微积分基本公式 在上一节我们已经看到,直接用定义 计算定积分是十分繁难的,因此我们期 望寻求一种计算定积分的简便而又一般 的方法。我们将会发现定积分与不定积 分之间有着十分密切的联系,从而可以 利用不定积分来计算定积分
在上一节我们已经看到，直接用定义 计算定积分是十分繁难的，因此我们期 望寻求一种计算定积分的简便而又一般 的方法。我们将会发现定积分与不定积 分之间有着十分密切的联系，从而可以 利用不定积分来计算定积分。 微积分基本公式
、问题的提出 变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 设某物体作直线运动,已知速度v=v(t)是时 间间隔[T1,TH的一个连续函数,且v()≥0, 求物体在这段时间内所经过的路程. 变速直线运动中路程为 v(t)dt 另一方面这段路程可表示为(T2)-(T1) v()lt=s(T)-s(T1).其中s'(t)=v(t)
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 设某物体作直线运动，已知速度v = v(t)是时 间间隔[ , ] T1 T2 上t 的一个连续函数，且v(t) 0， 求物体在这段时间内所经过的路程. 变速直线运动中路程为 2 1 ( ) T T v t dt 另一方面这段路程可表示为 ( ) ( ) 2 T1 s T − s ( ) ( ) ( ). 2 1 2 1 v t dt s T s T T T = − 其中 s(t) = v(t). 一、问题的提出
二、积分上限函数及其导数 设函数f(x)在区间[4,b上连续,并且设x 为a,b上的一点,考察定积分 S f(x)dx = f(dt 如果上限x在区间[a,b上任意变动,则对于 每一个取定的x值,定积分有一个对应值,所以 它在a,b上定义了一个函数, 记Φ(x)=f()dt.积分上限函数
设函数 f (x)在区间[a,b]上连续，并且设x 为[a,b]上的一点， x a f (x)dx 考察定积分 = x a f (t)dt 如果上限x在区间[a,b]上任意变动，则对于 每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以 它在[a,b]上定义了一个函数， ( ) ( ) . = x a 记 x f t dt 积分上限函数 二、积分上限函数及其导数
积分上限函数的性质 定理1如果f(x)在a,b上连续,则积分上限的函 数(x)=f()在la,b上具有导数,且它的导 数是Φ(x)=f()t=f(x)(a≤xsb) 证Φ(x+△x)=f(t △Φ=Φ(x+△x)-①(x) x+△v f(txt- f(t)dt xx+△vbx
a b x y o 定理１ 如果 f ( x)在[a,b]上连续，则积分上限的函 数 x f t dt x a ( ) = ( ) 在[a,b]上具有导数，且它的导 数是 ( ) f (t)dt f (x) dx d x x a = = (a x b) 积分上限函数的性质 x + x 证 x x f t dt x x a + ( + ) = ( ) = (x + x) − (x) f t dt f t dt x a x x a = − + ( ) ( ) (x) x
x+△v f(td+」f(o)dt-Jf()t x+△r f(t)dt 由积分中值定理得 Φ(x) xEx+△Cbx △①=f(引)△xξ∈x,x+△xl △Φ △Φ ∫(5),lim m∫( △x→>0△x△x->0 △x→>0,5→x Φ(x)=f(x)
f t dt f t dt f t dt x a x x x x = a + − + ( ) ( ) ( ) ( ) , + = x x x f t dt 由积分中值定理得 = f ( )x [x, x + x], x → 0, → x f ( ), x = lim lim ( ) 0 0 f x→ x x→ = (x) = f (x). a b x y o x + x (x) x