第五章线性规划问题的灵敏度分析 在所有的线性规划问题中，决策变量在目标函数中的系数©和在约束条件方程中的 数与及右端值：都是固定的.但在实际工作中，我们是处理未来的问题，很可能不知 参数的确切值还有企业管理人员如想知道，稍微政变一下原定的参数，能否使目 标（例如利润和成本）有较大的变化，以判断这些改变是否有利.譬如说，加班可以使利润 有较大的增加.快簧人就可以快定加班另外决策人不想知道.那些参数对目标函数值的 影响较大、需要花较多的人力和费用，将这些参数预测的准确一些，以提高数学模型及其 解的可靠性。 灵敏度分析就是在线性规划问题已求出最优解以后，某一个参数变化时不必将问题 从头到尾重算一遍，就知道最优解及其目标函数会发生什么变化，使决策者只花费很少的 费用就可以得到比一组最优解为多的信息，以处理上面提到的问题. 这一章讨论目标函数为“max”,约束条件为“≤”型的线性规划问题，对其他类型的 线性规划问题作灵敏度分析，必须对体章结论作相应的修改 第一节边际值及其应用 在分析：值的变化对目标值的影响以及判断新增加产品是否有利时边际值是一个 很有用的概念。我们先给出边际值的定义并指出如何在单纯形表中找出边际值，然后结合 例题说明边际值的应用 所谓第：种资源的边际值就是将1单位的第讠行约束条件方程所代表的资源从现在 的用涂中抽出来而使利润减少的数字.用：表示。“现在用涂”意味着某一张单纯形表中 的基变量及其取值。当资源的减少数量在本章第三节所谈的范围内时，可以用本节的 方法直接从单纯形表中读出，若资源的诚少超出这个范围，：的值就要变动了， 降一单位的第言个约束条件方程所表示的资源从现在的用途抽出.意味着使第个然 束条件方程的松弛变量n+增加一单位.由前面的讨论知，n+:增 一单位而损失的利 润为zm+i=cBB-1Pn+i,因此有 4=2n+ (4.1) 这就是说，某一单纯形表中第1种资源的边际值:等于该表中第1行约束条件方程的松 弛变量xn+:的机会费用。 在第二章单纯形表中的机会费用可利用 -∑44，=CnBB 得到，在引进边际值的概念后，乡可以直接用下式计算 (4.2) 对式(5.2)不作详细的证明，但其经济意义是很明显的。为了生产一单位的工，必须消耗 单位的第i行约束条件方程对应的资源i,即需将a,单位的第i种资源从现在的用途 中抽出，由边际值的意义即知，此时损失的利润为a9,由此可得公式(5.2)
1 ✂✁✂✄ ☎✂✆✂✝✂✞✂✟✂✠✂✡☞☛☞✌☞✍☞✎☞✏ ✑✓✒✓✔✓✕✓✖✓✗✓✘✓✙✓✚✓✛✢✜, ✣✓✤✓✥✓✦✑★✧✪✩✓✫✓✬✢✜✭✕✓✮✓✬ ci ✯✑✓✰✓✱✓✲✓✳✓✴✓✵✢✜✭✕ ✮✓✬ aij ✶✓✷✓✸✓✹ bi ✺✓✻✢✼✭✽✕✓✾❀✿✓✑✓❁✓❂✓❃✓❄✢✜, ❅✓❆✻✓❇✓❈✓❉✓❊✕✓✚✓✛, ❋✓●✓❍✓■✓❏ ❑✓▲✓▼✓◆✬✓✕✓❖✓P✹ ✾❀◗✓✔✓❘✓❙✓❚❈✓❯❲❱✓❳❲❨❏❑ , ❩✓❬✓❭✓✥✓❪✓❫✓❴✽ ✕◆✬ , ❍✓❵✓❛ ✧ ✩ (❜❳✓❝✓❞✓✯✓❡✓❢) ✔✓❣✓❤✓✕✥✓✐, ❥✓❦✓❧▲✓▼❭✓✥✻❵✔ ❝ ✾♥♠❳✓♦, ♣✓q✓●✓❥✓❛❝✓❞ ✔r❣r❤r✕rs♣, ✣r✤❯rt●r❥r✣✽♣rq✾✈✉✓✇, ✣r✤❯ ◗ ❨❏❑ , ① ▼r◆✬r②③✧❀✩r✫r✬✹ ✕ ④✓⑤❣✓❤✓⑥❀⑦✓⑧✓⑨✓❣✓⑩✓✕❯✓❶✓✯✓❷✓❸, ❹▲✓▼✓◆✬✓❺✓❻✓✕✓❼✓❖❪ ▼ , ❥✓❽✓❾✬✓❿✓➀✓➁✶✓➂ ➃✕●✓➄✗✓✾ ➅r➆r➇r➈r➉ tr✻✑r✖r✗r✘r✙r✚r✛➋➊➍➌r➎✓➏r➐➃ ❥r➑, ➒r❪r➓◆✬ ✥r✐r➔, ■r→r❹✚r✛ ➣✓↔✓↕✓➙✓➛✓➜❪✓➝, t❏❑➏✓➐➃ ✶✓➂ ✧✪✩✓✫✓✬✓➞✓➟✓➠✓➡✓➢✥✓✐, ❛✓✣✓✤✓➤✓➥⑨ ❷❋✓➦✕ ❷✓❸✓t●✓❥✓➧↕✢➨❪✓➩➏✓➐➃✓➫⑩✓✕✓➭✓➯, ❥ ❇✓❈✓➲✓➳❽ ↕✕✓✚✓✛✓✾ ▲ ❪❲➵❲➸❲➺ ✧➻✩❲✫❲✬➫ “max”, ✰❲✱❲✲❲✳➫ “≤” ➁❲✕❲✖❲✗❲✘❲✙❲✚❲✛❲✾❀②➂❲➼❲➽➁❲✕ ✖✓✗✓✘✓✙✓✚✓✛✓❄✓➾✓➚✓➪✓➶✓➹, →✓➘② ❢➵✓➴✓➺❄✓➷✓➬✓✕✓➮❭ ✾ ➱❐✃❐❒ ❮❐❰❐Ï❐Ð❐ÑÓÒÕÔ ✑✓➶✓➹ bi ✹ ✕✥✓✐②★✧✪✩✹ ✕④✓⑤❥ ✶❦✓❧❲Ös♣❲×✓Ø✻❵✔ ❝➔,Ù❲Ú✓Û ✻❪✓➓ ❋ ✔ ❸✕rÜrÝr✾ ❅r❆rÞrß➎rà✓❂✹ ✕✽rá✓ârã➎ ❳rä✑rå✓ærç✓è✢✜➍é✓➎rà✓❂✹, êr➑r➴rë ❜✛ ♦✢ìà✓❂✹ ✕✓➬❸ ✾ ✒ríïî i ðrñròrórÙrÚrÛ tr✻❹ 1 årôr✕rõ i ö ✰r✱r✲r✳r✴r✵r✒r÷rè✓✕rø✓ù➣rú✑ ✕ ❸✓û ✜✭ü✓➎ ❊✓ý❛❝✓❞✓þ➦ ✕❲✬✓ÿ, ❸ qi è✁✓✾ “ú✑ ❸✓û” ✂✁✄✁☎✓➒✓❪✁✆å✓æ✓ç✓è✢✜ ✕✁✝✥✓✦✶✓➂✁✞✓✹✾✠✟✓ø✓ù i ✕þ➦✬ ✦ ✑❢➵ õ✁✡✁☛✓✒✁☞✓✕✁✌✎✍✁✏➔, qi ●✓❥ ❸✓❢☛✓✕ ✴✁✑✁✒✁✓➣å✓æ✓ç✓è✢✜✕✔✓➎, ✖ ø✓ù✓✕þ➦✁✗➎ ▲ ➓ ✌✎✍, qi ✕✹✓t⑧✥✁✘✁✙ ✾ ❹r❪årôr✕rõ i ➓ ✰r✱r✲r✳r✴r✵r✒rè✚r✕✓ø✓ù➣✓ú✑✓✕❸rûü✓➎, ✂✚✄✚☎r❛õ i ➓ ✰ ✱✓✲✓✳✓✴✓✵✓✕✁✛✁✜✥✓✦ xn+i s♣✓❪å✓ô✓✾✣✢✕✤➳ ✕➸✓➺✓❏, xn+i s♣✓❪å✓ôý✁✥✁✦✕ ❝ ❞➫ zn+i = cBB−1Pn+i , ✧✁★✔ qi = zn+i (4.1) ▲ t✓✻✓♦, ➒✓❪å✓æ✓ç✓è✢✜✭õ i ✩ ø✓ù✓✕✓à✓❂✹ qi ✪✁✫✁✬è✢✜✭õ i ö ✰✓✱✓✲✓✳✓✴✓✵✓✕✁✛ ✜✥✓✦ xn+i ✕✁✭✓➞❷✓❸✾ ✑✓õ✁✮➵ å✓æ✓ç✓è✢✜✭✕✁✭✓➞❷✓❸ zj ●❝✓❸ zj = Xm i=1 c 0 ia 0 ij = CBB −1Pj ➧ ↕ , ✑✁✯✁✰✓à✓❂✹ ✕✓Ü✓Ý➑, zj ●✓❥ ✒✁✓❸❫✁✱✁✲➜ : zj = Xm i=1 aij qi (4.2) ② ✱ (5.2) ■ ❄✁✳✁✴✓✕✁✵ ì, ✿ ➂✁✶✁✷✂á✓✻❋ ì✕✸✕❲✾ ➫ ✙ ➠×✓❪å❲ô✓✕ xj , →✓➘✁✹✁✺ aij å✓ô✓✕✓õ i ö ✰✓✱✓✲✓✳✓✴✓✵✓②✓➬✓✕✓ø✓ù i, ✻⑦❹ aij å✓ô✓✕✓õ i ✩ ø✓ù➣✓ú✑✓✕❸✓û ✜✭ü✓➎, ✢✭à✓❂✹ ✕✂á✻✓❏, ★✓➔✥✁✦✕ ❝✓❞➫ aij qi , ✢ ★✓●✓➧✁✼✁✱ (5.2)✾
例1.设有以下线性规划问题 m 2=1+52+3g+44 满足 2x1+3z2+x3+2x4≤800（资源1） 5x1+4x2+3x3+4x4≤1200（资源2） 3x1+42+53+3x4≤1000（资源3） (≥0，对一切 令、6、7分别为资源1、2,3的松弛变量，表5-1给出此问题的最优解 表5-1 0 0 0 CB TBb 1 T2 工3 工4 I6 工T 100 0.25 0 -3.25 0 1 0.25 1 200 2.00 L100 -0.75 2.75 00 -0.75 4.25 5 5.75 0 0.25 1 C-2 3.25 0 -2.75 0 0 -0.25-1 利用边际值：可得出： 1.在一定范围内资源i增加1单位，利润就增加。例如资源2,3各增加1单位，利 润就分别增加0.25元及1元，资源1增加1单位，利润不增加，因为表5-1中x6=100, 说明再增加资源只能使不产生利润的松弛变量增加， 2.在已求出最优解表后，如建议生产一种新产品，令其产量为xN,已知其参数aN及 C,要求不必重新计算，就能回答生产这种新产品是否有利。 我们知道生产这种新产品，即N进入最优解的条件为 CN-zN≥0 由(5.2)知 在本例中，如建议生产新产品，产量为x8,已知a18=5,a28=4,a38=3,cg=9,从表 5-1得知，41=0,92=0.25，g=1,所以 28=5×0+4×0.25+3×1=4. c-28=9-4=5≥0. 可见生产这种新产品有利。 第二节对，的灵敏度分析 对的灵敏度分析，就是在不改变原来最优解基变量及其取值的条件下，求出的 允许变动范围。也就是求出C变动值△c的上下限。因C的变化仅影响机会费用和 检验数S一，因此灵敏度分析的基础是：C的变化仍使单纯形表中非基变量的检验数都 保持为小于等于0
2 ✽ 1. ✾ ✔ ❥✓❫✖✓✗✓✘✓✙✓✚✓✛: max z = x1 + 5x2 + 3x3 + 4x4; ✿✁❀ 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 ≤ 800 (ø✓ù 1) 5x1 + 4x2 + 3x3 + 4x4 ≤ 1200 (ø✓ù 2) 3x1 + 4x2 + 5x3 + 3x4 ≤ 1000 (ø✓ù 3) xj ≥ 0, ② ❪ P j. ❁ x5 ⑥ x6 ⑥ x7 ➶✁❂➫ø✓ù 1⑥ 2⑥ 3 ✕✁✛✁✜✥✓✦, è 5–1 ß ➎ ★ ✚✓✛✓✕✓➏✓➐➃ . è 5–1 cj → 1 5 3 4 0 0 0 cB xB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 0 x5 100 0.25 0 −3.25 0 1 0.25 −1 4 x4 200 2 0 −2.00 1 0 1 −1 5 x2 100 −0.75 1 2.75 0 0 −0.75 1 zj 4.25 5 5.75 4 0 0.25 1 cj − zj −3.25 0 −2.75 0 0 −0.25 −1 ❝✓❸à✓❂✹ qi ●✓➧➎ : 1. ✑❪✽ ✌✎✍✁✏✭ø✓ù i s♣ 1 å✓ô, ❝✓❞✓ts♣ qi ✾ ❜❳ø✓ù 2,3 ❃ s♣ 1 å✓ô, ❝ ❞✓t➶✁❂✓s♣ 0.25 ❄✶ 1 ❄ ✾❀ø✓ù 1 s♣ 1 å✓ô, ❝✓❞■ s♣, ✧➫è 5–1 ✜ x5 = 100, ♦✢ì✕❅s♣ø✓ù, ➥✓❍✓❛✓■✓×➠ ❝✓❞✕✁✛✁✜✥✓✦ x5 s♣ ✾ 2. ✑➋➊➍➌r➎r➏r➐➃è ➑, ❳✚❆✚❇➠×r❪✚✩rÖr×rØ, ❁ ➂×r✦➫ xN , ➊❏➂ ◆✬ aiN ✶ cN , ⑧✓➌■✓→➛ Ö✁✲➜ , t❍✎❈✕❉➠×▲ ✩✓Ö✓×✓Ø✻❵✔ ❝ ✾ ❅✓❆✓❏❑➠×▲ ✩✓Ö✓×✓Ø, ✻ xN ✰✁❊✓➏✓➐➃✕✓✲✓✳➫ : cN − zN ≥ 0 ✢ (5.2) ❏ zN = Xm i=1 aiN qi . ✑❢❜ ✜ , ❳✁❆✁❇➠×✓Ö✓×✓Ø, ×✓✦➫ x8, ➊❏ a18 = 5,a28 = 4,a38 = 3, c8 = 9, ➣è 5–1 ➧✓❏,q1 = 0, q2 = 0.25,q3 = 1, ✒ ❥ z8 = 5 × 0 + 4 × 0.25 + 3 × 1 = 4, c8 − z8 = 9 − 4 = 5 ≥ 0. ●✁❋➠×▲ ✩✓Ö✓×✓Ø✔ ❝ ✾ ➱❍●❐❒ ■ cj ❏❍❑❍▲❍▼❍◆P❖ ② cj ó➅✓➆✓➇✓➈✓➉, t✓✻✑ ■✓❭✓✥✓❴❊ ➏✓➐➃✝ ✥✓✦✶✓➂✁✞❲✹✕✓✲❲✳❫, ➌✓➎ cj ✕ ◗✁❘✥✁✘✌✎✍✭✾❚❙t✓✻➌✓➎ cj ✥✁✘✹ ∆cj ✕➲❫✁❯✾ ✧ cj ✕✥✓✐✁❱④✓⑤✭✓➞❷✓❸ zj ✯ ❲✁❳✬ cj − zj , ✧✁★➾✓➚✓➪✓➶✓➹✓✕✁✝✁❨✻: cj ✕✥✓✐✁❩✓❛å✓æ✓ç✓è✢✜✕❬✁✝✥✓✦✕❲✁❳✬ ✺ ❭✁❪✓➫✁❫✫✁✪✁✫ 0✾
3 为便于讨论，下面记△c=(0,..,0,△G,0,.,0).下面分两种情况分别讨论 马为非基变量 若)为非基变量则g的变化仅影响马)对应的检验数.当G变化为G与+△G后， 若要维持最优解基变量及其取值不变，则王)对应的检验数必须满足： (9+△c)-≤0 也即 △c≤-(C-) 由上式可知，△c变动的下限为-∞，而变动的上限为-(g一)，即 -∞<△c≤-(9-) (4.3) 从经济的角度来说，当第j个活动带来的利润为时马就已不在最优解内，现在 带来的利润减少，从而更不会在最优解内.因此C的下界为-。 二、为基变量 若工，为基变量，则©的变化将影响所有非基变量对应的机会费用和检验数.不妨设 马为第r个约束方程对应的基变量SN为非基变量下标的集合.当变化为+△9时 则cB变化为cB+△cB,其中 △cB=09△9,0,0) 1个0 非基变量xk的检验数应满足ck-(cB+△cB)B-lP≤O,即： ck-(cB +AcB)B-IP=(cx-cBB-P)-(0.....0.Acj.0....0)B-P r-1个0 =(Ck-2k)+(0...,0,△C5,0...,0)P1 =(ck-张)-△cak≤0 从而 △Ca4k≥ck-2 若ak<0,则得△G≤产，由此得 △g≤mim(二la,k<0,ke∈Sw} ark 用类似的方法可得： 由上两式可知，△G变动的上下限为 {>0e8}s与≤m{ka<ake8} 4.4)
3 ➫✁❴✫➸✓➺, ❫➳✁❵ ∆c = (0, . . . , 0, ∆cj , 0, . . . , 0)✾ ❫➳ ➶✁❛✩✁❜✁❝➶✁❂➸✓➺: ❞⑥ xj ❡✁❢✁❣✁❤✁✐ ✖ xj ➫❬✁✝✥✓✦, ❥ cj ✕✥✓✐✁❱④✓⑤ xj ②✓➬✓✕❲✁❳✬✓✾❚✟ cj ✥✓✐➫ cj + ∆cj ➑, ✖ ⑧✁❦❪➏✓➐➃✝ ✥✓✦✶✓➂✁✞✓✹■✓✥, ❥ xj ②✓➬✓✕❲✁❳✬ →✓➘✿✁❀: (cj + ∆cj ) − zj ≤ 0 ❙ ✻ ∆cj ≤ −(cj − zj ) ✢ ➲✱✓●✓❏,∆cj ✥✁✘✕❫✁❯➫ −∞, ý✥✁✘✕➲❯ ➫ −(cj − zj ), ✻ −∞ < ∆cj ≤ −(cj − zj ) (4.3) ➣ ✶❧✷✕❧♠❲➪❊❲♦❧♥ ✟❲õ j ➓❧♦❧✘❧♣❊ ✕ ❝❲❞➫ cj ➔ xj t ➊■ ✑❲➏❲➐➃ ✏ ♥ ú✑ ♣❊ ✕ ❝✓❞✓þ➦♥ ➣ ý✁q■➞✓✑✓➏✓➐➃ ✏✭✾ ✧✁★ Cj ✕❫✁r➫ −∞✾ s⑥ xj ❡✁❣✁❤✁✐ ✖ xj ➫✝ ✥✓✦, ❥ cj ✕✥✓✐✓❹④✓⑤✒✓✔✁❬✁✝✥✓✦②✓➬✓✕✁✭✓➞❷✓❸✓✯❲✁❳✬✓✾ ■✁t✁✾ xj ➫õ r ➓ ✰r✱r✴r✵r②r➬r✕✚✝✥r✦,SN ➫❬✚✝✥r✦r❫✩r✕✚✉ë ✾✈✟ cj ✥r✐➫ cj +∆cj ➔, ❥ cB ✥✓✐➫ cB + ∆cB, ➂ ✜ ∆cB = (0, . . . , 0 | {z } r−1➓0 , ∆cj , 0, . . . , 0) ❬✁✝✥✓✦ xk ✕❲✁❳✬✓➬✿✁❀ ck − (cB + ∆cB)B−1Pk ≤ 0, ✻: ck − (cB + ∆cB)B−1Pk = (ck − cBB−1Pk) − (0, . . . , 0 | {z } r−1➓0 , ∆cj , 0 . . . , 0)B−1Pk = (ck − zk) + (0, . . . , 0, ∆cj , 0 . . . , 0)P 0 k = (ck − zk) − ∆cja 0 rk ≤ 0 ➣ ý ∆cja 0 rk ≥ ck − zk ✖ ark < 0, ❥✓➧ ∆cj ≤ ck−zk a 0 rk , ✢ ★✓➧ ∆cj ≤ min{ ck − zk a 0 rk |a 0 rk < 0, k ∈ SN } ❸✓➽✁✇✕✓✴✁✑●✓➧: ∆cj ≥ max{ ck − zk a 0 rk |a 0 rk > 0, k ∈ SN } ✢ ➲❛ ✱✓●✓❏,∆cj ✥✁✘✕➲❫✁❯➫ : max ck − zk a 0 rk |a 0 rk > 0, k ∈ SN ≤ ∆cj ≤ min ck − zk a 0 rk |a 0 rk < 0, k ∈ SN (4.4)
￥ 其中为第r个约束条件方程对应的基变量。上式中不考虑ak=0的情况，这是因为 当ak=0时，的变化不影响k.因基变量的检验数始终为0，故也不考虑基变量 在本章例1中，4为第2个约束条件方程对应的基变量（即r=2),因此有 {2}s山sm{2妥} -0.25≤△c4≤1 3.75≤c4≤5. 2为第3个约束条件方程对应的基变量所以 {器}sa≤血{二} -1≤△c2≤0.33 4≤e2≤5.33. 第三节对，值的灵敏度分析 对：值的灵敏度分析，就是求在最优解基变量保持不变但基变量的取值可以变动的 条件下的变动范围。因为b:的变化仅影响基变量的取值，因此分析的基础是：在的 允许变动范围内，新解的基变量的取值要满足非负约束。若有变量不满足非负约束，就说 ,的变动超出了灵敏度的范围。 前面曾经指出，最优解中基变量的值为XB=B-16 在将“<”形式的约束条件方程转为-”形式时，对第：行的约束条件方程左端要加 个松弛变量xm+,因此，最优解表中B-1可表示如下： an+1d,n+2…a4,n+m B-1= a吃n+1吃n+2…吃n+m 。 dnn+1ann+2…am,ntm 令资源k的数量，的变化数量为△，问题中其它系数不变，则新解中基变量的取 值为： Xg=B-1(b+△)
4 ➂ ✜ xj ➫õ r ➓ ✰✓✱✓✲✓✳✓✴✓✵✓②✓➬✓✕✁✝✥❲✦✾ ➲✱ ✜■✁①❧② ark = 0 ✕❜✁❝, ▲ ✻✧➫ ✟ ark = 0 ➔,cj ✕✥✓✐✓■④✓⑤ zk ✾ ✧✝ ✥✓✦✕❲✁❳✬✁③✁④➫ 0, ⑤ ❙ ■✁①✁②✝ ✥✓✦✾ ✑❢➵✓❜ 1 ✜ ,x4 ➫õ 2 ➓ ✰✓✱✓✲✓✳✓✴✓✵✓②✓➬✓✕✁✝✥✓✦ (✻ r = 2), ✧✁★✔ max −3.25 2 , −0.25 1 ≤ ∆c4 ≤ min −2.75 −2 , −1 −1 , −0.25 ≤ ∆c4 ≤ 1, 3.75 ≤ c4 ≤ 5. x2 ➫õ 3 ➓ ✰✓✱✓✲✓✳✓✴✓✵✓②✓➬✓✕✁✝✥✓✦, ✒ ❥ max −2.75 2.75 , −1 1 ≤ ∆c2 ≤ min −3.25 −0.75 , −0.25 −0.75 , −1 ≤ ∆c2 ≤ 0.33, 4 ≤ c2 ≤ 5.33. ➱❍⑥❐❒ ■ bi Ï ❏❍❑❍▲❍▼P◆⑦❖ ② bi ✹ ✕✓➾✓➚✓➪✓➶✓➹, t✓✻➌✓✑✓➏✓➐➃✝ ✥✓✦❭✁❪■✓✥✿✁✝✥✓✦✕✞❲✹●❲❥✓✥❧✘✕ ✲✓✳❫ bi ✕✥✁✘✌✎✍✭✾ ✧➫ bi ✕✥✓✐✁❱④✓⑤✝ ✥✓✦✕✞✓✹, ✧✁★➶✓➹✓✕✁✝✁❨✻: ✑ bi ✕ ◗✁❘✥✁✘✌✎✍✁✏, Ö ➃✕✁✝✥✓✦✕✞✓✹⑧✿✁❀❬✁⑧✓✰❲✱✓✾ ✖ ✔✥✓✦❲■✿❧❀❬❧⑧✓✰✓✱, t✓♦ bi ✕✥✁✘✁✗➎ ✙➾✓➚✓➪✓✕✁✌✎✍✭✾ ✤ ➳✎⑨✕✶✓ã➎ , ➏✓➐➃ ✜✕✝✥✓✦✕✹ ➫ XB = B−1 b✾ ✑❹ “≤” ç✱ ✕✓✰✓✱✓✲✓✳✓✴✓✵✁⑩➫ “=” ç✱✓➔, ②✓õ i ö ✕✓✰✓✱✓✲✓✳✓✴✓✵✁❶✸ ⑧ ♣ ❪✓➓✛✁✜✥✓✦ xn+i , ✧✁★, ➏✓➐➃è✢✜ B−1 ● è✁❳❫: B −1 = a 0 1,n+1 a 0 1,n+2 . . . a 0 1,n+m a 0 2,n+1 a 0 2,n+2 . . . a 0 2,n+m . . . . . . . . . . . . a 0 m,n+1 a 0 m,n+2 . . . a 0 m,n+m ❁ø✓ù k ✕✓✬✦ bk ✕✥✓✐✬ ✦ ➫ ∆bk, ✚✓✛✢✜➂✁❷✮✓✬■✓✥, ❥✓Ö➃ ✜✕✝✥✓✦✕✞ ✹ ➫ : X N B = B −1 (b + ∆b)
5 其中△b=(0,,0,△，0，.，0)T.要使最优解基变量保持不变只须满足Xg≥0.因 k-1个0 Xg=B-1(b+△b)=B-1b+B-1△b 0 0 +B- △b △beP+ 0 n 0 +△bkai.n+k 的+△bka.n+ n+△bm,n+k] 由此可得+△dm+k≥0，i=1,2,,m,即 △bkam,n+k≥-，i=1,2,…,m (4.5) 若a.m+k>0,则由式(5.5)得 △bs之an+k b! 若a,n+k<0,则由式(5.5)得 ≤兰 由此可得 max {am+ (4.6 在表5-1中，n=4,对△b2有 m{兴婴}s≤血{器) -200≤△b2≤133.33 1000≤b2≤1333.33. 上式有两个意思：第一，资源2可降低到1000单位或增加到1333.33单位，而最优解 的基变量仍然是、工4和x2;第二，在这个范围内增加或减少任何数目的资源2，它的边 际值都是0.25元(g2-6-0.25).例如能多获得100单位的资源2，每单位资源2都可使 利润增加0.25元总利润增加25元
5 ➂ ✜ ∆b = (0, . . . , 0 | {z } k−1➓0 , ∆bk, 0, . . . , 0)T ✾❀⑧❛ ➏✓➐➃✝ ✥✓✦❭✁❪■✓✥, ➥✓➘✿✁❀ XN B ≥ 0✾ ✧ XN B = B−1 (b + ∆b) = B−1 b + B−1∆b = b 0 1 b 0 2 . . . b 0 m + B−1 0 . . . 0 ∆bk 0 . . . 0 = b 0 1 b 0 2 . . . b 0 m + ∆bkP 0 n+k = b 0 1 + ∆bka 0 1,n+k b 0 2 + ∆bka 0 2,n+k . . . b 0 m + ∆bka 0 m,n+k ✢ ★✓●✓➧ b 0 i + ∆bka 0 i,n+k ≥ 0,i = 1, 2, . . . , m, ✻ ∆bkam,n+k ≥ −b 0 i ,i = 1, 2, . . . , m (4.5) ✖ ai,n+k > 0, ❥ ✢ ✱ (5.5) ➧ ∆bk ≥ −b 0 i a 0 i,n+k . ✖ ai,n+k < 0, ❥ ✢ ✱ (5.5) ➧ ∆bk ≤ −b 0 i a 0 i,n+k . ✢ ★✓●✓➧ max ( −b 0 i a 0 i,n+k a 0 i,n+k > 0,i = 1, 2, . . . , m ) ≤ ∆bk ≤ min ( −b 0 i a 0 i,n+k a 0 i,n+k < 0,i = 1, 2, . . . , m ) (4.6) ✑✓è 5–1 ✜ ,n = 4, ② ∆b2 ✔ max −100 0.25 , −200 1 ≤ ∆b2 ≤ min −100 −0.75 −200 ≤ ∆b2 ≤ 133.33, 1000 ≤ b2 ≤ 1333.33. ➲✱ ✔✁❛➓✁✂✁❸: õ❪, ø✓ù 2 ●✁❹✁❺↕ 1000 å✓ô✁❻✓s♣ ↕ 1333.33 å✓ô, ý ➏✓➐➃ ✕✁✝✥✓✦✁❩✓ê✻ x5 ⑥ x4 ✯ x2; õ✁✮, ✑▲ ➓ ✌✎✍✁✏✭s♣❻þ➦✁❼ä✬★✧✪✕✓ø✓ù 2, ❷ ✕✓à ❂✹✓✺✓✻ 0.25 ❄ (q2 = z6 = 0.25). ❜❳❍ ⑩✁❽➧ 100 å✓ô✓✕✓ø✓ù 2, ❾ å✓ô✓ø✓ù 2 ✺●✓❛ ❝✓❞s♣ 0.25 ❄, ❿❝✓❞s♣ 25 ❄ ✾