本单元教学的重点与难点 1在讨论函数形态(单调性与凹凸性)时要注意一阶导 数和二阶导数所起的作用,并进行比较以加理解,简ˉ 之:一阶导数的符号决定函数的单调性,二阶导数的符 号决定函数的凹凸性 2通常用f(x)=0的点(函数的驻点和导数不存在的点 来划分并讨论函数的单调区间;用f"(x)=0的点和二 阶导数不存在的点来划分并讨论函数图形的凹凸区间
三、本单元教学的重点与难点 1.在讨论函数形态（单调性与凹凸性）时要注意一阶导 数和二阶导数所起的作用，并进行比较以加理解，简言 之：一阶导数的符号决定函数的单调性，二阶导数的符 号决定函数的凹凸性． 2.通常用 的点 (函数的驻点 )和导数不存在的点 来划分并讨论函数的单调区间； 用 的点和二 阶导数不存在的点来划分并讨论函数图形的凹凸区间. f x ′( ) = 0 f x ′′( ) = 0
本单元课时数:2-3课时
本单元课时数：2-3课时．
函数的单调性 设函数f∈C|a,b,且G∈D(a,b),如果函数y=(x)在a,b 单调增加,那么它的图形是一条沿x轴正向上升的曲线, 这时曲线上各点处的切线斜率非负,即f(x)≥0;如果函 o数=x)在ab上单调减少,那么它的图形是一条沿x轴 正向下降的曲线,这时曲线上各点处的切线斜率非正, 即f(x)≤0.由此可见,函数的单调性与其导数的符号 有着密切的联系
函数的单调性 设函数 f∈C[a ,b]，且f∈D(a ,b), 如果函数y=f(x)在[a, b] 单调增加，那么它的图形是一条沿x轴正向上升的曲线， 这时曲线上各点处的切线斜率非负，即 ; 如果函 数y=f(x)在[a, b]上单调减少，那么它的图形是一条沿x轴 正向下降的曲线，这时曲线上各点处的切线斜率非正， 即 ．由此可见，函数的单调性与其导数的符号 有着密切的联系. f x ′( ) ≥ 0 f x ′( ) ≤ 0
y=f(x)/ y=f(r) b 单调上升 单调下降
y o a b x y= f (x) θ θ 单调上升 单调下降 x y o a y= f (x) b
上述关于函数单调性的图象性质,可以得到一般的结 论,即有 定理(可导函数单调的必要条件)设函数f∈C|a,b],并且 ∫∈D(a,b),若在区间[a,b上单调增加(减少),则对任意 的x∈(a,b),有f(x)≥0(≤0 反之,可以通过导数的符号来判定函数的单调性,即 有下面的判定定理:
上述关于函数单调性的图象性质，可以得到一般的结 论，即有 定理 (可导函数单调的必要条件) 设函数f ∈C[a ,b ]，并且 f ∈D(a, b )，若在区间 [a ,b ]上单调增加(减少)，则对任意 的 x ∈ (a , b) ，有 f x ′( ) ≥ ≤ 0 ( 0 )． 反之，可以通过导数的符号来判定函数的单调性，即 有下面的判定定理：