2.4由系统输入输出描述导出状态空间描述 由输入输出描述导出状态空间描述 对于单输入,单输出线性时不变系统,其微分方程描述 y)+an-1y1)+…+a1y()+ay=bnl(m)+bn1l(m)+…+b1l0)+bl 其传递函数描述 Y(s) bm,s"+b g(s) +b,s+b S+an-1S"+……+a1s+ao 可以导出其状态空间描述为 Ax+bu y=Cx+du x∈RA∈Rmb∈Rc∈ Rn d∈Rl 1/18.14/50
2.4 由系统输入输出描述导出状态空间描述 由输入输出描述导出状态空间描述 对于单输入,单输出线性时不变系统,其微分方程描述 y a y a y a y b u b u b u b u m m m m n n n 0 (1) 1 ( 1) 1 ( ) 0 (1) 1 ( 1) 1 ( ) + + + + = + + + + − − − − 其传递函数描述 1 0 1 1 0 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) s a s a s a b s b s b s b U s Y s g s n n n m m m m + + + + + + + + = = − − − − 可以导出其状态空间描述为 1 1 11 = + = + x R A R b R c R d R y cx du x Ax bu n n n n n 1/18,14/50
结论1给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述, y+an1y()+…+a1y0)+a0y=bnum)+bnl(m-)+…+bl0+bl 8(s￥(3hs+hsm-1+…+bs+ S+an_1S+…+a1S+a 其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出 (1)m=n,即系统为真情形 01 0 0 0 =0 0x+|:l 000 0 ((bo -,ao),(b-b,a,) +6 设 (n-1) ……+an2 2/18,15/50
结论1 给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述, y a y a y a y b u b u b u b u m m m m n n n 0 (1) 1 ( 1) 1 ( ) 0 (1) 1 ( 1) 1 ( ) + + + + = + + + + − − − − 其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出 1 0 1 1 0 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) s a s a s a b s b s b s b U s Y s g s n n n m m m m + + + + + + + + = = − − − − (1)m=n,即系统为真情形 y b b a b b a b b a x b u x u a a a a X n n n n n n n = − − − + + − − − − = − − − ( ), ( ), , ( ) 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 2 1 设 u z a z a z n n n 0 ( 1) 1 ( ) = + + + − − 2/18,15/50
a +…+any=bnl1+bh-1(n-1)+…+b bzn) a +…+banz(n ×,公 +b +6 八÷(2 +…+b.1az +b02+204m-1=m1 +…+ baz (bn()+bn=2m1+…+b2)+an1(bn=0+bn +…+b-)(n-) +…+a0(bn-m+bn1=(n+…+b2) 可见y=b,z(+bhn1=(m-)+…+bz 3/18,1650
( ) ( ) ( ) 0 ( 1) 1 ( ) 0 ( 1) 0 ( 1) 1 ( ) 1 ( ) 0 ( 1) 1 ( ) 0 0 ( 1) 0 1 ( ) 0 ( 1) 1 0 (2 2) 1 1 (2 1) 1 ( ) 0 (2 1) 1 (2 ) 0 ( 1) 1 ( ) 0 ( 1) 1 ( ) a b z b z b z b z b z b z a b z b z b z b z b a z b a z b z b a z b a z b z b a z b a z y a y a y b u b u b u n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n + + + + + = + + + + + + + + + + + + + + + + = + + + + + + = + + + − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − 可见 y b z b z b z n n n n 0 ( 1) 1 ( ) = + + + − − 3/18,16/50
x1=2 x2 (n) 77 有 y=6=+b +…+bnz M=x X =x xn 12-a02+l X+u y=b, (n) +b b,( 1 x1+)+b +6 bn)x1+(b1-a1bn)x2+…+( b,)x+ b 4/18,17/50
( 1) 2 1 − = = = n n x z x z x z 令 b a b x b a b x b a b x b u b a x a x a x u b x b x y b z b z b z a x a x a x u x z a z a z a z u x x x x x x n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n = − + − + + − + = − − − − + + + + = + + + = − − − − + = = − − − − + = = = − − − − − − − − − − ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 1 2 1 1 1 1 2 0 1 1 0 1 0 ( 1) 1 ( ) 1 1 2 0 1 1 0 ( 1) 1 ( ) 1 2 3 1 2 有 y b z b z b z n n n n 0 ( 1) 1 ( ) = + + + − − u z a z a z n n n 0 ( 1) 1 ( ) = + + + − − 4/18,17/50
写成矩阵形式:「x 0 0 0 XI 001 0 n-1 0 00 n-1 0 [ bo-aob, b-a,b b 2b b +b n-1 (2)m<n,即系统为严真情形 0 0 0 g(s) Y(s) bm5"+bm-S+.+b,s+bo U(s) s"+a,s-+.+a,s+a X=0 0x+ 0 0 0 y=[b1…bn 5/18.18/50
(2)m<n,即系统为严真情形 y b b b x x u a a a a X m n 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 2 1 = + − − − − = − 写成矩阵形式： b u x x x x y b a b b a b b a b b a b u x x x x a a a a x x x x n n n n n n n n n n n n n n n n + = − − − − + − − − − = − − − − − − − − 1 2 1 0 0 1 1 2 2 1 1 1 2 1 0 1 2 1 1 2 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) s a s a s a b s b s b s b U s Y s g s n n n m m m m + + + + + + + + = = − − − − 5/18,18/50