推广可得三元函数方向导数的定义 对于三元函数=f(x,y,z),它在空间一点 P(x,y,x)沿着方向L的方向导数,可定义 为f ∫(x+△x,y+△,z十△z)一∫(x,y,z) m Op-→0 (其中P=√(△x)2+(y)2+(△x)2) 设方向L的方向角为a,B,y △x=pc0sc, 4y=pc0sB,△z=Pc0sy, 同理:当函数在此点可微时,那末函数在该点 沿任意方向L的方向导数都存在,且有 af af of cos a+cos B+cos y. ay
推广可得三元函数方向导数的定义 对于三元函数u = f ( x, y,z)，它在空间一点 P( x, y,z)沿着方向 L 的方向导数 ，可定义 为 , ( , , ) ( , , ) lim 0 f x x y y z z f x y z l f + + + − = → （ 其中 2 2 2 = (x) + (y) + (z) ） 设方向 L 的方向角为, , x = cos, y = cos , z = cos , 同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点 沿任意方向 L 的方向导数都存在，且有 cos cos cos . z f y f x f l f + + =
例3设是曲面2x2+3y2+z2=6在点 P(1,1,1)处的指向外侧的法向量,求函数 =(6x2+812)2在此处沿方向的方向 导数 解令F(x,J,z)=2x2+3y2+z2-6, =4x 2 rIP P 故n={F,F1,F={62 =√42+62+2=2、14,方向余弦为 2 3 cos Cc cos cos 14 √14 14
例 3 设n 是曲面2 3 6 2 2 2 x + y + z = 在点 P(1,1,1)处的指向外侧的法向量，求函数 2 1 2 2 (6 8 ) 1 x y z u = + 在此处沿方向n 的方向 导数. 解 令 ( , , ) 2 3 6, 2 2 2 F x y z = x + y + z − = 4 = 4, x P P F x = 6 = 6, y P P F y = 2 = 2, z P P F z 故 n = Fx , Fy , Fz = 4, 6, 2, 4 6 2 2 14, 2 2 2 n = + + = 方向余弦为 , 14 2 cos = , 14 3 cos = . 14 1 cos =