↔④↔➌⑧, x21 ✺ x31 ❐↔❒❴ 0, ✐➦✿➞ ❀✰⑨➝ 3 ✰ ➅↔❀↔✹↔✘✰⑦✛✴q↔➟, ✎✰❲ ✮✬✓✡⑩✡❶⑦✡❷, ✧✬❂⑧✬✘✬➅✬❀✬✇✬✘✡⑦✡❸✟⑦➐✬✛ ➎✬➏✡✑❄ , ✟ 3 ✘✬❝➑✡❲✓ ✰✡❹, ✟ 0 ✘ ✲❈✁❺➐ “×”✛ Ó ø✁❻✖❄ x12 ✘✁⑦ (✐⑦ ✏➅ ❂ ⑧ xij ⑦✡✘t✡➐✉✘✘ ✹)✛❽❼✒: x12 = min{9 − 3, 8} = 6. ✟ x12 ✘❛✡❾➐❸ ➐ 6 ❳ ❲❹ , x13,x14 ✜✬❰✸✬❴ 0, ❿✡❺➐ “×”✛ ✾✬②✠ ✘✬❈✬Ø, ③✬④ ✯ ⑧:x22 = 2,x32 = 0,x23 = 3, x24 = 0,x33 = 1, x34 = 6(➀⑦ 6–7)✛
$6.2初始基本可行解的求法 表6-7 销地 B2 B 产量 产地 (3) (6 Al 2 9 10 9 ② (3) A42 1 3 ( (6) 3 8 4 6 不难看出，放在表上的数(“×”代表0)是一个可行解此外画图的数共有n+m-1 各，并且可以证明，用这种方法求得的解是一个基本可行解.而且n+m一1个画图的地 方正好是基变量 例2.根据表6-8，求初始基本可行解 表6-8 销地 B B Bs B 产量 产地 工12 工13 14 A Q 21 22 2 21 A2 2 6 5 3 5 T31 工32 3 A3 1 4 8 销量 2 1 7 6 解首先，应该取x11=2,21=0,x31=0.然后，令x12=mi{3-2,1}=1.这时 显然x13,工14,2及2都必须为0.但我们只在一个方向上打“×”（在行上，或在列上）】 而不能同时在行与列上都打“×”.例如，我们在行上“×”，然后决定2的值，它应等于 mi血0,5}=0，此时在x2处写上0，并画上圈.而在x32处打上“×"，继续做下去，可以得 到x23=5,24=0,z33=2,x34=6(见表6-9)
§6.2 ý✡þ✡ÿ✁✁✂✁✄✁☎✝✆✁✞✁✟ 5 ⑦ 6-7 ✵✡✲ B1 B2 B3 B4 ✱✹ ✱✡✲ (3) (6) × × A1 2 9 10 7 9 × (2) (3) × A2 1 3 4 2 5 × × (1) (6) A3 8 4 2 5 7 ✵✹ 3 8 4 6 û✁➁➌⑧, ➂ ✟⑦➐ ✘✡✇ (“×” ➃⑦ 0) ❢ ✓ ✰ ③➄ Ù . ❥❝, ❲❹ ✘✡✇✁➄✡✒ n + m − 1 ①✁➅❽❳✡❮③✡④✁✸✝✹, ✾✜✡✩❈✡Ø❂ ✯✡✘Ù❢ ✓ ✰õ✬ã③➄ Ù , ➈✡❮ n + m − 1 ✰❲❹ ✘✲ ❈✁➆✁✮❢õ✘ ✹ ✛ ❙ 2. ✈✁✇⑦ 6–8, ❂ ö✡÷õ✡ã③➄ Ù✡✛ ⑦ 6–8 ✵✡✲ B1 B2 B3 B4 ✱✹ ✱✡✲ x11 x12 x13 x14 A1 7 8 1 4 3 x21 x22 x23 x24 A2 2 6 5 3 5 x31 x32 x33 x34 A3 1 4 2 7 8 ✵✹ 2 1 7 6 ✈ : ➇ ✎ , ✸✬♣❼ x11 = 2,x21 = 0,x31 = 0✛ Ó ø, ⑧ x12 = min{3 − 2, 1} = 1✛♦✜✬❰, Ò✬Ó x13,x14,x22 ✼ x32 ➸✬❐✬❒❴ 0✛ Ú➎✬➏✡➈✟✓ ✰❈ ❧➐❺ “×”(✟➄ ➐ , ➉ ✟ ⑤➐ ), ➈ ûs ②❰✬✟➄✡❩⑤➐✬➸❺ “×”✛ ➶❯, ➎✬➏✟➄ ➐ “×”, Ó ø✖❄ x22 ✘✡⑦, ➢✸✬❭✬⑩ min{0, 5} = 0, ❥❰✡✟ x22 ➊✁s➐ 0, ❳ ❲✡➐❹✛ ➈ ✟ x32 ➊❺ ➐ “×”, ☛✁☞✡➻➊⑨, ③✡④ ✯ ✴ x23 = 5,x24 = 0,x33 = 2,x34 = 6(➀⑦ 6–9)✛