D0I:10.13374/i.issnl00103.2007.s2.102 第29卷增刊2 北京科技大学学报 Vol.29 Suppl.2 2007年12月 Journal of University of Science and Technology Beijing Dec.2007 多值逻辑中的命题相关性与逻辑运算研究 刘宏岚高庆狮杨炳儒 北京科技大学信息工程学院，北京100083 摘要命题的属性包括结构属性和值属性.命题的结构决定了命题之间的关系，决定了命题之间的逻辑运算。命题的真值 只是一个由命题的结构决定的值属性，并不能代表整个命题·逻辑运算是命题的运算，不是真值的运算，多值逻辑中，命题逻 辑运算结果由命题的关系决定，真值相同的不同命题，逻辑运算结果的真值不一定相同，逻辑运算不是处处同态于某一个或 某一簇真值函数（算子），有时复合命题的真值不能被它的成分命题的真值完全确定，所以多值逻辑的联结词并不总能定义成 真值函数（算子）的形式：多值逻辑的命题公式不能再看作真值函数，命题公式是关于命题的函数， 关键词多值逻辑；逻辑运算：命题公式：真值函数 分类号TP18 1 多值逻辑系统分析 型存在的合理性和客观依据) 泛逻辑学认为模糊逻辑运算也是不确定的或柔 多值逻辑是不确定性推理的重要逻辑基础.多 性的，不应该是一组固定不变的算子，而应该用一组 值逻辑与二值逻辑的明显不同在于，命题真值的取 不确定的算子簇来定义，模糊命题的相关性是引起 值范围即真值集已由0,1{扩大为至少含有3个元 模糊逻辑关系柔性的主要原因，它把相关性分为广 素的集合，如{0，u,1},0,a,…,c。-2,1{乃至[0， 义自相关性和广义相关性两种类型，广义自相关性 1],除此之外多值逻辑仍然是用抽象的字母或这些 是指一个命题与其非命题之间的关联性，用广义自 字母通过一些必要的联结词如一，V,→等连接而成 相关系数k(0≤k≤1)来表示，广义相关性是指不同 的式子来表示命题及命题公式， 模糊命题之间的关联性，用广义相关系数h(0≤h 如果用v(p)表示命题p的真值，除个别多值 ≤1)来表示，分别通过函数N(x,k)、T(x,y,h) 逻辑系统如Bochvar三值系统外，多种多值系统如 和S(x,y,h)来定义”、“∧”和“V”运算，这里 Gdel三值系统、Kleene三值系统以及标准序列逻 x,y∈[0,17[4. 辑系统、Lukasiewicz无穷值逻辑系统等】，一般均 FzZy逻辑虽然在应用上取得成功，理论基础 规定v(一p)=1一v(p),v(pVq)=max(v(p),v 上却并非无懈可击，如经典公理系统的不适应性、某 （q),v(pAq)=min(u(p),(g),但联结词“→” 些等价定律如排中律、矛盾律等不成立以及与经典 的定义却是多种多样的，出现了多种蕴涵算子山. 二值逻辑不兼容等，所以并没有归入严密的逻辑系 模糊逻辑(Fz2y逻辑)就是真值集为[0,1]的 统之中. 多值逻辑.代表性的如Zadeh模糊逻辑，其中联结 多年来，学者们一直试图在寻找函数或算子来 词冖，V,∧的定义与前面相同，蕴涵联结词定义为 定义逻辑运算，使得运算结果与事实相符并且有一 v(pq)=v(pv(pAq))=max((1-v(p)), 个可靠的逻辑基础，换一个角度思考，是不是这种 min((p),v(q)),但在有些问题中，使用Zadeh 处处行得通的函数本身就不存在呢？下面将从实例 算子V,A等相对来说有些粗糙，为此人们提出了一 和理论上分析，有些情况下逻辑运算是无法用函数 些修补性的加细算子，如，概率算子、有界算子、Ei 或算子来表示的 stein算子等广义模糊算子[3].但是，这些模型都是 只有自己的适用范围，也都未能从逻辑学上找到模 2命题相关性与逻辑运算 收稿日期：2007-10-12 从语义角度说，命题之间是相互关联的，命题 基金项目：国家自然科学基金资助项目(60573014)：国家高技术研 之间的关系不同，逻辑运算的具体的数值计算公式 究发展计划(863计划)资助项目(2006AA01z140) (算子)便不同，所以传统多值逻辑系统和模糊逻辑 作者简介：刘宏岚(1973一)，女，博士研究生 系统对于逻辑联结词定义了大量的算子，而每种算
多值逻辑中的命题相关性与逻辑运算研究 刘宏岚 高庆狮 杨炳儒 北京科技大学信息工程学院北京100083 摘 要 命题的属性包括结构属性和值属性．命题的结构决定了命题之间的关系决定了命题之间的逻辑运算．命题的真值 只是一个由命题的结构决定的值属性并不能代表整个命题．逻辑运算是命题的运算不是真值的运算．多值逻辑中命题逻 辑运算结果由命题的关系决定真值相同的不同命题逻辑运算结果的真值不一定相同逻辑运算不是处处同态于某一个或 某一簇真值函数（算子）有时复合命题的真值不能被它的成分命题的真值完全确定所以多值逻辑的联结词并不总能定义成 真值函数（算子）的形式．多值逻辑的命题公式不能再看作真值函数命题公式是关于命题的函数． 关键词 多值逻辑；逻辑运算；命题公式；真值函数 分类号 TP18 收稿日期：2007-10-12 基金项目：国家自然科学基金资助项目（60573014）；国家高技术研 究发展计划（863计划）资助项目（2006AA01z140） 作者简介：刘宏岚（1973—）女博士研究生 1 多值逻辑系统分析 多值逻辑是不确定性推理的重要逻辑基础．多 值逻辑与二值逻辑的明显不同在于命题真值的取 值范围即真值集已由｛01｝扩大为至少含有3个元 素的集合如｛0u1｝｛0α1…αn—21｝乃至［0 1］．除此之外多值逻辑仍然是用抽象的字母或这些 字母通过一些必要的联结词如 ∨→等连接而成 的式子来表示命题及命题公式． 如果用 v （ p）表示命题 p 的真值除个别多值 逻辑系统如 Bochvar 三值系统外多种多值系统如 Gödel 三值系统、Kleene 三值系统以及标准序列逻 辑系统、／Lukasiewicz 无穷值逻辑系统等［1—2］一般均 规定 v （ p）＝1—v （ p）v （ p∨q）＝max（ v （ p）v （ q））v （ p∧q）＝min（ v （ p）v （ q））但联结词“→” 的定义却是多种多样的出现了多种蕴涵算子［1］． 模糊逻辑（Fuzzy 逻辑）就是真值集为［01］的 多值逻辑．代表性的如 Zadeh 模糊逻辑其中联结 词 ∨∧的定义与前面相同蕴涵联结词定义为 v （ p→q）＝v （ p∨（ p∧ q））＝max （（1— v （ p）） min（ v （ p）v （ q）））．但在有些问题中使用 Zadeh 算子∨∧等相对来说有些粗糙为此人们提出了一 些修补性的加细算子如概率算子、有界算子、Einstein 算子等广义模糊算子［3］．但是这些模型都是 只有自己的适用范围也都未能从逻辑学上找到模 型存在的合理性和客观依据［1］． 泛逻辑学认为模糊逻辑运算也是不确定的或柔 性的不应该是一组固定不变的算子而应该用一组 不确定的算子簇来定义．模糊命题的相关性是引起 模糊逻辑关系柔性的主要原因它把相关性分为广 义自相关性和广义相关性两种类型．广义自相关性 是指一个命题与其非命题之间的关联性用广义自 相关系数 k（0≤k≤1）来表示广义相关性是指不同 模糊命题之间的关联性用广义相关系数 h（0≤ h ≤1）来表示．分别通过函数 N（ xk）、T （ xyh） 和 S （ xyh）来定义“ ”、“∧”和“∨”运算这里 xy∈［01］ ［4］． Fuzzy 逻辑虽然在应用上取得成功理论基础 上却并非无懈可击如经典公理系统的不适应性、某 些等价定律如排中律、矛盾律等不成立以及与经典 二值逻辑不兼容等所以并没有归入严密的逻辑系 统之中［1］． 多年来学者们一直试图在寻找函数或算子来 定义逻辑运算使得运算结果与事实相符并且有一 个可靠的逻辑基础．换一个角度思考是不是这种 处处行得通的函数本身就不存在呢？下面将从实例 和理论上分析有些情况下逻辑运算是无法用函数 或算子来表示的． 2 命题相关性与逻辑运算 从语义角度说命题之间是相互关联的．命题 之间的关系不同逻辑运算的具体的数值计算公式 （算子）便不同所以传统多值逻辑系统和模糊逻辑 系统对于逻辑联结词定义了大量的算子而每种算 第29卷 增刊2 2007年 12月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．29Suppl．2 Dec．2007 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2007．s2．102
Vol.29 Suppl.2 刘宏岚等：多值逻辑中的命题相关性与逻辑运算研究 .173. 子都只是在一定范围内适用， 命题“p:张三明年12月21日中午将在石家 命题包括原子命题和复合命题，不能被分解成 庄”与命题“g:李四明年12月21日中午将在石家 更简单的陈述句的命题称为原子命题，由原子命题 庄”之间是相互独立的：v(p∧q)=v(p)Xv(q) 通过联结词联结而成的命题称为复合命题可].下面 2.1.1原子命题之间的关系 分别讨论原子命题之间的相互关系和复合命题之间 从语义角度说，原子命题之间同概率论中事件 的相互关系 间的关系一样，存在两类共四种不同的关系：独立关 2.1原子命题的相关性与逻辑运算 系以及包含、不相交、相交而不包含等非独立关 原子命题本身是有内部结构的，即由谓词和客 系[-]，可通过命题的结构来描述命题之间的关系. 体组成，命题的内部结构决定了命题的真值和命题 定义1：称定义在标准概率空间(2，X,v)上的 之间的关系，在数理逻辑中，谓词用大写英文字母 原子命题的集合P(X)={P(x)lx(X},X=2”为 P,Q,R等表示，真值用v表示， 关系命题集合，其中P(x)为谓词.同一关系命题集 例1.设谓词P(x)表示“张三明年12月21日 合内的命题之间是非独立关系， 中午将在x地区”，客体变量x取值为石家庄、河 定义2（非独立关系定义）：设P(X)=P(x) 北、辽宁或中国等等.假设到了明年12月21日中 x∈X{,X=20为一关系命题集合，任意的命题 午，张三一定是在中国的某一个城市，令={中国 P(A),P(B)∈P(X),P(A)与P(B)之间是非独 所有的城市{，X=2={0,{北京，1石家庄{，…， 立的，具体关系定义如下： {台北，河北={河北省城市}，，海南=海南省城 P(A)三P(B)被定义为A三B(包含关系)； 市}，东北={东北地区城市}，，沿海={沿海城 P(A)与P(B)不相交被定义为A∩B=O(不 市}，…，中国=中国的城市}，则X就是客体变量 相交关系)； x的取值范围即客体域 P(A)=P(B)充分必要条件是A=B(相等关 说明：对于陈述句“张三明年12月21日中午将 系) 在（河北）”，从概率论的角度，它就是概率空间（Ω， 显然，若P(A)=P(B),则v(P(A)=u(P X,N)上的随机事件，从逻辑学的角度，就是真值v (B)):但反过来，若v(P(A)=(P(B)),不一定 ∈[0,1]的一个命题，即表达判断的、有惟一确定真 有P(A)=P(B),如例1中，若张三是等概率的出 值的陈述句 现在各个城市，则v(P(北京)=v(P(上海))，但 令A表示石家庄(=石家庄市)，B表示河北 P(北京)≠P(上海)，因为非确定客体“北京”≠“上 (={河北省城市)，C表示辽宁(={辽宁省城 海” 市})，D表示中国(=={中国的城市})，若张三 例2，在例1中，令E表示沿海地区(={沿海 明年12月21日中午就在国内，则有真值v(P(D) 地区城市)，命题P(A)、P(B)和P(E)之间的关 =1.若张三是等概率地出现在各个城市，可以计算 系， 真值(PA)=(PB)=(P(C) 相交而不包含：P(B)与P(E),B∩E≠O: 不相交：P(A)与P(E),A∩E=O: =,共中A表示集合A中元素的个数 包含：P(B)包含P(A),A三B. 四个命题P(A)、P(B)、P(C)和P(D)是相互 属于同一个关系命题集合的各命题之间，真值 关联的，如果命题P(A)为真，则P(B)、P(D)为 的取值通常是有相互影响的，上例中，当命题P(石 真，P(C)为假，若命题P(B)为真，则P(C)为假， 家庄)为真时，很明显命题P(河北)为真，反过来不 P(D)为真，P(A)可能为真，也可能为假， 一定成立，但大多数情况下，任两命题的真值的取 考虑到命题之间的关系，有 值是无关的.如命题“张三明年12月21日中午将 v(P(A)VP(B))=max(v(P(A)),v(P 在北京”、“李四明年12月21日中午将在北京”与 (B))=v(P(B),(A=B); “王五2008年奥运会将拿金牌.”相互之间真值取 v(P(A)A P(B))=min(v(P(A)),v (P 值无影响， (B))=v(P(A)),(A三B); 定义3（独立命题）：设p、q是两个命题，如果具 v(P(B)VP(C))=v(P(B))+v(P(C)), 有等式v(p八q)=v(p)Xv(q),则称命题p、q相 (B∩C=O); 互独立，容易证明： (P(B)AP(C))=0,(BC=). ①不属于同一关系命题集合的命题相互独立：
子都只是在一定范围内适用． 命题包括原子命题和复合命题不能被分解成 更简单的陈述句的命题称为原子命题由原子命题 通过联结词联结而成的命题称为复合命题［5］．下面 分别讨论原子命题之间的相互关系和复合命题之间 的相互关系． 2∙1 原子命题的相关性与逻辑运算 原子命题本身是有内部结构的即由谓词和客 体组成．命题的内部结构决定了命题的真值和命题 之间的关系．在数理逻辑中谓词用大写英文字母 PQR 等表示真值用 v 表示． 例1．设谓词 P（ x）表示“张三明年12月21日 中午将在 x 地区”客体变量 x 取值为石家庄、河 北、辽宁或中国等等．假设到了明年12月21日中 午张三一定是在中国的某一个城市令 Ω＝｛中国 所有的城市｝X＝2Ω＝｛∅｛北京｝｛石家庄｝… ｛台北｝河北＝｛河北省城市｝…海南＝｛海南省城 市｝东北＝｛东北地区城市｝…沿海＝｛沿海城 市｝…中国＝｛中国的城市｝｝则 X 就是客体变量 x 的取值范围即客体域． 说明：对于陈述句“张三明年12月21日中午将 在（河北）”从概率论的角度它就是概率空间（Ω XN）上的随机事件从逻辑学的角度就是真值 v ∈［01］的一个命题即表达判断的、有惟一确定真 值的陈述句． 令 A 表示石家庄（＝｛石家庄市｝）B 表示河北 （＝｛河北省城市｝）C 表示辽宁（＝｛辽宁省城 市｝）D 表示中国（＝Ω＝｛中国的城市｝）．若张三 明年12月21日中午就在国内则有真值 v （P（ D）） ＝1．若张三是等概率地出现在各个城市可以计算 真值 v （P（ A））＝ ｜A｜ ｜D｜ v （P（B））＝ ｜B｜ ｜D｜ v （P（C）） ＝ ｜C｜ ｜D｜ 其中｜A｜表示集合 A 中元素的个数． 四个命题 P（ A）、P（B）、P（C）和 P（ D）是相互 关联的如果命题 P（ A ）为真则 P（ B）、P（ D）为 真P（C）为假．若命题 P（ B）为真则 P（ C）为假 P（ D）为真P（ A）可能为真也可能为假． 考虑到命题之间的关系有 v（ P（ A ）∨ P（ B））＝max （ v （ P（ A ））v （ P （B）））＝v （P（B））（ A⊆B）； v （ P （ A ）∧ P （ B））＝min （ v （ P （ A ））v （ P （B）））＝v （P（ A））（ A⊆B）； v（P（ B）∨ P（ C））＝ v （ P（ B））＋ v （ P（ C）） （B∩C＝∅）； v （P（B）∧P（C））＝0（B∩C＝∅）． 命题“ p：张三明年12月21日中午将在石家 庄”与命题“ q：李四明年12月21日中午将在石家 庄”之间是相互独立的：v （ p∧q）＝v （ p）×v （ q）． 2∙1∙1 原子命题之间的关系 从语义角度说原子命题之间同概率论中事件 间的关系一样存在两类共四种不同的关系：独立关 系以及包含、不相交、相交而不包含等非独立关 系［6—7］可通过命题的结构来描述命题之间的关系． 定义1：称定义在标准概率空间（ΩXv ）上的 原子命题的集合 P（ X）＝｛P（ x）｜x（ X｝X＝2Ω 为 关系命题集合其中 P（ x）为谓词．同一关系命题集 合内的命题之间是非独立关系． 定义2（非独立关系定义）：设 P（ X）＝｛P（ x）｜ x∈ X｝X ＝2Ω 为一关系命题集合任意的命题 P（ A）P（B）∈ P（ X）P（ A ）与 P（ B）之间是非独 立的具体关系定义如下： P（ A）⊆P（B）被定义为 A⊆B（包含关系）； P（ A）与 P（B）不相交被定义为 A ∩B＝∅（不 相交关系）； P（ A）＝P（B）充分必要条件是 A ＝ B（相等关 系）． 显然若 P（ A ）＝ P（ B）则 v （ P（ A ））＝ v （ P （B））；但反过来若 v （P（ A ））＝ v （ P（ B））不一定 有 P（ A）＝P（B）．如例1中若张三是等概率的出 现在各个城市则 v （ P（北京））＝ v （ P（上海））但 P（北京）≠P（上海）因为非确定客体“北京”≠“上 海”． 例2．在例1中令 E 表示沿海地区（＝｛沿海 地区城市｝）命题 P（ A ）、P（ B）和 P（ E）之间的关 系 相交而不包含：P（B）与 P（ E）B∩ E≠∅； 不相交：P（ A）与 P（ E）A∩ E＝∅； 包含：P（B）包含 P（ A）A⊆B． 属于同一个关系命题集合的各命题之间真值 的取值通常是有相互影响的．上例中当命题 P（石 家庄）为真时很明显命题 P（河北）为真反过来不 一定成立．但大多数情况下任两命题的真值的取 值是无关的．如命题“张三明年12月21日中午将 在北京”、“李四明年12月21日中午将在北京”与 “王五2008年奥运会将拿金牌．”相互之间真值取 值无影响． 定义3（独立命题）：设 p、q 是两个命题如果具 有等式 v （ p∧q）＝v （ p）×v （ q）则称命题 p、q 相 互独立．容易证明： ①不属于同一关系命题集合的命题相互独立； Vol．29Suppl．2 刘宏岚等： 多值逻辑中的命题相关性与逻辑运算研究 ·173·
.174 北京科技大学学报 2007年增刊2 ②若命题p与q相互独立，则p与一q、一p与 v(P(0))=0: q、一p与q也相互独立. P(A)VP(B)=P(AUB),(P(AUB))= 例3.设谓词Q(x)表示“x明年12月21日中 (P(A))+v(P(B)). 午将在北京”，客体变量x取值为张三、李四等，即 如例1中，(P(石家庄)AP(北京)=0，与事 x∈{人{.令a=张三，b=李四，则Q(a)与Q(b) 实相符，张三不可能同时出现在两个地区， 相互独立 (2)P(A)与P(B)包含（即P(A)三P(B)或 在该例中，令Y=人}为客体域，需要说明的 P(B)三P(A))时： 是，虽然Y和例1~2中的X都为客体域，但Y是 P(A)AP(B)=P(A∩B), 一个普通的集合，而X是全集2的幂集，所以同一 (P(AB))=min(v(P(A)),v(P(B))); 关系命题集合内的命题是相互关联的 P(A)VP(B)=P(AUB), 2.1.2原子命题之间的关系与逻辑运算 v(P(AUB))=max(v(P(A)),v(P(B))). 在多值逻辑中，命题之间的逻辑运算是由命题 如例1中的P(石家庄)三P(河北)，运算结果 而不是真值决定的，命题之间的关系不同，逻辑运 与事实相符，这组公式就是Lukasiewicz多值系统 算的具体的数值计算公式便不同.下面根据是否独 和Zadeh系统所定义的逻辑运算（算子），它们只有 立（即是否属于同一个关系命题集合），对原子命题 对具有包含关系的两命题才适用，其它情况则不适 之间的逻辑运算分别进行详细的讨论 用，如v(P(石家庄)AP(北京)=0≠min(v(P(石 定义4（非独立命题的逻辑运算）：关系命题集 家庄))，u(P(北京))，v(P(河北)AP(沿海地 合P(X)={P(x)lx∈X,X=20中，任意的命题 区)=v(P(河北省的沿海城市))≠min(v(P(河 P(A)与P(B)之间的逻辑运算如下. 北))，(P(沿海地区)) 合取运算： (3)对于蕴涵联结词“→”： P(A)AP(B)=P(A∩B), 当P(A)三P(B)即A三B时，P(A)→P(B) (P(A)AP(B))=v(P(AB)) =P(冖AUB)=P(2),v(P(2))=1.令A=石 析取运算： 家庄，B=河北，也就是例1~2中讨论的{石家庄} P(A)V P(B)=P(AUB), 三{河北省城市}的情况，当命题P(石家庄)为真时， (P(A)V P(B))=v(P(AUB)) P(河北)为真，与事实相符. 取反运算： 当A=0时，P(A)→P(B)=P(AUB)= 一P(A)=P(A),(P(A)+(P(A)= P(D),v(P(n)=1.即二值逻辑中“善意的假 1,一个命题有且仅有一个反命题，命题与其反命题 设”，当前件为假(u(P(A)=O)时，后件的真值无 属于同一个关系命题集合， 论是多少，v(P(A)→P(B)=1,与经典二值逻辑 蕴涵运算： 相容 P(A)P(B)=P(A)V P(B)=P(AU 定义5（独立命题的逻辑运算）：不属于同一关 B), 系命题集合的独立命题p与q之间的逻辑运算定 (P(A)P(B))=v(P(AUB)), 义如下， 且有u(P(0)=0,v(P(2)=1.这里u(P(A) 合取运算：v(pAq)=v(p)Xv(q) 表示命题P(A)的真值， 析取运算：v(pVq)=v(p)十v(q)一v(p)X 任取P(x1),P(x2),…,P(xn)∈P(X), (q) f(P(x1),P(x2),…,P(xn)是由V,A,一等构成 取反运算：定义同定义4，一个命题有且仅有一 的逻辑复合运算，∫是相应的经典集合运算U,∩和 个反命题，互为否定的两个命题属于同一个关系命 一，则有， 题集合，且满足v(p)十v(一p)=1.但反过来，若 f(P(x1),P(x2),…,P(xm)=P(f(x1,x2, v(p)十v(q)=1,命题q不一定就是p的反命题， ,xn),即通过客体的集合运算，实现非独立命题 只能说v(q)=v(p) 的逻辑运算 蕴涵运算：v(p→q)=(口pVq)=1((p)+ 下面讨论一些特殊情况的运算公式 v(p)xv(q). (1)P(A)与P(B)不相交(A∩B=D)时： 2.1.3逻辑运算性质 P(A)A P(B)=P(AB)=P(O) 定理1原子命题之间的逻辑运算满足所有的
②若命题 p 与 q 相互独立则 p 与 q、 p 与 q、 p 与 q 也相互独立． 例3．设谓词 Q（ x）表示“ x 明年12月21日中 午将在北京”客体变量 x 取值为张三、李四等即 x∈｛人｝．令 a＝张三b＝李四则 Q（ a）与 Q（ b） 相互独立． 在该例中令 Y ＝｛人｝为客体域需要说明的 是虽然 Y 和例1～2中的 X 都为客体域但 Y 是 一个普通的集合而 X 是全集Ω的幂集所以同一 关系命题集合内的命题是相互关联的． 2∙1∙2 原子命题之间的关系与逻辑运算 在多值逻辑中命题之间的逻辑运算是由命题 而不是真值决定的．命题之间的关系不同逻辑运 算的具体的数值计算公式便不同．下面根据是否独 立 （即是否属于同一个关系命题集合）对原子命题 之间的逻辑运算分别进行详细的讨论． 定义4（非独立命题的逻辑运算）：关系命题集 合 P（ X）＝｛P（ x）｜x∈X｝X＝2Ω 中任意的命题 P（ A）与 P（B）之间的逻辑运算如下． 合取运算： P（ A）∧P（B）＝P（ A∩B） v （P（ A）∧P（B））＝v （P（ A∩B））． 析取运算： P（ A）∨P（B）＝P（ A∪B） v （P（ A）∨P（B））＝v （P（ A∪B））． 取反运算： P（ A）＝P（ A）v （P（ A））＋v （P（ A））＝ 1一个命题有且仅有一个反命题命题与其反命题 属于同一个关系命题集合． 蕴涵运算： P（ A）→P（B）＝ P（ A ）∨ P（ B）＝ P（ A ∪ B） v （P（ A）→P（B））＝v （P（ A∪B）） 且有 v （P（∅））＝0v （P（Ω））＝1．这里 v （ P（ A ）） 表示命题 P（ A）的真值． 任取 P （ x1）P （ x2）…P （ x n ） ∈ P （ X ） f （P（ x1）P（ x2）…P（ x n））是由∨∧ 等构成 的逻辑复合运算f 是相应的经典集合运算∪∩和 则有 f （P（ x1）P（ x2）…P（ x n））＝ P（ f （ x1x2 …x n））即通过客体的集合运算实现非独立命题 的逻辑运算． 下面讨论一些特殊情况的运算公式． （1） P（ A）与 P（B）不相交（ A∩B＝∅）时： P （ A ） ∧ P （ B ） ＝ P （ A ∩ B ） ＝ P （ ∅） v （P（∅））＝0； P（ A ）∨ P（ B）＝ P（ A ∪ B）v （ P（ A ∪ B））＝ v （P（ A））＋v （P（B））． 如例1中v （P（石家庄）∧P（北京））＝0与事 实相符张三不可能同时出现在两个地区． （2） P（ A ）与 P（ B）包含（即 P（ A ）⊆ P（ B）或 P（B）⊆P（ A））时： P（ A）∧P（B）＝P（ A∩B） v （P（ A∩B））＝min（ v （P（ A））v （P（B）））； P（ A）∨P（B）＝P（ A∪B） v （P（ A∪B））＝max（ v （P（ A））v （P（B）））． 如例1中的 P（石家庄）⊆ P（河北）运算结果 与事实相符．这组公式就是 ／Lukasiewicz 多值系统 和 Zadeh 系统所定义的逻辑运算（算子）它们只有 对具有包含关系的两命题才适用其它情况则不适 用如 v （P（石家庄）∧P（北京））＝0≠min（ v （P（石 家庄））v （ P（北京）））v （ P（河北）∧ P（沿海地 区））＝ v （ P（河北省的沿海城市））≠min（ v （ P（河 北））v （P（沿海地区）））． （3） 对于蕴涵联结词“→”： 当 P（ A ）⊆ P（ B）即 A ⊆ B 时P（ A ）→ P（ B） ＝ P（ A∪B）＝P（Ω）v （ P（Ω））＝1．令 A ＝石 家庄B＝河北也就是例1～2中讨论的｛石家庄｝ ⊆｛河北省城市｝的情况当命题 P（石家庄）为真时 P（河北）为真与事实相符． 当 A＝∅时P（ A）→ P（ B）＝ P（ A ∪ B）＝ P（Ω）v （ P（Ω））＝1．即二值逻辑中“善意的假 设”当前件为假（ v （ P（ A ））＝0）时后件的真值无 论是多少v （P（ A ）→ P（ B））＝1与经典二值逻辑 相容． 定义5（独立命题的逻辑运算）：不属于同一关 系命题集合的独立命题 p 与 q 之间的逻辑运算定 义如下． 合取运算：v （ p∧q）＝v （ p）×v （ q）． 析取运算：v （ p∨q）＝v （ p）＋ v （ q）— v （ p）× v （ q）． 取反运算：定义同定义4一个命题有且仅有一 个反命题互为否定的两个命题属于同一个关系命 题集合且满足 v （ p）＋ v （ p）＝1．但反过来若 v （ p）＋v （ q）＝1命题 q 不一定就是 p 的反命题 只能说 v （ q）＝v （ p）． 蕴涵运算：v （ p→q）＝v （ p∨q）＝1（ v （ p）＋ v （ p）×v （ q）． 2∙1∙3 逻辑运算性质 定理1 原子命题之间的逻辑运算满足所有的 ·174· 北 京 科 技 大 学 学 报 2007年 增刊2
Vol.29 Suppl.2 刘宏岚等：多值逻辑中的命题相关性与逻辑运算研究 .175. 等价定律：对合律，幂等律，结合律，交换律，分配律， 命题，联结词的定义如下[6,8]， 吸收律，德·摩根律，矛盾律，排中律，同一律，零律， v(一p)=1一v(p),一个命题有且仅有一个反 蕴涵等值式等， 命题； 证明：根据定义4，非独立命题，由于将命题的 v(pAq)=v(p)-v(pA-q)=v(q)-v( 逻辑运算转换为集合运算，集合运算满足所有的等 pAg); 价定律.所以非独立命题之间的逻辑运算满足所有 v(pVq)=v(p)+v(g)-v(pAq): 的等价定律 v(pq)=v(pVq). 对于独立命题，任意的独立命题P(A)、Q(B) 复合命题是由原子命题、联结词和括号等组成 和R(C),分别属于关系命题集合1P(x)x∈X{、 的，复合命题之间的运算也是由它们共同决定的，而 iQ(u)u∈U}和R(z)z∈Z,有： 不是简单的由成分命题的真值决定，所以对于P、9 矛盾律：P(A)A一P(A)=P(A)AP(A)= 的二元运算不能明确地给出关于v(p),v(q)的函 P(0),(P(A)AP(A))=u(P(O)=0. 数.如v(pAq)=f(u(p),v(q)这样统一的函 排中律：P(A)V一P(A)=P(A)VP(A)= 数是不存在的，函数的形式由P,q的组成结构决 P(2),u(P(A)V-P(A)=u(P(n)=1. 定 联词转换律（蕴涵等值式）： 3命题公式与真值函数 (P(A)-Q(B))=vP(A)VQ(B)). 分配律：当P(A),Q(B),R(C)相互独立时， 表示命题的符号称为命题标示符，如卫，q,T (P(A)V(Q(B)AR(C)))=v((P(A)VQ 等，表示确定命题的标示符称为命题常量，如p=P (B))A(P(A)VR(C)))=v(P(A))+(Q(B)) (A),表示任意命题的标示符称为命题变量[5，-10] Xv(R(C))-v(P(A))Xv(Q(B))Xv(R(C)), 前面详细讨论了原子命题、复合命题等命题常 (P(A)A(Q(B)VR(C)))=v((P(A)AQ 量的逻辑运算及性质，下面再讨论关于命题的函数 (B))V(P(A)A R(C)))=v(P(A))Xv(Q(B)) 一命题公式的性质，为了便于讨论问题，首先需 +v(P(A))Xv(R(C))-v(P(A))Xv(Q(B)) 要明确以下一些概念， Xv(R(C)) 命题公式（合式公式或公式）：由命题变量、命题 其它情况证明略 常量、联结词、括号等以规定的格式联结起来的符号 德摩根律：当P(A)与Q(B)独立时，一P(A) 串，是关于命题的函数.设S={命题{是由所有的 与一Q(B)也独立，有 原子命题和复合命题所组成的集合，则命题公式的 (P(A)VQ(B)))=P(A)AQ 形式化描述为f:S"→S,即f(p1,p2,…,pn)∈S, (B))=1-v(P(A))-v(Q(B))+v(P(A))Xv 命题变量p:(1≤≤n)∈S,如f(p1,p2,p3)=p1 (Q(B), 八p2→p3 (P(A)AQ(B)))=v(P(A)V-0 真值函数：称g:[0,1]m→[0,1]为真值函数， (B))=1-(P(A)Xv(Q(B) 即g(x1,x2,…,xm)∈[0,1]，变量x1,x2,…,xm 双重否定律，幂等律，交换律，结合律，吸收律， ∈[0，l].如Lukasiewicz多值系统和Zadeh系统都 同一律，零律等证明略. 是以真值函数（算子）的形式给出各种联结词（逻辑 2.2复合命题的相关性与逻辑运算 运算)的定义，如冖x=1一x,xVy=max(x,y)等， 原子命题之间有独立和相交、包含等非独立关 x,y∈[0,1] 系，统称为简单相关性，若干原子命题经过有限次 命题的真值：v:S→[0,1]，即Hp∈S,v(p)∈ 的各种复合运算后形成复合命题，复合命题之间的 [0,1]. 关系较复杂，是由组成复合命题的原子命题、逻辑联 3.1二值逻辑中的命题公式与真值函数 结词以及运算的层次等决定的，称复合命题之间的 通过定义4~5容易验证，二值逻辑中的命题无 这种关系为复杂相关性.复杂相关性很难明确描 论独立与否，命题之间的逻辑运算都满足同样的公 述 式，即经典命题逻辑给出的定义： 复合命题之间的逻辑运算由命题的内部结构决 v(p)=1-v(p), 定，逻辑运算定义如下 v(pvq)=max(v(p),v(q)), 定义6（复合命题的逻辑运算）：设P、q为任意 v(pAq)=min(v(p),v(q))
等价定律：对合律幂等律结合律交换律分配律 吸收律德·摩根律矛盾律排中律同一律零律 蕴涵等值式等． 证明：根据定义4非独立命题由于将命题的 逻辑运算转换为集合运算集合运算满足所有的等 价定律．所以非独立命题之间的逻辑运算满足所有 的等价定律． 对于独立命题任意的独立命题 P（ A ）、Q（ B） 和 R（C）分别属于关系命题集合｛P（ x）｜x∈ X｝、 ｛Q（ u））｜u∈ U｝和｛R（ z ））｜z ∈Z｝有： 矛盾律：P（ A）∧ P（ A）＝P（ A）∧P（ A ）＝ P（∅）v （P（ A）∧ P（ A））＝v （P（∅））＝0． 排中律：P（ A）∨ P（ A）＝P（ A）∨P（ A ）＝ P（Ω）v （P（ A）∨ P（ A））＝v （P（Ω））＝1． 联词转换律（蕴涵等值式）： v （P（ A）→ Q（B））＝v （ P（ A）∨ Q（B））． 分配律：当 P（ A）Q（B）R（C）相互独立时 v（P（ A ）∨（ Q （ B）∧ R （ C）））＝ v （（ P（ A ）∨ Q （B））∧（P（ A）∨ R（C）））＝v （P（ A ））＋v （ Q（ B）） ×v （ R（C））—v （P（ A））×v （ Q（B））×v （ R（C）） v（P（ A ）∧（ Q （ B）∨ R （ C）））＝ v （（ P（ A ）∧ Q （B））∨（P（ A）∧ R（C）））＝v （P（ A ））×v （ Q（ B）） ＋v （P（ A））×v （ R（ C））— v （ P（ A ））× v （ Q（ B）） ×v （ R（C）） 其它情况证明略． 德·摩根律：当 P（ A）与 Q（B）独立时 P（ A ） 与 Q（B）也独立有 v（ （P（ A ）∨ Q （ B）））＝ v （ P（ A ）∧ Q （B））＝1—v （P（ A））—v （ Q（ B））＋ v （ P（ A ））× v （ Q（B）） v（ （P（ A ）∧ Q （ B）））＝ v （ P（ A ）∨ Q （B））＝1—v （P（ A））×v （ Q（B））． 双重否定律幂等律交换律结合律吸收律 同一律零律等证明略． 2∙2 复合命题的相关性与逻辑运算 原子命题之间有独立和相交、包含等非独立关 系统称为简单相关性．若干原子命题经过有限次 的各种复合运算后形成复合命题．复合命题之间的 关系较复杂是由组成复合命题的原子命题、逻辑联 结词以及运算的层次等决定的称复合命题之间的 这种关系为复杂相关性．复杂相关性很难明确描 述． 复合命题之间的逻辑运算由命题的内部结构决 定逻辑运算定义如下． 定义6（复合命题的逻辑运算）：设 p、q 为任意 命题联结词的定义如下［68］ v （ p）＝1—v （ p）一个命题有且仅有一个反 命题； v（ p∧q）＝v （ p）—v （ p∧ q）＝ v （ q）— v （ p∧q）； v （ p∨q）＝v （ p）＋v （ q）—v （ p∧q）； v （ p→q）＝v （ p∨q）． 复合命题是由原子命题、联结词和括号等组成 的复合命题之间的运算也是由它们共同决定的而 不是简单的由成分命题的真值决定所以对于 p、q 的二元运算不能明确地给出关于 v （ p）v （ q）的函 数．如 v （ p∧ q）＝ f （ v （ p）v （ q））这样统一的函 数是不存在的函数的形式由 pq 的组成结构决 定． 3 命题公式与真值函数 表示命题的符号称为命题标示符如 pqr 等．表示确定命题的标示符称为命题常量如 p＝P （ A）．表示任意命题的标示符称为命题变量［59—10］． 前面详细讨论了原子命题、复合命题等命题常 量的逻辑运算及性质下面再讨论关于命题的函数 ———命题公式的性质．为了便于讨论问题首先需 要明确以下一些概念． 命题公式（合式公式或公式）：由命题变量、命题 常量、联结词、括号等以规定的格式联结起来的符号 串是关于命题的函数．设 S＝｛命题｝是由所有的 原子命题和复合命题所组成的集合则命题公式的 形式化描述为 f：S n→ S即 f （ p1p2…p n）∈ S 命题变量 pi（1≤ i≤ n）∈ S如 f （ p1p2p3）＝ p1 ∧ p2→ p3． 真值函数：称 g：［01］ m →［01］为真值函数 即 g（ x1x2…xm ）∈［01］变量 x1x2…xm ∈［01］．如 ／Lukasiewicz 多值系统和 Zadeh 系统都 是以真值函数（算子）的形式给出各种联结词（逻辑 运算）的定义如 x＝1— xx∨y＝max（ xy）等 xy∈［01］． 命题的真值：v：S→［01］即∀ p∈ Sv （ p）∈ ［01］． 3∙1 二值逻辑中的命题公式与真值函数 通过定义4～5容易验证二值逻辑中的命题无 论独立与否命题之间的逻辑运算都满足同样的公 式即经典命题逻辑给出的定义： v （ p）＝1—v （ p） v （ p∨q）＝max（ v （ p）v （ q）） v （ p∧q）＝min（ v （ p）v （ q）） Vol．29Suppl．2 刘宏岚等： 多值逻辑中的命题相关性与逻辑运算研究 ·175·
.176 北京科技大学学报 2007年增刊2 v(p→q)=max(1一v(p),v(q),这里的p, 中不存在如二值逻辑中那样的处处行得通的真值函 q表示任意命题，v(p),v(g)∈0,1. 数，也就不能用真值函数讨论等值演算和推理问题 这说明，在经典二值逻辑中，命题逻辑运算结果 (l)Lukasiewicz定义的A,V运算只对属于同 的真值只与命题的真值有关，而与命题自身结构以 一关系命题集合且有包含关系的两个命题成立， 及命题之间的关系无关 设S为多值逻辑系统中所有命题的集合， 设S1为二值逻辑中所有命题的集合，若在0， Lukasiewicz认为真值v:S→[0,1]是同态映射，系 1}中定义以下真值函数：7x=1-x,xVy=max 统在[0,1]上定义x=1-x,xVy=max(x,y),x (x,y),xAy=min(x,y),xy=max(1-x,y), Ay=min(x,y),x→y=min(1,l-x+y),有Vp, x,y∈{0,1，则真值：S1→{0,1}是代数系统< qEs,v(p)=v(p),v(p*q)=v(p)* S1,7,V,A,→>到<{0,1}，7，V,A,→>的同 (g),*为V,A,→等二元运算山.把命题之间的逻 态，即Hp,q∈S1,有v(一p)=一v(p),v(p*q) 辑运算定义成命题真值的运算，直接通过真值函数 =u(p)*u(g),这里*为V,八，→等二元运算山. f:[0,1]→[0,1]讨论命题公式难免会出现这样的 所以在二值逻辑中，命题的逻辑运算（联结词） 情况：与某些事实相符而与某些事实不符；排中律不 可以直接通过0,1}中的真值函数（算子）给出定义 成立，v(pV一p)≠1；蕴涵等值式p→q台一pVq 不需要考虑具体的命题的含义或内容， 不成立等， 二值逻辑直接把命题公式f:S→S1看作真值 如HP(A)∈{P(x)lx∈X,X=2”,当A≠ 函数f:0,1}→0,1{，把命题变量看作真值变量. D(u(P(A))≠0)且A≠0(u(P(A)≠1)时，根 如参考文献[5]中对命题公式的赋值，就是对组成公 据Lukasiewicz的定义有： 式的命题变量指定真值，二值逻辑中的真值表就是 v(P(A)V-P(A))=max(v(P(A)),1-v 真值函数，二值逻辑直接通过真值函数讨论等值演 (P(A))≠1， 算和推理问题， v(P(A)AP(A))=min(v(P(A)),1(v(P 3.2多值逻辑中的命题公式与真值函数 (A))≠0， 当进入多值逻辑系统时，根据第2节的讨论，命 即不满足排中律和子盾律 题逻辑运算必须考虑命题的语义和相关性，真值相 事实上，在2.1.2的定义4中讨论过， 同的不同命题，逻辑运算结果不一定相同 Lukasiewicz定义的A,V运算只有对属于同一关系 例4.给定命题公式p人q,任两命题P(A),Q 命题集合且有包含关系的两个命题成立，即当P （B),设v(P(A)=0.3,u(Q(B)=0.5,令p=P (A)三P(B)或P(B)=P(A)时： (A)q=Q(B),有 v(P(A)A P(B))=v(P(AB))=min(v 当二者属于同一关系命题集合且不相交时(P (P(A)),v(P(B)), =Q,A∩B=0):v(pAq)=v(P(A∩B)=0: v(P(A)V P(B))=(P(AUB))=max( 当二者属于同一关系命题集合且包含时(P= (P(A)),(P(B)) Q,ACB):v(pAq)=v(P(AB))=0.3; (2)概率算子对具有独立关系的两命题成立 当二者不属于同一关系命题集合（独立，P≠ 概率算子给出的定义3]， Q)时：v(pAq)=v(P(A)AQ(B)=0.50.3= 合取运算：x☒y=xXy; 0.15. 析取运算：x⊕y=x十y一x×y,x,y∈[0,1] 真值相同的不同命题，逻辑运算结果不同 正是定义5中给出的独立命题p与q之间的逻辑 有时，命题的逻辑运算不能通过真值函数（真值 运算定义，即u(p*g)=u(p)°(g),*为V,A 的运算或算子)给出定义，如在定义4中，关系命题 运算，°为⊕，⑧运算.显然概率算子只对独立命题 之间的逻辑运算是通过集合运算实现的，即)(P 适用， (A)*P(B)=u(P(A°B)),*为V,A等二元逻 辑运算，°为U,∩等二元集合运算.这时满足v(P 4结论一命题及逻辑运算的本质 (A)*P(B))=v(P(A)·v(P(B))这样的运算· 本文从数理逻辑研究的基本单位一命题入 是不存在的， 手，分析了命题的相关性与逻辑运算之间的关系：在 命题之间的运算是由命题决定的，命题公式是 二值逻辑中，命题逻辑运算结果的真值只与参与运 关于命题的函数，不能再看作真值函数，多值逻辑 算的命题的真值有关，而与命题的具体内容无关：在
v（ p→q）＝max （1— v （ p）v （ q））这里的 p q 表示任意命题v （ p）v （ q）∈｛01｝． 这说明在经典二值逻辑中命题逻辑运算结果 的真值只与命题的真值有关而与命题自身结构以 及命题之间的关系无关． 设 S1 为二值逻辑中所有命题的集合若在｛0 1｝中定义以下真值函数： x ＝1— xx ∨ y＝max （ xy）x∧y＝min（ xy）x→y＝max（1— xy） xy∈｛01｝则真值 v：S1→｛01｝是代数系统＜ S1∨∧→＞到＜｛01｝ ∨∧→＞的同 态即∀ pq∈S1有 v （ p）＝ v （ p）v （ p∗ q） ＝v （ p）∗v （ q）这里∗为∨∧→等二元运算［1］． 所以在二值逻辑中命题的逻辑运算（联结词） 可以直接通过｛01｝中的真值函数（算子）给出定义． 不需要考虑具体的命题的含义或内容． 二值逻辑直接把命题公式 f：S n 1→ S1 看作真值 函数 f：｛01｝n→｛01｝把命题变量看作真值变量． 如参考文献［5］中对命题公式的赋值就是对组成公 式的命题变量指定真值．二值逻辑中的真值表就是 真值函数．二值逻辑直接通过真值函数讨论等值演 算和推理问题． 3∙2 多值逻辑中的命题公式与真值函数 当进入多值逻辑系统时根据第2节的讨论命 题逻辑运算必须考虑命题的语义和相关性真值相 同的不同命题逻辑运算结果不一定相同． 例4．给定命题公式 p∧q任两命题 P（ A）Q （B）设 v （P（ A））＝0∙3v （ Q（B））＝0∙5令 p＝P （ A）q＝ Q（B）有 当二者属于同一关系命题集合且不相交时（ P ＝ QA∩B＝∅）：v （ p∧q）＝v （P（ A∩B））＝0； 当二者属于同一关系命题集合且包含时（ P＝ QA⊆B）：v （ p∧q）＝v （P（ A∩B））＝0∙3； 当二者不属于同一关系命题集合（独立P≠ Q）时：v （ p∧q）＝v （P（ A）∧ Q（B））＝0∙5×0∙3＝ 0∙15． 真值相同的不同命题逻辑运算结果不同． 有时命题的逻辑运算不能通过真值函数（真值 的运算或算子）给出定义．如在定义4中关系命题 之间的逻辑运算是通过集合运算实现的即 v （ P （ A）∗P（B））＝ v （ P（ A°B））∗为∨∧等二元逻 辑运算°为∪∩等二元集合运算．这时满足 v （ P （ A）∗P（B））＝v （P（ A ））·v （ P（ B））这样的运算· 是不存在的． 命题之间的运算是由命题决定的命题公式是 关于命题的函数不能再看作真值函数．多值逻辑 中不存在如二值逻辑中那样的处处行得通的真值函 数也就不能用真值函数讨论等值演算和推理问题． （1） ／Lukasiewicz 定义的∧∨运算只对属于同 一关系命题集合且有包含关系的两个命题成立． 设 S 为多值逻辑系统中所有命题的集合 ／Lukasiewicz认为真值 v：S →［01］是同态映射系 统在［01］上定义 x＝1— xx∨y＝max（ xy）x ∧y＝min（ xy）x→y＝min（11— x＋y）有∀ p q∈Sv （ p ）＝ v （ p ）v （ p ∗ q）＝ v （ p ）∗ v （ q）∗为∨∧→等二元运算［1］．把命题之间的逻 辑运算定义成命题真值的运算直接通过真值函数 f：［01］ n→［01］讨论命题公式难免会出现这样的 情况：与某些事实相符而与某些事实不符；排中律不 成立v （ p∨ p）≠1；蕴涵等值式 p→ q⇔ p∨ q 不成立等． 如∀P（ A）∈｛P（ x）｜x∈ X｝X＝2Ω当 A ≠ ∅（ v （P（ A ））≠0）且 A ≠∅（ v （ P（ A ））≠1）时根 据 ／Lukasiewicz 的定义有： v （P（ A ）∨ P（ A ））＝max （ v （ P（ A ））1— v （P（ A）））≠1 v （P（ A）∧ P（ A ））＝min（ v （ P（ A ））1（ v （ P （ A）））≠0 即不满足排中律和矛盾律． 事 实 上在 2∙1∙2 的 定 义 4 中 讨 论 过 ／Lukasiewicz定义的∧∨运算只有对属于同一关系 命题集合且有包含关系的两个命题成立即当 P （ A）⊆P（B）或 P（B）⊆P（ A）时： v（P（ A）∧ P（ B））＝ v （ P（ A ∩ B））＝min（ v （P（ A））v （P（B））） v（P（ A）∨ P（ B））＝ v （ P（ A ∪ B））＝max （ v （P（ A））v （P（B）））． （2）概率算子对具有独立关系的两命题成立． 概率算子给出的定义［3］ 合取运算：x⨂y＝ x×y； 析取运算：x♁y＝ x＋y— x×yxy∈［01］ 正是定义5中给出的独立命题 p 与 q 之间的逻辑 运算定义即 v （ p∗ q）＝ v （ p）°v （ q）∗为∨∧ 运算°为♁⨂运算．显然概率算子只对独立命题 适用． 4 结论———命题及逻辑运算的本质 本文从数理逻辑研究的基本单位———命题入 手分析了命题的相关性与逻辑运算之间的关系：在 二值逻辑中命题逻辑运算结果的真值只与参与运 算的命题的真值有关而与命题的具体内容无关；在 ·176· 北 京 科 技 大 学 学 报 2007年 增刊2