人口分布问题状态空间描述的列写示例 假设某个国家,城市人口为107,乡村人口为9x107,每年4%的城市人口迁移去乡 村,2%的乡村人口迁移去城市,整个国家的人口的自然增长率为1% 设k为离散时间变量,x1(k)、X2(k)为第k年的城市人口和乡村人口,u(k)为第k年 所采取的激励性政策控制手段,设一个单位正控制措施可激励5×104城市人口 迁移乡村,而一个单位负控制措施会导致5×104乡村人口去城市,y(k)为第k年全 国人口数 x1(k+1)=101×(1-0.04)x(k)+1.01×0.02x2(k)-1.01×5×10u(k) x2(k+1)=1.01×(1-002)x2(k)+1.01×0.04x1(k)+1.01×5×10u(k) 写成矩阵形式 x1(k+1)1「096960.0202x1(k) 5.05×10 (k) x2(k+1)0.04040.9898x2(k)505×10 x1(k) y(k)=[1 亦可表为x(k+1)=Gx(k)+Hlu(k) y(k)=Cx(k)+Du(k) 5/79/50
人口分布问题状态空间描述的列写示例 假设某个国家,城市人口为107 ,乡村人口为9x107 ,每年4%的城市人口迁移去乡 村, 2%的乡村人口迁移去城市,整个国家的人口的自然增长率为1% 设k为离散时间变量, x1 (k)、x2 (k)为第k年的城市人口和乡村人口, u(k)为第k年 所采取的激励性政策控制手段,设一个单位正控制措施可激励5x104城市人口 迁移乡村,而一个单位负控制措施会导致5x104乡村人口去城市, y(k)为第k年全 国人口数 ( 1) 1.01 (1 0.02) ( ) 1.01 0.04 ( ) 1.01 5 10 ( ) ( 1) 1.01 (1 0.04) ( ) 1.01 0.02 ( ) 1.01 5 10 ( ) 4 2 2 1 4 1 1 2 x k x k x k u k x k x k x k u k + = − + + + = − + − 写成矩阵形式 ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) 5.05 10 5.05 10 ( ) ( ) 0.0404 0.9898 0.9696 0.0202 ( 1) ( 1) 2 1 4 4 2 1 2 1 y k C x k Du k x k G x k Hu k x k x k y k u k x k x k x k x k = + + = + = − + = + + 亦可表为 5/7,9/50
离散时间线性系统的状态空间描述 状态空间描述形式 离散时间线性时不变系统X(k+1)=Gx(k)+H(k) Y(k)=Cx(k)+ Du(k) n×n阵G:系统矩阵nxp阵H:输入矩阵 q×n阵C:输出矩阵qxp阵D:传输矩阵 离散时间线性时变系统X(k+1)=G(k)x(k)+H(k)(k) ()=C(k)x(k)+D(k)(k) 6/710/50
离散时间线性系统的状态空间描述 状态空间描述形式 离散时间线性时不变系统 ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) Y k Cx k Du k X k Gx k Hu k = + + = + 阵 输出矩阵 阵 传输矩阵 阵 系统矩阵 阵 输入矩阵 : : : : q n C q p D n n G n p H 离散时间线性时变系统 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) Y k C k x k D k u k X k G k x k H k u k = + + = + 6/7,10/50
状态空间描述的特点 是状态方程形式上的差分型属性 二是∵:描述方程的线性属性 三是:变量取值时间的离散属性 离散时间线性系统的方块图 D(k) x(k+1) x(k) H(k)→② 单位延迟 C(k) y(k) (k) (k) 777,11/50
状态空间描述的特点 一是:状态方程形式上的差分型属性 二是:描述方程的线性属性 三是:变量取值时间的离散属性 离散时间线性系统的方块图 H (k) C(k) D(k) + x(k +1) y(k) u(k) x(k) G(k) 单位延迟 + + 7/7,11/50
2.3连续变量动态系统按状态空间描述的分类 线性系统和非线性系统 设系统的状态空间描述为文=f(x,a,) y=g(x,u, t) X u g1(x,u,) 向量函数f(x0)=2(x 82(r,u,t gx, u, t) f(x, u, t) g,(x,u, t) 若f(x,u,t),gx,u,t)的全部或至少一个 若f(x,u,t),gx,u,t)的全部组成元为x、u的 组成元为x、u的非线性函数,该系统 线性函数,该系统称为线性系统 称为非线性系统 非线性系统可以用泰勒展 X=A(0)X+ B(u 开方法化为线性系统 对于线性系统 Y=C(0)X+D()u 1/2.12/50
2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类 线性系统和非线性系统 设系统的状态空间描述为 ( , , ) ( , , ) y g x u t x f x u t = = 向量函数 = = ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) 2 1 2 1 g x u t g x u t g x u t g x u t f x u t f x u t f x u t f x u t n q ， 若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部或至少一个 组成元为x、u的非线性函数,该系统 称为非线性系统 若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部组成元为x、u的 线性函数,该系统称为线性系统 对于线性系统 = + = + Y C t X D t u X A t X B t u ( ) ( ) ( ) ( ) 非线性系统可以用泰勒展 开方法化为线性系统 1/2,12/50
时变系统和时不变系统 若向量g不显含时间变量即=(x2n)该系统称为时不变系统 8=g(x2l) 若向量f,g显含时间变量t,即 「f=f(x,u,t) 该系统称为时变系统 g=g(x, u, t) 连续时间系统和离散时间系统 当且仅当系统的输入变量,状态变量和输岀变量取值于连续时间点,反映变量间因 果关系的动态过程为时间的连续过程,该系统称为连续时间系统 当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量只取值于离散时间点,反映变量间因 果关系的动态过程为时间的不连续过程,该系统称为离散时间系统 确定性系统和不确定性系统 称一个系统为确定性系统,当且仅当不论是系统的特性和参数还是系统的输入 和扰动,都是随时间按确定的规律而变化的 称一个动态系统为不确定性系统,或者系统的特性和参数中包含某种不确定性, 或者作用于系统的输入和扰动是随机变量 2/2.13/50
时变系统和时不变系统 若向量f,g不显含时间变量t,即 = = ( , ) ( , ) g g x u f f x u 该系统称为时不变系统 若向量f,g显含时间变量t,即 = = ( , , ) ( , , ) g g x u t f f x u t 该系统称为时变系统 连续时间系统和离散时间系统 当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量取值于连续时间点,反映变量间因 果关系的动态过程为时间的连续过程,该系统称为连续时间系统 当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量只取值于离散时间点,反映变量间因 果关系的动态过程为时间的不连续过程,该系统称为离散时间系统. 确定性系统和不确定性系统 称一个系统为确定性系统,当且仅当不论是系统的特性和参数还是系统的输入 和扰动,都是随时间按确定的规律而变化的. 称一个动态系统为不确定性系统,或者系统的特性和参数中包含某种不确定性, 或者作用于系统的输入和扰动是随机变量 2/2,13/50