10CHAPTER2.数列的极限理论【证明】利用数学归纳法当n=2时，（1+1)(1+2=1+1+2+12>1+1+2.故结论显然成立假设当n=k-1时结论成立，下面考察n=k的情况(k≥3)kkk-1k-1k-1kI(i + 1) = ( + 1)I( + 1) >( + 1)(1+) =1+Z + ZCai>1+aii=1i=1i=1i=1i=1i=1口其中最后一个不等号是由于之间两两同号且不为0【注】此处给出的不等式与课上讲的有所不同，课上只给出了不严格的不等式，当然它的限制条件要比这里弱(n≥1且；=0可能发生）.事实上，这里是一个更强的结论，【推论2.2】设n≥2是自然数，>-1i=12..n)且a0，则有(1+)n>1+n.口【定理2.3】（平均值不等式)设g>0(i=1.2....n)，则有调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均根依次递增，即41nnaInai<ai≤11n11n1Vi=l-1-aii=1并且当且仅当所有a，相等的时候，所有不等式取等号【证明】（I)利用倒推数学归纳法，先证明几何平均数小于等于算术平均数当n三2时，它是最简单的二维的均值不等式，大家高中学过，此处不加证明假设当n=2k-1时成立(k≥2)，考察n=2k的情况2k2k12k11( 11IIai + 24--lα)≥a=a2+221i1i=1Ni=li=2k-1+1因此对于n=2*的情况得证.并且取等条件为所有a;相等.k-11ai则假设当n=k+1时成立(k≥2)，考察n=k的情况.设a：k-1i=1--alai≤(a+Iai≤a)=a→ak-14i=1Ni=11i-1从而由倒推数学归纳法，知结论得证.并且取等条件为所有a；相等
10 CHAPTER 2. 数列的极限理论 【证明】利用数学归纳法. 当n = 2时，(1 + x1)(1 + x2) = 1 + x1 + x2 + x1x2 > 1 + x1 + x2. 故结论显然成立. 假设当n = k − 1时结论成立，下面考察n = k的情况(k > 3). Y k i=1 (xi + 1) = (xk + 1) k Y−1 i=1 (xi + 1) > (xk + 1)(1 +X k−1 i=1 xi) = 1 +X k i=1 xi + xk X k−1 i=1 xi > 1 +X k i=1 xi 其中最后一个不等号是由于xi之间两两同号且不为0. 【注】此处给出的不等式与课上讲的有所不同，课上只给出了不严格的不等式，当然它的 限制条件要比这里弱(n > 1 且xi = 0 可能发生). 事实上，这里是一个更强的结论. 【推论2.2】设n > 2 是自然数，x > −1(i = 1, 2, ., n)且x 6= 0，则有(1 + x) n > 1 + nx. 【定理2.3】(平均值不等式)设ai > 0(i = 1, 2, ., n)，则有调和平均数、几何平均数、算术 平均数、平方平均根依次递增，即 n Xn i=1 1 ai 6 n vuut Yn i=1 ai 6 1 n Xn i=1 ai 6 vuut 1 n Xn i=1 a 2 i . 并且当且仅当所有ai相等的时候，所有不等式取等号. 【证明】(I)利用倒推数学归纳法，先证明几何平均数小于等于算术平均数. 当n = 2时，它是最简单的二维的均值不等式，大家高中学过，此处不加证明. 假设当n = 2k−1时成立(k > 2)，考察n = 2k的情况. 1 2 k 2 Xk i=1 ai = 1 2 1 2 k−1 2 Xk−1 i=1 ai + 1 2 k−1 2 Xk i=2k−1+1 ai > 1 2 2 k−1 vuut 2 Yk−1 i=1 ai + 2 k−1 vuut 2 Yk i=2k−1+1 ai > 2 k vuut 2 Yk i=1 ai 因此对于n = 2k的情况得证. 并且取等条件为所有ai相等. 假设当n = k + 1时成立(k > 2)，考察n = k的情况. 设a = 1 k − 1 X k−1 i=1 ai . 则 k vuuta k Y−1 i=1 ai 6 1 k (a + X k−1 i=1 ai) = a ⇒ k−1 vuut k Y−1 i=1 ai 6 1 k − 1 X k−1 i=1 ai 从而由倒推数学归纳法，知结论得证. 并且取等条件为所有ai相等
112.1.常用不等式(II)对于(I)中所证结论，将每个a,换成它的倒数，有1Aa-1即调和平均数不超过几何平均数得证.并且由(I)知取等条件为所有α相等(III)下面通过反复使用(I)中几何平均数不超过算术平均数的二维形式来证明算术平均数不超过平方平均根，(Za)?=a+ 2aiaj+ Z (a+a)=na →ai≤an2-1k=11<i<j<nk=11<i<j<nL.-1口同样由(I)知取等条件为所有a;相等.【定理2.4】（离散形式的Cauchy(1789-1857)-Schwarz(1843-1921）不等式）设i，yiER(i=1,2,...n)，则TE(Eriy)?≤(Er)Ey).i=1i=1i=1当且仅当与y对应成比例时取等【证明】考察二次函数f(t)=(ait+yi)2易知其判别式非负，从而结论得证.考察它的取等条件，即f(t)为一个完全平方式，即3toER，s.t.f(to）=0.故对Vi，ito+i=0，这口当然说明r,与yi对应成比例.【定理2.5】（三角不等式对于任意的实数a，b，我们有[a-[] ≤[a≤a] +] 1a-a-≤6ab=-al[时，第一个和第四个不等号取等；ab=ab时，第二个和第三个不等号取等，口【证明】只需将不等式两侧平方即可，留作练习.有了以上几个最基础的不等式作为基础，我们给出两个简单的不等式的证明作为例子，随着我们学习的深入，将来会遇到更多的不等式，届时会继续补充【例2.1] (L2上的Minkowski(1864-1909)不等式)((ax+b)*≤(a)+(%)-(ak+br)?=Z++2abk【证明】直接使用Cauchy-Schwarz不等式：k=1k=1k=1k=1
2.1. 常用不等式 11 (II)对于(I)中所证结论，将每个ai换成它的倒数，有 n vuut Yn i=1 1 ai 6 1 n Xn i=1 1 ai ⇒ n Xn i=1 1 ai 6 n vuut Yn i=1 ai 即调和平均数不超过几何平均数得证. 并且由(I)知取等条件为所有ai相等. (III)下面通过反复使用(I)中几何平均数不超过算术平均数的二维形式来证明算术平均数不 超过平方平均根. ( Xn i=1 ai) 2 = Xn k=1 a 2 i + X 1<i<j<n 2aiaj 6 Xn k=1 a 2 i + X 1<i<j<n (a 2 i +a 2 j ) = n Xn k=1 a 2 i ⇒ 1 n Xn i=1 ai 6 vuut 1 n Xn i=1 a 2 i 同样由(I)知取等条件为所有ai相等. 【定理2.4】(离散形式的Cauchy(1789-1857)-Schwarz(1843-1921) 不等式)设xi , yi ∈ R(i = 1, 2, ., n)，则 ( Xn i=1 xiyi) 2 6 ( Xn i=1 x 2 i )(Xn i=1 y 2 i ). 当且仅当xi与yi对应成比例时取等. 【证明】考察二次函数f(t) = Xn i=1 (xit + yi) 2 . 易知其判别式非负，从而结论得证. 考察它的 取等条件，即f(t)为一个完全平方式，即∃t0 ∈ R，s.t.f(t0) = 0. 故对∀i，xit0 + yi = 0，这 当然说明xi与yi 对应成比例. 【定理2.5】(三角不等式)对于任意的实数a，b，我们有 |a| − |b| 6 |a + b| 6 |a| + |b| |a| − |b| 6 |a − b| 6 |a| + |b| ab = −|a||b|时，第一个和第四个不等号取等；ab = |a||b|时，第二个和第三个不等号取等. 【证明】只需将不等式两侧平方即可，留作练习. 有了以上几个最基础的不等式作为基础，我们给出两个简单的不等式的证明作为例子. 随着我们学习的深入，将来会遇到更多的不等式，届时会继续补充. 【例2.1】(L 2上的Minkowski(1864-1909)不等式) Xn k=1 (ak+bk) 2 1 2 6 Xn k=1 a 2 k 1 2 + Xn k=1 b 2 k 1 2 . 【证明】直接使用Cauchy-Schwarz不等式： Xn k=1 (ak + bk) 2 = Xn k=1 a 2 k + Xn k=1 b 2 k + 2Xn k=1 akbk
12CHAPTER2.数列的极限理论≤呢+既+2(Z%)(Z)= ()+()2口k=1k=1 k=1k=1=1(n+2)n【例2.2】证明：当n>1时，有n！<6【证明】考察（n!2，我们有(n1)2=IIk(n+1-h)<(k(n +1-h)"=("+k-1.k2)2nnk=lk=1k=1k=1(n + 1)2_ (n + 1)(2n +1)" = ((n + 1)(n +2))n <(m+2)" 2666基本概念2.2买【定义2.6】设an是给定的数列，若存在aER，使得对Ve>0，总存在一个自然数n与e有关，使得当n>N时有|an-al<ε成立.这时称a为数列[an)的极限，记作liman=a或an→a（n→o).对于有极限的数列，我们称之为收敛数列，否则称为发散数列这个定义，是由Cauchy最先给出．虽然在给出之前，Newton(1643-1727)便已经发明了微积分，但是当时他对于微积分的使用不是十分严谨，经常对一些留数（即剩余的高阶无穷小）时而当成0忽略，时而又可以做除法，当然这很难具有说服力和严密性.但是极限定义的给出，标志着数学分析理论的完善，也经常被视为初等数学与高等数学的分界线当然，这个概念也是需要同学们多花一些时间取理解的，下面举几个例子来说明一下这条定义n!【例2.3】用极限的定义证明lim000nn|+1eN，s.t.对Vn>N有"|1-n"-_！【证明】对于Ve>0，N=口<E.nn=21n通过上述证明过程，我们可以看出在极限定义的使用中有如下几个特点：(1)N的选取与e有关，但是它只有充分大即可，可以在一个数值的基础+1，那么便可以+10，+100；(2)e代表的是任意的正数，实际它更想表达的是充分小的正数，因此你完全可取类似0<<1的条件；（3）由于e的任意性，我们如果能够证明<Me也可完成证明（M为正的常数）：(4)由上面的一条我们得知，如果你能导出≤ε也可以完成证明；(5)这类题目通常需要读者具有良好的不等式放缩技巧1nri=A.【例2.4】设limn=AeR.证明：limn-0ni=1
12 CHAPTER 2. 数列的极限理论 6 Xn k=1 a 2 k + Xn k=1 b 2 k + 2(Xn k=1 a 2 k ) 1 2 ( Xn k=1 b 2 k ) 1 2 = ( Xn k=1 a 2 k ) 1 2 + (Xn k=1 b 2 k ) 1 2 2 . 【例2.2】证明：当n > 1时，有n! < n + 2 √ 6 n . 【证明】考察(n!)2，我们有 (n!)2 = Yn k=1 k(n + 1 − k) < 1 n Xn k=1 k(n + 1 − k) n = (n + 1 n Xn k=1 k − 1 n Xn k=1 k 2 ) n = (n + 1)2 2 − (n + 1)(2n + 1) 6 n = (n + 1)(n + 2) 6 n < (n + 2)2 6 n . 2.2 基本概念 【定义2.6】设{an}是给定的数列，若存在a ∈ R，使得对∀ε > 0，总存在一个自然 数n与ε有关，使得当n > N时有|an−a| < ε 成立. 这时称a为数列{an}的极限，记作 limn→∞ an = a或an → a (n → ∞). 对于有极限的数列，我们称之为收敛数列，否则称为 发散数列. 这个定义，是由Cauchy最先给出. 虽然在给出之前，Newton(1643-1727)便已经发明了 微积分，但是当时他对于微积分的使用不是十分严谨，经常对一些留数(即剩余的高阶无穷 小)时而当成0忽略，时而又可以做除法，当然这很难具有说服力和严密性. 但是极限定义的 给出，标志着数学分析理论的完善，也经常被视为初等数学与高等数学的分界线. 当然，这 个概念也是需要同学们多花一些时间取理解的，下面举几个例子来说明一下这条定义. 【例2.3】用极限的定义证明 limn→∞ n! nn = 0. 【证明】对于∀ε > 0，∃N = h 1 ε i + 1 ∈ N，s.t.对∀n > N 有 n! nn 6 1 · n n−1 nn = 1 n < ε. 通过上述证明过程，我们可以看出在极限定义的使用中有如下几个特点： (1)N的选取与ε有关，但是它只有充分大即可，可以在一个数值的基础+1，那么便可 以+10，+100； (2)ε代表的是任意的正数，实际它更想表达的是充分小的正数，因此你完全可取类 似0 < ε < 1的条件； (3)由于ε的任意性，我们如果能够证明< Mε也可完成证明(M为正的常数)； (4)由上面的一条我们得知，如果你能导出6 ε也可以完成证明； (5)这类题目通常需要读者具有良好的不等式放缩技巧. 【例2.4】设 limn→∞ xn = A ∈ R. 证明： limn→∞ 1 n Xn i=1 xi = A
132.3.常用性质11(ri - A) → 0(n → 00)【证明】我们只需证明二L-A=nn不妨设A=0.从而对Ve>0，3NEN*，s.t.Vn>N，[nl<e.设n>N，我们有2nEN+1In4=1i-1由于N已经被固定，此时选取了Vn>N，所有只与N有关的量就是有限多的了，故令n→8，我们有1口limsup元Z≤e.令→0，有lim元Z=0.n-+0on【注】有很多类题目都需要使用这种分段的技巧来证明极限，利用的是当两部分分别会有不同部分足够小的特性，而在这个过程中，我们通常需要对一些项进行配常用性质2.3【定理2.7】收敛数列极限唯一，且有限多项值改变不会影响其收敛性与极限【定理2.8】若an<bn（其中的<可以改为≤)，且an→a，bn→b(n→oo)，则a≤b【注】【定理2.8】表明在极限存在的情况下，可以对一个不等式两侧令某个变量趋于一个数，从而得到关于它们极限的方向一样的一个不严格不等式，而事实上，极限的定义要求我们证明an一αl<（≤)e，最后就是一个先令n→0，再令e→0的过程，从而有liman-al≤0，即liman=a.这里先令n→，再令e→0的原因是N的选取是与e有关的，而nN，故当ε→0时，会导致与有关的n产生不可估计的变化，无法做出结果正是这种不同变量之间有先后次序地取极限的问题，是极限理论中的难点，需要读者多花些时间、多看一些题目去理解【推论2.9】（夹逼准则)若对于充分大的n，有an≤Cn≤bn且数列[an]与[bn]均收敛于a,则数列c,1也收敛到a【定理2.10】anl收敛于a当且仅当它的任意子列收敛于a【定理2.11】（Cauchy收敛准则)收敛数列与基本列等价.基本列[anl满足：Ve>O,NEN*,s.t.Vn,m>N,an-aml<e【注】（1)请读者试着写出数列发散的Cauchy判别法则；(2)Cauchy收敛准则有极限等价描述：【an)是Cauchy列台limlan-am|=0；
2.3. 常用性质 13 【证明】我们只需证明 1 n Xn i=1 xi − A = 1 n Xn i=1 (xi − A) → 0(n → ∞). 不妨设A = 0. 从而对∀ε > 0，∃N ∈ N ∗，s.t. ∀n > N，|xn| < ε. 设n > N，我们有 1 n Xn i=1 xi 6 1 n X N i=1 xi + 1 n Xn i=N+1 |xi | 6 1 n X N i=1 xi + n − N n ε 由于N已经被固定，此时选取了∀n > N，所有只与N有关的量就是有限多的了，故 令n → ∞，我们有 lim sup n→∞ 1 n Xn i=1 xi 6 ε. 令ε → 0，有 limn→∞ 1 n Xn i=1 xi = 0. 【注】有很多类题目都需要使用这种分段的技巧来证明极限，利用的是当两部分分别会有 不同部分足够小的特性，而在这个过程中，我们通常需要对一些项进行配凑. 2.3 常用性质 【定理2.7】收敛数列极限唯一，且有限多项值改变不会影响其收敛性与极限. 【定理2.8】若an < bn(其中的<可以改为6)，且an → a，bn → b(n → ∞)，则a 6 b. 【注】【定理2.8】表明在极限存在的情况下，可以对一个不等式两侧令某个变量趋于 一个数，从而得到关于它们极限的方向一样的一个不严格不等式. 而事实上，极限的定 义要求我们证明|an − a| < (6)ε，最后就是一个先令n → ∞，再令ε → 0 的过程，从而 有 limn→∞ |an − a| 6 0，即 limn→∞ an = a. 这里先令n → ∞，再令ε → 0 的原因是N的选取是与ε有 关的，而n > N，故当ε → 0时，会导致与ε 有关的n产生不可估计的变化，无法做出结果. 正是这种不同变量之间有先后次序地取极限的问题，是极限理论中的难点，需要读者多花 些时间、多看一些题目去理解. 【推论2.9】(夹逼准则)若对于充分大的n，有an 6 cn 6 bn，且数列{an}与{bn}均收敛于a， 则数列{cn}也收敛到a. 【定理2.10】{an}收敛于a当且仅当它的任意子列收敛于a. 【定理2.11】(Cauchy收敛准则)收敛数列与基本列等价. 基本列{an}满足： ∀ε > 0，∃N ∈ N ∗，s.t. ∀n, m > N，|an − am| < ε. 【注】(1)请读者试着写出数列发散的Cauchy判别法则； (2)Cauchy收敛准则有极限等价描述：{an}是Cauchy列⇔ lim m,n→∞ |an − am| = 0；
14CHAPTER2.数列的极限理论(3)Cauchy收敛准则等价于：Ve>0，3NEN*，当n>N时，[an+panl<e(VpEN*)；(4)上一条也具有极限等价描述：[an是Cauchy列台limlim|an+pan|=0.p-【定理2.12】（单调有界原理)单调有界数列必收敛【定理2.13】(Bolzano(1781-1848)-Weierstrass(1815-1897))紧致性定理）有界数列必有收敛子列.【定理2.14】收敛数列之间在收敛运算下保持四则运算.但是除法运算需要排除分母数列极限为0的情况，【注】这条定理在对两个数列使用时一定要注意必须二者极限均存在，下面举例说明，【例2.5】若收敛数列(an)满足an≠0，能否断定limn=1?oan【解】不能.根源在于an极限可能为0，如不为0，由极限除法运算法则知结论成立口反例：an=2-n【例2.6】若数列(an]，{bn)满足anbn→0(n→0).是否必有二者至少有一极限为0？若还假设an)收敛，请再次回答上述问题【解】第一个问题，不是取[an]满足奇数项为0，偶数项为1，[bn]满足奇数项为1，偶数项为0，此即反例第二个问题，一定设(an)的极限为a，若a0，由极限除法法则，bn=anbn→！口=0(n→8).an【定义2.15】设数列(an)满足对任意M>0，存在NEN*，s.t.Vn>N，有|an|>M，则称数列an)发散到无穷大，记作liman=o或an→o(n→o).我们也把这种数列叫做无穷大量.类似地，我们还可以定义发散到正无穷或负无穷，【定理2.16】单调数列发散到无穷大当且仅当它无界【例2.7] 求证 lim[(n +1)*-nh] =0 (0<k<1)【证明】 0 <(n + 1)*- nk= n[(1+=)*-1]<n*(1+=-1) = nk-1 →0 (n → 80)。 1元-l(n+1)存在.【例2.8】求证极限limCn=lim1)n+1)单调递减趋于e.)"单调递增趋于e，(1+【证明】使用均值不等式容易证明【(1+n→(++))<(nEN")1 +n+ 1<(a+1)<17把上式前n项求和，便有：k
14 CHAPTER 2. 数列的极限理论 (3)Cauchy收敛准则等价于：∀ε > 0，∃N ∈ N ∗，当n > N时，|an+p − an| < ε(∀p ∈ N ∗ )； (4)上一条也具有极限等价描述：{an}是Cauchy列⇔ limn→∞ lim p→∞ |an+p − an| = 0. 【定理2.12】(单调有界原理)单调有界数列必收敛. 【定理2.13】(Bolzano(1781-1848)-Weierstrass(1815-1897))紧致性定理) 有界数列必有收 敛子列. 【定理2.14】收敛数列之间在收敛运算下保持四则运算. 但是除法运算需要排除分母数列极 限为0的情况. 【注】这条定理在对两个数列使用时一定要注意必须二者极限均存在，下面举例说明. 【例2.5】若收敛数列{an}满足an 6= 0，能否断定 limn→∞ an an+1 = 1？ 【解】不能. 根源在于an极限可能为0，如不为0，由极限除法运算法则知结论成立. 反例：an = 2−n . 【例2.6】若数列{an}，{bn}满足anbn → 0(n → ∞). 是否必有二者至少有一极限为0？若还 假设{an}收敛，请再次回答上述问题. 【解】第一个问题，不是. 取{an}满足奇数项为0，偶数项为1，{bn}满足奇数项为1，偶数项为0，此即反例. 第二个问题，一定. 设{an}的极限为a，若a 6= 0，由极限除法法则，bn = anbn an → 0 a = 0(n → ∞). 【定义2.15】设数列{an}满足对任意M > 0，存在N ∈ N ∗，s.t.∀n > N，有|an| > M，则称 数列{an}发散到无穷大，记作 limn→∞ an = ∞或an → ∞(n → ∞). 我们也把这种数列叫做无穷 大量. 类似地，我们还可以定义发散到正无穷或负无穷. 【定理2.16】单调数列发散到无穷大当且仅当它无界. 【例2.7】求证 limn→∞ [(n + 1)k − n k ] = 0 (0 < k < 1). 【证明】0 < (n + 1)k − n k = n k h1 + 1 n k − 1 i < nk 1 + 1 n − 1 = n k−1 → 0 (n → ∞). 【例2.8】求证极限 limn→∞ xn = limn→∞ hXn k=1 1 k − ln(n + 1)i 存在. 【证明】使用均值不等式容易证明{(1 + 1 n ) n }单调递增趋于e，{(1 + 1 n ) n+1}单调递减趋于e. 1 + 1 n n < e < 1 + 1 n n+1 ⇒ 1 n + 1 < ln 1 + 1 n < 1 n (n ∈ N ∗ ). 把上式前n项求和，便有： Xn+1 k=2 1 k < ln (n + 1) < Xn k=1 1 k