金属再结晶过程中晶粒取向差分布的统计计算方法

0:10.13374/j.1ssn1001053x.1997.06.005 第19卷第6期 北京科技大学学报 Vol.19 No.6 1997年12月 Journal of University of Science and Technology Beijing Dec.1997 金属再结晶过程中晶粒取向差分布的 统计计算方法* 朱国辉毛卫民余永宁陈楠 北京科技大学材料科学与工程学院，北京100083 摘要从取向分布函数的基本概念出发，提出了统计计算晶界两侧晶粒取向差分布规律的方 法，利用这种方法不仅可以计算晶粒取向随机分布时晶粒之间取向差的分布，而且可以计算具有 织构的条件下，再结晶晶粒与形变基体之间晶界两侧晶粒的取向差的分布规律，在计算过程中可 以直接代人实际测算的ODF数据进行计算. 关键词再结晶，取向，统计计算，分布规律 中围分类号TB303 金属再结晶过程中再结晶晶粒与变形基体之间界面的晶体学特性对晶界迁移行为及织 构的形成具有显著的影响刃，因而也会影响到材料的性能)晶界两侧晶粒的取向差是决定 晶界特性和结构的重要参数，因此研究多晶材料中晶界两侧晶粒取向差的分布及变化规律对 于金属学基础理论研究以及材料性能的研究都具有相当重要的意义， MacKenzie!从晶体学点群的角度计算了取向随机分布的、具有八面体对称性的材料晶 粒取向差分布曲线；同时还计算了转动轴分布的规律，Morawiec计算了具有其他对称性材 料的晶粒取向差分布规律 利用EBSP技术可以分析金属材料微观区域内晶粒取向差分布规律1~引.这种微区分析的 结果通常不能反映出被分析材料宏观整体上晶粒取向差的分布，取向分布函数从宏观整体上 反映了多晶体各晶粒取向的统计分布.因此，本文通过金属再结晶前后的取向分布函数来 尝试开发计算金属再结晶过程中晶粒取向差分布的一种统计学方法， 1基本模型 一晶界两侧晶粒的取向差，可以表示成晶界一侧的晶粒绕一特定的转动轴转动到与另一 侧的晶粒具有相同取向时所转动的最小转角y,y即表示两晶粒的取向差，在取向分布函数 f(g).=f(p中，p2)中可以用欧拉空间中的3个欧拉角p中，p,表示一个取向 g-g仰，中，p).在多晶材料中取向差分布表示的是：所有晶界两侧晶粒间取向差表现为不 同y值时所对应的统计分布概率，或统计分布密度. 在冷变形多晶体的欧拉空间中任一取向g=g(,中，P,)相对于样品坐标系的转动矩阵 1997-0901收稿第一作者男38岁副教授 ◆国家自然科学基金资助项目

第19 卷 第6期 19 9 7年 1 2 月 北 京 科 技 大 学 学 报 oJ u r n a l o f U n i v e r s ity o f 女i e n e e a n d T e c h n o l o g y B e iji n g V o l 一 1 9 N o 一 6 L地C 。 1 9 7 公 金 属再结晶过程 中晶粒取 向差 分布 的 统计计算方法 * 朱国辉 毛卫 民 余永 宁 陈楠 北京科技大学材料科学 与工程学 院 , 北京 10 0 83 摘要 从 取 向分布 函数 的基本 概念 出 发 , 提 出 了统计 计算 晶界两 侧晶粒 取 向差分 布规律 的方 法 . 利用这种方法不仅可 以 计算 晶粒取 向随机分布 时晶粒之间取 向差的分布 , 而且可以 计算具有 织构 的条件 下 , 再结 晶晶粒与形变基体之 间晶界两侧晶粒的取 向差 的分布规律 . 在计算过程 中可 以直接代人实 际测算的 O D F 数据进行计算 . 关健词 再结 晶 , 取向 , 统计计算 , 分布规律 中图分类号 珊 303 金 属再结晶过 程 中再结晶晶 粒 与变 形基 体之 间界 面的 晶体学特 性 对晶 界迁 移 行 为及 织 构的形成 具有 显著 的影 响1[, 2〕 , 因而 也 会影 响到 材料 的性 能 3[] . 晶界 两 侧晶粒 的取 向差是 决 定 晶界 特性和结构的重要 参数 , 因此研究多 晶材 料 中晶界 两侧晶粒取 向差 的分布及 变化 规律对 于金 属学 基础 理论研究 以 及 材料性 能 的研究 都具有相 当重要 的意义 . M aC eK nz ie 4I] 从 晶体学 点 群 的角 度计算了取 向 随机分 布 的 、 具 有 八面体对称性 的材 料 晶 粒取 向差 分布曲线; 同时还 计算 了转动轴分布的规律 . M o awr ie s[] 计算 了具有其他对称性 材 料 的晶粒取向差分布规律 . 利用 E B S P 技术可 以 分析金 属材料 微观 区域 内晶粒取 向差 分布规律〔, 一 ’ ] . 这 种微 区分析的 结果 通 常不 能反 映 出被分 析材料 宏 观整 体上 晶粒取 向差 的分布 . 取 向分布 函数从宏 观整 体上 反 映 了多 晶体各晶粒 取 向的 统计分 布 16] . 因此 , 本 文通 过金 属再结晶前 后 的取 向分布 函数来 尝试开 发计算金 属再结晶过程 中 晶粒取 向差 分布的一种 统计学方 法 . 1 基本模型 一晶界 两 侧晶粒 的取 向差 , 可以 表示成 晶界 一侧的 晶粒绕一特 定的 转动轴转动到 与另 一 侧的 晶粒 具有 相 同 取 向时所 转 动 的最 小 转 角 y , 下即表示 两 晶粒 的 取 向差 . 在 取 向分布 函数 厂g( )一 f 伸 , , 叭 尹 2 ) 中 可 以 用 欧 拉 空 间 中 的 3 个 欧 拉 角 沪 , , 巾 , 尹 2 表 示 一 个 取 向 g = g 伽 , , 中 , 闪 6[] . 在多 晶材 料中取 向差 分布 表 示 的是 : 所有 晶界 两侧晶粒 间取 向差表现 为不 同y 值时所 对应 的统 计分 布概率 , 或 统计分布 密度 . 在冷变形 多 晶 体的欧 拉空 间 中任一 取 向 g = g( 价 1 , 么 叭 )相 对于样 品 坐标系 的转动矩 阵 19 7一9一 l 收稿 第 一作者 男 38 岁 副教授 * 国家 自然科学基金资助项 目 DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 1997. 06. 005

Vol.19 No.6 朱国辉等：金属再结晶过程中晶粒取向差分布统计计算方法 ·543· M为：阿 cosp,cosp2-sinp,sinp,cosΦ；sinp,cosp2+cosp,sinp,cos中； sinp,sinΦ M1= -cosp,sinp2-sinp,cosp.cosΦ；-sinp,sinp,+cosp,cosp,cos中；cosp,sing (1) sinp,sin; -cosp,sin中； cos中 对应的体积微元dv,可以表示成仞： dv,=f8)dg=fp,中，p8元sinp,dpdp, (2) 其中，g)为这个体积微元所对应的取向分布密度. 在再结晶多品体的欧拉空间中任一取向g'(仰，中，P)相对于样品坐标系的转动矩阵M, 和相应的体积微元dy,可以表示成： cospcosp-sinpisinpcos sinp;cos+cossinp.cos sinp,sinΦ M= -cosp sinp2-sinp cosp cos;-sinpisinp+cospcosp;cos;cosp sin (3) sinp sin'; -cosp,sinΦ； cosΦ 和 d,=gdg=fe重，p82 i4p, (4) 则上述二个体积微元dv和dy,中的晶粒取向的相对转动矩阵M为： M=MXM (5) 其中M1表示是M的逆矩阵. 设dy,为相应取向的变形晶粒所具有的体积概率，则在再结晶晶粒中体积为dy,且与dy, 取向的相对转动矩阵为M的晶粒与dy,相邻接的体积概率dv为： dy dy,x dv, (6) 利用等式（⑤）中的矩阵M可以计算2个取向之间的取向差y,以及对应的转动轴.需要 注意的是，根据取向差的定义，对于432对称性的立方晶体，上述每1个取向差共有24种可能 的转动关系，因此在计算取向差时必须计算24种可能的转动，求得最小的转角作为2个晶粒 之间的取向差， 根据等式（⑤），可以计算出对应与上述的取向差y的晶粒的体积分数.将具有相同取向差 的体积分数相加，则可以得到取向差y和晶粒体积分数ⅴ之间的关系： v=v(y) (7) 将取向差的取值范围[0，Y]划分成等间隔的区间，间隔为△y.定义分布概率∫为： ∫+ f二gvdy (8) 表示在y,y+△y]取向差范围内，所具有的晶粒体积量的分数.由此可以算得晶粒取向差分 布曲线. 分别将变形晶粒取向空间和再结晶晶粒取向空间均匀划分成等体积的3744个体积微 元，则等式(2)和(4)转变成： d=fg)dg=p1Φ，p744 d,=g)g=fp币，p3744 (9)

第 19 卷 第6期 1 9 97年 12月 北 京 科 技 大 学 学 报 oJ u r n a l o f U n i v e r s iyt o f 女 i e n e e a n d T e c h n o l o g y B e i ji n g V o l 一 1 9 N o 一 6 L地 C 。 1 9 7 公 金 属再结晶过程 中晶粒取 向差 分布 的 统计计算方法 * 朱国辉 毛卫 民 余永 宁 陈楠 北京科技大学材料科学 与工程学 院 , 北京 10 0 83 摘要 从 取 向分布 函数 的基本 概念 出 发 , 提 出 了统计 计算 晶界两 侧晶粒 取 向差分 布规律 的方 法 . 利用这种方法不仅可 以 计算 晶粒取 向随机分布 时晶粒之间取 向差的分布 , 而且可以 计算具有 织构 的条件 下 , 再结 晶晶粒与形变基体之 间晶界两侧晶粒的取 向差 的分布规律 . 在计算过程 中可 以直接代人实 际测算的 O D F 数据进行计算 . 关健词 再结 晶 , 取向 , 统计计算 , 分布规律 中图分类号 珊 303 金 属再结晶过 程 中再结晶晶 粒 与变 形基 体之 间界 面的 晶体学特 性 对晶 界迁 移 行 为及 织 构的形成 具有 显著 的影 响1[, 2〕 , 因而 也 会影 响到 材料 的性 能 3[] . 晶界 两 侧晶粒 的取 向差是 决 定 晶界 特性和结构的重要 参数 , 因此研究多 晶材 料 中晶界 两侧晶粒取 向差 的分布及 变化 规律对 于金 属学 基础 理论研究 以 及 材料性 能 的研究 都具有相 当重要 的意义 . M aC eK nz ie 4I] 从 晶体学 点 群 的角 度计算了取 向 随机分 布 的 、 具 有 八面体对称性 的材 料 晶 粒取 向差 分布曲线; 同时还 计算 了转动轴分布的规律 . M o awr ie s[] 计算 了具有其他对称性 材 料 的晶粒取向差分布规律 . 利用 E B S P 技术可 以 分析金 属材料 微观 区域 内晶粒取 向差 分布规律〔, 一 ’ ] . 这 种微 区分析的 结果 通 常不 能反 映 出被分 析材料 宏 观整 体上 晶粒取 向差 的分布 . 取 向分布 函数从宏 观整 体上 反 映 了多 晶体各晶粒 取 向的 统计分 布 16] . 因此 , 本 文通 过金 属再结晶前 后 的取 向分布 函数来 尝试开 发计算金 属再结晶过程 中 晶粒取 向差 分布的一种 统计学方 法 . 1 基本模型 一晶界 两 侧晶粒 的取 向差 , 可以 表示成 晶界 一侧的 晶粒绕一特 定的 转动轴转动到 与另 一 侧的 晶粒 具有 相 同 取 向时所 转 动 的最 小 转 角 y , 下即表示 两 晶粒 的 取 向差 . 在 取 向分布 函数 厂g( )一 f 伸 , , 叭 尹 2 ) 中 可 以 用 欧 拉 空 间 中 的 3 个 欧 拉 角 沪 , , 巾 , 尹 2 表 示 一 个 取 向 g = g 伽 , , 中 , 闪 6[] . 在多 晶材 料中取 向差 分布 表 示 的是 : 所有 晶界 两侧晶粒 间取 向差表现 为不 同y 值时所 对应 的统 计分 布概率 , 或 统计分布 密度 . 在冷变形 多 晶 体的欧 拉空 间 中任一 取 向 g = g( 价 1 , 么 叭 )相 对于样 品 坐标系 的转动矩 阵 19 7一9一 l 收稿 第 一作者 男 38 岁 副教授 * 国家 自然科学基金资助项 目

·544· 北京科技大学学报 1997年第6期 如果变形基体与再结晶晶粒取向分布均是随机分布，则有g)三1，因而等式(9)可以进一 步简化成： d=e=374 dy,=f8)dg=3744 (10) 由此可以根据等式(5)，(6)，(7)，(8)和(10)计算出晶粒取向完全随机分布时再结晶晶粒与 形变基体之间取向差的统计分布，如果变形基体与再结晶晶粒均呈现出织构分布，则可以把 测算到的取向分布函数值f仰中，p)和∫(p,中，p)代入，根据等式(5)~(9)计算出相应的再 结晶晶粒与形变基体之间取向差的统计分布. 2结果及讨论 图1表示了利用上述方法计算的取向随机分布时多晶材料中晶粒取向差分布的规 律.Hith和Gottstein⑧曾在未经形变且晶粒取向随机分布的样品中测量了535对取向差，从 而得到实验测试的晶粒取向随机分布时取向差分布结果（参见图1）.如图1所示，计算的结 果与实验测量的结果得到了很好的吻合.图2是将实验测试的数据)与MacKenzie分布密 度比较的结果.两者比较后可以看出，利用本方法计算的曲线更符合于实测结果， 在对多晶材料再结晶行为，特别是再结晶织构形成规律的研究工作中，通常非常需要了 解形变基体晶粒之间以及再结晶开始后，再结晶晶粒与形变基体之间的晶粒取向差的分 布.为了得到晶粒取向差分布的规律，不仅可以利用EBSP技术对微观取向差分布进行实验 20 20 15 0 0 01020304050607080 01020304050607080 取向差/() 取向差/() 图1随机取向晶粒的取向差分布计算结果 图2随机取向晶粒的取向差分布计算结果 测量，而且可以用本文介绍的方法进行宏观的取向 差分布统计分析.图3给出了利用再结晶退火前后 15 取向分布函数数据对CuZn金属间化合物合金相应 10 晶粒取向差分布的计算结果，其中68.4%的晶粒的 取向差在30°~55°之间.由图3可以分析出，冷变 形多晶材料有明显织构时，其再结晶过程主要是依 0 01020304050607080 靠大角度晶界的迁移来完成， 取向差/() 利用实际测算的取向分布函数数据可以统计 图3CuZn金属间化合物再结晶晶粒与形变 计算晶粒取向差分布的规律.同时利用这种方法还 组织之间的取向差分布.曲线为随机取向分 布，直方图具有织构的形变组织与再结晶组 可以进一步细致研究再结晶过程中各种织构组分 织的晶粒取向差分布

· 5 4 4 · 北 京 科 技 大 学 学 报 1 9 9 7年 第6期 如果 变形 基体 与再结晶 晶粒 取 向分布 均是 随机 分布 , 则有 人g ) 三 1 , 因而 等式 (9) 可以 进 一 步简 化成 : vd : 一 旅)ds 一 点 d y , 一 瓜’ ,ds) 二 一 ’ “ ’ 、 0 2 森 l(0) ~ 3 7 4 4 “ “ “ ~ ` 口 3 7 4 4 由此 可 以 根 据等式 (5 ) , ( 6) , (7) , ( 8) 和 ( 10) 计算 出晶粒 取 向完全 随机 分布 时再结 晶晶粒 与 形变 基 体之 间取 向差 的 统计分布 . 如 果 变形 基体 与再 结晶晶 粒均 呈现 出织构 分布 , 则可 以 把 测算到 的取 向分布 函数值五伸 1 , 巾 , 叭 ) 和儿(州 , 中 ` , 式)代人 , 根据等式 ( 5) 一 (9) 计 算 出相应 的再 结 晶晶粒与 形变 基体 之间取 向差 的 统计分布 . 2 结果及讨论 图 1 表 示 了 利用 上 述 方 法 计算 的取 向 随机 分布时 多 晶材 料 中 晶 粒 取 向 差 分布 的规 律 . 环hrt 和 oG st iet nls ] 曾在 未 经 形变 且 晶粒取 向随机 分布 的样 品 中测量 了 53 5 对取 向差 , 从 而 得 到 实验测 试 的晶 粒取 向随机分 布 时取 向差 分布结 果 ( 参见 图 1) . 如 图 l 所示 , 计算的结 果 与 实验 测 量 的结 果 得 到 了很 好 的吻 合 . 图 2 是 将 实 验测 试 的数 据 7[] 与 M ac eK nz ie 分布 密 度 4[] 比较 的结果 . 两者 比较 后可 以 看 出 , 利用本方法 计算的 曲线更符 合于 实测 结果 . 在 对多 晶材料 再 结 晶行 为 , 特别 是再 结 晶织 构 形成 规律 的 研究 工作 中 , 通 常非 常需 要 了 解 形 变 基体晶 粒 之 间 以 及 再 结 晶 开 始 后 , 再 结 晶 晶 粒 与 形 变 基 体 之 间 的 晶粒 取 向 差 的 分 布 . 为 了得 到 晶粒取 向差 分 布 的规律 , 不仅可 以 利 用 E B S P 技 术 对微观 取 向差分 布 进行 实 验 燕、尔娜唱岁 、攀求禅哈岁 取向差 / ( o ) 图 1 随机取 向晶粒的取 向差分布计算结果 取向差 / ( o ) 图 2 随机取向晶粒的取向差分布计算结果 ` , nU气一仁」 1 燕众契昭岁、 测 量 , 而且 可 以 用本 文 介 绍 的方法 进 行 宏观 的 取 向 差 分 布 统计分 析 . 图 3 给 出了利 用 再 结 晶退 火 前后 取 向分布函数数据 对 C uz n 金 属 间化 合物合金 相应 晶粒 取 向差 分 布 的计算结果 , 其中 68 . 4 % 的 晶粒 的 取 向差 在 30 一 5 50 之 间 . 由图 3 可 以 分 析 出 , 冷 变 形多 晶材 料有 明显 织 构 时 , 其再 结晶过 程 主要 是 依 靠大 角度 晶界 的迁 移来 完成 . 利 用 实 际 测 算 的 取 向分 布 函 数 数 据 可 以 统 计 计算 晶粒 取 向差 分布 的规律 . 同时利 用 这 种方 法 还 可 以 进 一 步 细 致研 究 再 结 晶过 程 中各 种 织 构 组 分 0 肠走止 -l 二 L L -J 1 二」一 L 上卫巨 0 10 2 0 3 0 4 0 50 60 7 0 80 取向差 / ( o ) 图 3 C u nZ 金属间化合物再结 晶晶粒与形变 组织之间的取向差分布 . 曲线为随机取向分 布 , 直方 图具有织构 的形变组织与再结晶组 织的晶粒取 向差分布

Vol.19 No.6 朱国辉等：金属再结晶过程中晶粒取向差分布统计计算方法 ·545· 的互相转换关系，这不仅对再结晶过程中晶粒择优形核和选择生长等行为以及其他一些金属 学基础问题的研究具有重要的理论意义，而且对材料性能的预测与控制有潜在是实用价值. 3小结 利用取向分布函数和欧拉空间的基本概念，不仅可以计算取向随机分布的晶粒间取向差 分布规律，而且可以宏观地统计计算具有织构的多晶材料中的再结晶晶粒与形变基体之间的 取向差分布规律，它是微观EBSP技术的一种重要补充.这一计算模型提供了从宏观织构预 测多晶材料中晶界两侧的晶粒取向差分布规律的方法，对于织构及其相应金属学问题的研究 具有重要的实际意义， 参考文献 1 Raabe D,Fischer-Bahner J,Ball J,et al.Texture in Intermetallic Compounds Experiments and Simula" tions.In:Proc of the Inter Conf on Texture of Mater.Xi'an China,1996.941 2 Hughes D A,Hansen N.Microstructural Evolution in Nickel during Rolling from Intermediate to Large Slraims.Metall Trans,1993,24A:2021 3 Watanabe T.Grain Boundary Engineering in Textured Materials.In:Proc of the Inter Conf on Texture.Xi'an China,1996.1309 4 Mackenxie J K.The Distribution of Rotation Axesin a Random.Acta Metalis,1996(12):132 5 Morawiec A.Misorientation-Augle Distribution of Randomly Oriented Symmetrical Objects.J Appl Cyt,1995,28:289 6毛卫民，张新民.晶体材料织构定量分析.北京：冶金工业出版社，1995.61 7 Hirth S,Gottstein G.Microtexture Of Discontinuous Precipitation in An Al-2.8at%Ag-Ga Alloy. In:Proc.of the 11th Inter on Texture of Mater.Xi'an China,1996.1339 Statistical Calculation Method of Misorientation Distribution between Recrystallization Grains and Deformed Matrix Zhu Guohui Mao Weimin Yu Yongning Chen Nan Materials Science and Engineering School,UST Beijing,Beijing 100083,China ABSTRACT A method of statistical calculation misorientation distrbution between the grains was proposed using the orientation distribution function based on the Euler's space. In this model,the misorientation distribution can be calculated not only between randomly oriented but also between the deformed matrix with various texture components and corre- sponding recrystallized grains with different texture.Furthemore,the experimental ODFs data can be used for calculation. KEY WORDS recrystallization,orientation,the statistical calculation,distribution

l o V . 9 1 O N . 朱国辉等 6 : 金属再结 晶过程 中晶粒取 向差分布统计计算方法 的互 相转 换关 系 . 这 不仅对再结 晶过 程 中晶粒 择优 形核 和选 择生 长等行 为以 及 其他 一些金 属 学基 础 问题 的研 究具有 重要 的理 论 意义 , 而且 对材料 性能 的 预测 与控制 有潜在是 实用 价值 . 3 小结 利用 取 向分布 函数和 欧拉 空 间的基 本概 念 , 不 仅可 以 计 算取 向随机分 布 的晶粒 间取 向差 分布规律 , 而且 可 以 宏 观地 统计计算具有 织构 的多 晶材 料 中的再 结晶 晶粒与形 变基 体之 间 的 取向差 分 布规律 , 它是 微 观 E B S P 技 术 的一 种重 要 补 充 . 这 一 计算 模型提 供 了从宏 观 织 构预 侧多 晶材 料 中晶界 两侧的 晶粒取 向差分布 规律的 方法 , 对于 织构及 其相 应金属 学 问题 的研 究 具有 重要 的实际意 义 . 参 考 文 献 R明 be D , R s e he -r B仓hn e r J , B al l J , e t al . eT x t u re i n nI te rm e atl l i e C o n 1 Po u n d s xE pe ir m e n ts an d Si m ul a · it o n s . nI : 2 H u g he s P “ ℃ o f ht e nI te r C o n f o n eT x t切 re o f M a te r . iX , an C ih n a , 1 9 96 . 94 1 D A , l通 r g e 51面m s · H 知s e n N . 诵 e ors tl u c tu ar l vE ol u it o n i n 凡e ke l d iur gn oR lli n g fr o m nI te rm e id a te ot M 七atl l T 烧田 s , 19 9 3 , 2 4 A : 2 0 2 1 3 w a 加叮a忱 T . C而n B o u n d 脚 E n g i ne e ir 呢 i n eT x t u er d M a t e ir al s . I n : P 找犯 o f het l n et r C o n f o n eT x t叨 er . Xi , an C l l i an , 19 9 6 . 1 30 9 4 M 自c ke nx i e J K . Th e 压s itr bo it o n o f oR at it o n sA e s i n a Ra n d om . cA at M e alt i s , 1 99 6( 1 2 ) : 1 3 2 5 M o r a w i e e A . 诵 s o ir e n at it o n 一 A ug l e 以s itr b iut o n o f 凡川 d o m ly O ir e n ot d S y m e itr c al 0 bj e e st . J A P Pl C yr t , 19 9 5 , 2 8 : 2 89 6 毛卫 民 , 张新民 . 晶体材料织构定量分析 . 北京 : 冶金工业 出版社 , 19 95 . 61 7 托 hrt s , oG st et i n G . 硒 e or et x t u er O f 以s c o n it n u o us Per e i Piat it o n i n nA AI 一 2 . s a t% A g 一 aG A l l o y . nI : 竹优 . o f ht e l l ht l n et r o n eT x l u er o f M a et r . 为 , a n C ih n a , 19 9 6 . 1 3 3 9 S t at i s t i c a l C a l c u l at i o n M e t h o d o f M i s o r i e n t a ti o n D i s tr i b u ti o n b e tw e e n R e e ry s t a lli z at i o n G r a i n s a n d D e of rm e d M a itr x 助 u G u o h u i 几人王0 哑im i n uY oY n g n i n g hC e n aN n M a te ir al s S e i e n e e an d 助gi n e e ir n g S c h o o l , U S T B e ij i n g , B e ij i n g 10 0 0 8 3 , C ih n a A B S T R A C T A m e ht o d s at it s it e a l e al e u l a it o n m i s o ir e n at it o n d i s t r b u it o n be tw e e n ht e g l . a l l s nI 面 S w as P or op s e d u s i n g 0 f ht e o ir e n at it o n d i s itr ob it o n f u n C it o n C a l C u l a te d b as e d o n ht e uE l e r 5 s P ac e . m de e l , ht e m i s o ir e n at it o n d i s itr b u it o n e a n be o n l y be wt e e n c o m P o n e n st ar n d om ly o ir e n et d s po n id n g b u t al s o be wt e e n ht e d e fo ll l l e d m a tir x w iht v a ir o u s et x ut er a l d C O仃 C d a at K E Y er e yr s alt li z e d g iar n s w i ht id fe er n t et x ut er . uF hrt e m o er , ht e e x pe ir m e n at l O D sF be u s e d fo r e al e ul a it o n . W O R D S er c yr s alt li z a it o n , o ir e n at it o n , th e s at it s it c a l e a l e u l a it o n , d i s itr b u it o n