3、质点系的动量矩定理 对于第i个质点应用质点的动量矩定理,有 dt- mo(F+Fi) ∑=,=∑m0(F+F) d∑ =∑m0(F)+∑m0(F) dt 0=∑M0即为质点系的动量矩定理 dt 若在运动过程中,作用在质点系上的合外力对固定点O的矩恒 为0,则该质点系动量矩守恒
y o x z 3、质点系的动量矩定理 · · · · · · · · mi mivi e Fi i Fi ( ) dt d i i e 0 i oi m F F h = + 对于第i个质点应用质点的动量矩定理，有: 0 0 M H = dt d 0 即为质点系的动量矩定理 ( ) dt d i i e 0 i oi m F F h = + ( ) ( ) dt d i 0 i e 0 i oi m F m F h = + 若在运动过程中，作用在质点系上的合外力对固定点O的矩恒 为0，则该质点系动量矩守恒
质点系动量矩定理的投影式为:dH 2=∑M dt 若在运动过程中,作用在质点系上的合力对某固定轴的矩恒为 0,则该质点系对该轴的动量矩守恒。 例:半径为R的滑轮上绕一不可伸长的绳子,绳子两端分别挂有质 量为m1和m2的两重物,设m1>m2,求m1运动的加速度。滑轮及绳 子的质量不计 R 解:研究系统,分析受力:分析运动 A =∑M dt d ( m,v,R+mVr) m,,gR m -m 2 m a m,+m m1g
若在运动过程中，作用在质点系上的合力对某固定轴的矩恒为 0，则该质点系对该轴的动量矩守恒。 质点系动量矩定理的投影式为： z z dt d M H = O R 解： 研究系统，分析受力： m1g m2g YO XO v1 v2 分析运动： z z dt d M H = m gR m gR dt d(m v R m v R) 1 2 1 1 2 2 = − + g m m m m a 1 2 1 2 1 + − = 例：半径为R的滑轮上绕一不可伸长的绳子，绳子两端分别挂有质 量为m1和m2的两重物，设m1＞m2 ，求m1运动的加速度。滑轮及绳 子的质量不计
§3.转动惯量、平移轴定理 J=mr为刚体对转轴的转动惯量,为一常数 同质量一样,转动惯量是刚体固有的物理属性,它与刚体的运 动无关,也不来自任何力学定理。一旦转轴确定,转动惯量即为恒 定,且恒为正值。 对于连续体Jz rdm M 若把刚体的总质量M集中于刚体上某一点处,该点到转轴的距 离为p,则有: Jz=Mp2p:回转半径或惯性半径 平移轴定理: Z -J+ Md (证明从略) 刚体对任意轴的转动惯量J等于对与该轴平行的质心轴的转动 惯量Jc加上刚体的总质量与两轴间距离d的平方的乘积 可见,刚体对质心轴的转动惯量最小
§3. 转动惯量、平移轴定理 为刚体对转轴的转动惯量，为一常数. 2 i i = m r z J 同质量一样，转动惯量是刚体固有的物理属性，它与刚体的运 动无关，也不来自任何力学定理。一旦转轴确定，转动惯量即为恒 定，且恒为正值。 对于连续体 J r dm M 2 Z = 若把刚体的总质量M集中于刚体上某一点处，该点到转轴的距 离为ρ，则有： 2 J Z = M 平移轴定理： 2 J Z = JC + Md 刚体对任意轴的转动惯量JZ等于对与该轴平行的质心轴的转动 惯量JC加上刚体的总质量与两轴间距离d的平方的乘积。 可见，刚体对质心轴的转动惯量最小。 （证明从略） ρ：回转半径或惯性半径
例:均质圆轮质量为m,半径为R,求对质心轴C的转动惯量 解:取单位厚度的圆轮研究, 取一面积微元dm dm=rd0·drp Rc2兀 r drdO de C dr C mR R 对轮缘上任一点,有 Z J。+Md mR+mR mR2 2 2
例：均质圆轮质量为m，半径为R，求对质心轴C的转动惯量。 C R dθ r dr 解：取单位厚度的圆轮研究， 取一面积微元dm dm = rd dr J r dm M 2 C = = 2 0 3 R 0 C J r drd 2 C mR 2 1 J = ∵ ∴ 对轮缘上任一点，有： 2 J Z = JC + Md 2 2 2 Z mR 2 3 mR mR 2 1 J = + =
例:均质杆质量为m,长为l,求对质心轴C的转动惯量 C 解:取一微元dx O x dx C X dx C m 12 对杆端,有: J,=Jc+Md2 J2=m/2+m() m 12 23
解：取一微元dx dx m dm = l J r dm M 2 C = − = 2 l 2 l l x dx m J 2 C 2 C m 12 1 J = l ∵ ∴ 对杆端，有： 2 J Z = JC + Md 2 2 2 Z m 3 1 m m( ) 12 1 J l 2 l = l + = 例：均质杆质量为m，长为l，求对质心轴C的转动惯量。 C dx x O x z