51.4.一些函数的常见性质1e222-32-21322-2-2图1.3反双曲正弦与反双曲余弦函数图1.4反双曲正切函数北22T2图1.5余切函数图1.6余割函数1.4.3反三角函数与其他三角函数下面我们考察三角函数的反函数.实际上，我们只需要将它们的前面加上arc即可：例如：arcsin表示正弦函数的反函数，其他同理可推然而三角函数并不是单射，所以我们需要人为地定义反三角函数的主值区间，即它们的值域允许的取值范围。我们规定：arcsin的主值区间为[-，号],arccos的主值区间2元元为[0,]，arctan的主值区间为(一至多)请读者尝试利用三角函数的和角、差角公式来推导它们的类似公式，其他三角函数，有余切函数cot，它是tan的倒数，并在tan无意义处取值为o，在tan取11值为0处无意义.正割函数secr：余割函数csc定要注意上述函数具有sinrcOSa无意义的点，当然，它们也有自已的反函数，但我们不去过多讨论我们以后会计算它们的微分和积分，研究它们的分析性质上页作为示例给出余切函数和余割函数的图像，请读者自己试着画出正割函数的图像
1.4. 一些函数的常见性质 5 −3 −2 −1 1 2 3 −2 2 x y −3 −2 −1 1 2 3 −2 2 x y 图1.3 反双曲正弦与反双曲余弦函数 图1.4 反双曲正切函数 −4 −2 2 4 −4 −2 2 4 x y −4 −2 2 4 −4 −2 2 4 x y 图1.5 余切函数 图1.6 余割函数 1.4.3 反三角函数与其他三角函数 下面我们考察三角函数的反函数. 实际上，我们只需要将它们的前面加上arc即可. 例 如：arcsin 表示正弦函数的反函数，其他同理可推. 然而三角函数并不是单射，所以我们需要人为地定义反三角函数的主值区间，即 它们的值域允许的取值范围. 我们规定：arcsin的主值区间为[− π 2 , π 2 ]，arccos的主值区间 为[0, π]，arctan的主值区间为(− π 2 , π 2 ). 请读者尝试利用三角函数的和角、差角公式来推导它们的类似公式. 其他三角函数，有余切函数cot，它是tan的倒数，并在tan无意义处取值为0，在tan取 值为0处无意义. 正割函数sec x := 1 cos x ，余割函数csc x := 1 sin x . 一定要注意上述函数具有 无意义的点. 当然，它们也有自己的反函数，但我们不去过多讨论. 我们以后会计算它们的 微分和积分，研究它们的分析性质. 上页作为示例给出余切函数和余割函数的图像，请读者自己试着画出正割函数的图像
6CHAPTER1．基础知识1.5极坐标系同学们在高中已经对平面直角坐标系R2非常熟悉，下面我们引入平面上的另一种常用的度量方式，叫做极坐标系.极坐标系建立的方法如图1.7所示：取定平面内一点O，过O点引出一条射线，使得射线延伸方向为正方向，建立了一条有向轴，称作极轴，记作O对于平面内任意一点P(a,y)，我们可以考虑使用r=OP与(为Or到OP的转角，逆时针为正，我们通常称之为极角）这两个量来唯一确定平面上除了原点之外的点。同学们可以证明下图右侧的极坐标变换公式：P(r,0)r=Vr?+y?=rcosa和AA9=arctan(y=rsing03图1.7极坐标系的建立多项式的因式分解1.61.6.1多项式除法首先介绍一下多项式除法，由于给出定理的形式会使用大量的代数符号和字母，对于刚上大学的同学们来讲过于抽象，因此举两个例子来讲解Euclid(BC330-BC275)辗转相除法【例1.1】设f()=4+3r3-2-4-3，g()=3r3+102+2-3，求f()除以g()的商式g(r)和余式r(r)【解】转相除法的主要思想是“辗转”，即用f和q中次数较大的除以次数较小的，得到的余式再用除式做同样的操作，直到不可再除为止13_ 52- 3 -3*+ 32* - 2 - 4n - = ga(3* + 102 + 2 - 3) - 3#-3上式中4+33-2-4-3叫做被除式，3r3+102+2c-3叫做除式，r叫做商式，一3-号2-3－3叫做余式.由于余式仍能用除式做除法，故继续此过程，因而这叫做辗转相除法.下面继续：5225-101,3-52-3-3=-(33 + 102+ 2-3)-2--3#-3此时，余式的次数已经比除式的次数小了，因此无法继续做辗转相除，故得到答案：
6 CHAPTER 1. 基础知识 1.5 极坐标系 同学们在高中已经对平面直角坐标系R 2非常熟悉，下面我们引入平面上的另一种常用 的度量方式，叫做极坐标系. 极坐标系建立的方法如图1.7所示：取定平面内一点O，过O点 引出一条射线，使得射线延伸方向为正方向，建立了一条有向轴，称作极轴，记作Ox. 对 于平面内任意一点P(x, y)，我们可以考虑使用r = |OP|与θ(为Ox到OP的转角，逆时针为 正，我们通常称之为 极角)这两个量来唯一确定平面上除了原点之外的点. 同学们可以证明 下图右侧的极坐标变换公式： x 图1.7 极坐标系的建立 r O P(r, θ) θ r = p x 2 + y 2 θ = arctan y x 和 x = r cos θ y = r sin θ 1.6 多项式的因式分解 1.6.1 多项式除法 首先介绍一下多项式除法，由于给出定理的形式会使用大量的代数符号和字母，对于 刚上大学的同学们来讲过于抽象，因此举两个例子来讲解Euclid(BC330-BC275)辗转相除法. 【例1.1】设f(x) = x 4 + 3x 3 − x 2 − 4x − 3，g(x) = 3x 3 + 10x 2 + 2x − 3，求f(x)除以g(x)的 商式q(x)和余式r(x). 【解】辗转相除法的主要思想是“辗转”，即用f和g中次数较大的除以次数较小的，得到的 余式再用除式做同样的操作，直到不可再除为止. x 4 + 3x 3 − x 2 − 4x − 3 = 1 3 x(3x 3 + 10x 2 + 2x − 3) − 1 3 x 3 − 5 3 x 2 − 3x − 3 上式中x 4 + 3x 3 − x 2 − 4x − 3叫做被除式，3x 3 + 10x 2 + 2x − 3叫做除式，1 3 x叫做商 式，− 1 3 x 3 − 5 3 x 2 − 3x − 3叫做余式. 由于余式仍能用除式做除法，故继续此过程，因而这叫 做辗转相除法. 下面继续： − 1 3 x 3 − 5 3 x 2 − 3x − 3 = − 1 9 (3x 3 + 10x 2 + 2x − 3) − 5 9 x 2 − 25 9 x − 10 3 此时，余式的次数已经比除式的次数小了，因此无法继续做辗转相除，故得到答案：
71.6.多项式的因式分解5225-1012 + 3* - 2 - 4 -3=( - ))(33+102+2-3)2-3_5,2_ 25- 1011其中商式a()=-：余式r(a)=-9-9-3【例1.2】设f()=r4-r3-4r2+4r+1，g(a)=2--1，求f(a)除以g(r)的商式q(r)和余式r(r).【答案】q()=2-3，r()=-21.6.2代数方程有理根的判别法【定义1.14】我们把整系数多项式P（c）=0这种形式的方程叫做代数方程当我们碰见一个高次方程（3次及以上）的时候，我们的第一想法是考察它是否存在有理数解，当然同学们在高中学习过求导的办法，将解的范围缩小，然而由于有理数的稠密性，导致我们仅利用分析的手段难以将解的范围缩小至有限多个，这时，我们就需要若干代数学中的结论.事实上，考察有理根的问题即为考察该多项式在有理系数多项式环上是否可约的问题.而利用Gauss(1777-1855)引理，问题又可以转化为整系数多项式环上的可约性问题下面讨论问题的过程中，我们总是设P(r）=akr*(an≠0)k=0【定理1.15】设最简分数是P(a）=0的一个有理根，则plan，qaoD口【证明】将该最简分数代入方程之后乘以p"通分立得.由于满足上述定理的m和n的个数是有限的，故这条结论将我们要寻找的有理根的范围缩小到了有限多个。如果再结合导数等分析学的内容加以分析，必然会比较迅速地判断该代数方程是否有有理根1.6.3其他可能需要的定理由于证明所需知识超出数学分析的范畴，下面不加证明地给出一些定理：【定理1.16】(r—ro)P(r)台P(ro)=0.【定理1.17】（代数学基本定理)P()必有n个复数根，其中重根按照重数计算代数学基本定理告诉我们：如果在复系数多项式环上对多项式作因式分解，必然可以分解成0个复系数一次多项式的乘积，但是如果对于任意一个实的多项式，我们能不能把它全部分解成实系数一次多项式的乘积呢？答案是否定的：
1.6. 多项式的因式分解 7 x 4 + 3x 3 − x 2 − 4x − 3 = (1 3 x − 1 9 )(3x 3 + 10x 2 + 2x − 3) − 5 9 x 2 − 25 9 x − 10 3 其中商式q(x) = 1 3 x − 1 9 ，余式r(x) = − 5 9 x 2 − 25 9 x − 10 3 . 【例1.2】设f(x) = x 4 − x 3 − 4x 2 + 4x + 1，g(x) = x 2 − x − 1，求f(x)除以g(x)的商式q(x)和 余式r(x). 【答案】q(x) = x 2 − 3，r(x) = x − 2. 1.6.2 代数方程有理根的判别法 【定义1.14】我们把整系数多项式P(x) = 0这种形式的方程叫做代数方程. 当我们碰见一个高次方程(3次及以上)的时候，我们的第一想法是考察它是否存在有理 数解，当然同学们在高中学习过求导的办法，将解的范围缩小，然而由于有理数的稠密 性，导致我们仅利用分析的手段难以将解的范围缩小至有限多个. 这时，我们就需要若干代 数学中的结论. 事实上，考察有理根的问题即为考察该多项式在有理系数多项式环上是否可 约的问题. 而利用Gauss(1777-1855)引理，问题又可以转化为整系数多项式环上的可约性问 题. 下面讨论问题的过程中，我们总是设P(x) = Xn k=0 akx k (an 6= 0). 【定理1.15】设最简分数 q p 是P(x) = 0的一个有理根，则p an，q a0. 【证明】将该最简分数代入方程之后乘以p n通分立得. 由于满足上述定理的m和n的个数是有限的，故这条结论将我们要寻找的有理根的范围 缩小到了有限多个. 如果再结合导数等分析学的内容加以分析，必然会比较迅速地判断该代 数方程是否有有理根. 1.6.3 其他可能需要的定理 由于证明所需知识超出数学分析的范畴，下面不加证明地给出一些定理： 【定理1.16】(x − x0) P(x) ⇔ P(x0) = 0. 【定理1.17】(代数学基本定理)P(x)必有n个复数根，其中重根按照重数计算. 代数学基本定理告诉我们：如果在复系数多项式环上对多项式作因式分解，必然可以 分解成n个复系数一次多项式的乘积. 但是如果对于任意一个实的多项式，我们能不能把它 全部分解成实系数一次多项式的乘积呢？答案是否定的：
8CHAPTER1.基础知识【定理1.18】实系数多项式在实系数多项式环上一定能表示成实系数的一次多项式和二次多项式的乘积这条定理告诉我们，若要求将一个实系数多项式分解为次数尽可能低的多项式乘积，我们一定得到的都是一次或二次的，而得到的办法就是将该多项式等于0的所有复数解求出来，把其中的共轭复根两两配对，可以得到根为该对共轭复根的二次实系数方程；其余的实数根均可生成一个实系数的一次方程，使得根是该实数．具体方法我们还会在学习到有理函数的不定积分那里继续深入讨论
8 CHAPTER 1. 基础知识 【定理1.18】实系数多项式在实系数多项式环上一定能表示成实系数的一次多项式和二次 多项式的乘积. 这条定理告诉我们，若要求将一个实系数多项式分解为次数尽可能低的多项式乘积， 我们一定得到的都是一次或二次的，而得到的办法就是将该多项式等于0的所有复数解求出 来，把其中的共轭复根两两配对，可以得到根为该对共轭复根的二次实系数方程；其余的 实数根均可生成一个实系数的一次方程，使得根是该实数. 具体方法我们还会在学习到有理 函数的不定积分那里继续深入讨论
Chapter 2数列的极限理论分析是极限的艺术.一中科大数学学院任广斌教授极限思想产生于实数体系的公理化过程，其中有若干条最基本的性质，奠定了整个数学分析的基础，即我们所熟知的实数六大基本定理（它们之间的互推证明请参考附录（A））.这六大定理虽能互推，但是我们必须要事先承认其中之一，方可奠定整个实数理论，由此可见实数公理化体系引入的必要性，虽然我们今后可能不会再去关注这件事，但是今后所学的所有微积分与极限理论均是建立在实数公理的基础上的.由此，正是极限理论的引入，揭开了高等数学的序幕。常用不等式2.1本节中会列举若干常用的不等式，并给出相应证明。此处以定理和推论形式给出的不等式在考试之中(对做法没有特殊要求的情况下)可以直接使用，但是例题中的不一定允许使用.【定理2.1】(Bernoulli不等式)设n≥2是自然数，i>-1(i=1,2..n)且都同号不为0，则有nEII(ri+1) >1+ri.i=1=19
Chapter 2 数列的极限理论 分析是极限的艺术. ——中科大数学学院 任广斌教授 极限思想产生于实数体系的公理化过程，其中有若干条最基本的性质，奠定了整 个数学分析的基础，即我们所熟知的实数六大基本定理(它们之间的互推证明请参考附 录(A)). 这六大定理虽能互推，但是我们必须要事先承认其中之一，方可奠定整个实数理 论，由此可见实数公理化体系引入的必要性，虽然我们今后可能不会再去关注这件事，但 是今后所学的所有微积分与极限理论均是建立在实数公理的基础上的. 由此，正是极限理论 的引入，揭开了高等数学的序幕. 2.1 常用不等式 本节中会列举若干常用的不等式，并给出相应证明. 此处以定理和推论形式给出的不等 式在考试之中(对做法没有特殊要求的情况下)可以直接使用，但是例题中的不一定允许使 用. 【定理2.1】(Bernoulli不等式)设n > 2 是自然数，xi > −1(i = 1, 2, ., n)且都同号不为0， 则有 Yn i=1 (xi + 1) > 1 +Xn i=1 xi . 9