证令∫(x)=ax4+bx3+cx2-(a+b+c)x 则f(x)在[0,1上连续,(0,1)内可导 且f(0)=f(1)=0 故由Role定理知彐∈(0,1)使∫()=0 即4ax3+3bx2+2cx=a+b+c在(0,1)内有一实根 例4已知f(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导, 且f(0)=1,∫(1)=0,证明 彐c∈(0, ,)使f(e)=-f() 证记F(x)=xf(x) 则F(x)在[0,1让上满足 Rolle定理的条件 →彐c∈(0,1)使F'(c)=0
证 令 f (x) ax bx cx (a b c)x 4 3 2 则 f (x)在[0,1]上连续，(0,1)内可导 且 f (0) f (1) 0 故由Rolle 定理知 (0,1)使 f ( ) 0 即 4ax 3bx 2cx a b c 3 2 在(0,1)内有一实根 例4 c f c c f c f f f x ( ) (0,1) ( ) (0) 1, (1) 0, ( ) [0,1] (0,1) 使 且 证明 已知 在 上连续，在 内可导， 证 记F( x) xf ( x) 则F( x)在[0,1]上 满足Rolle 定理的条件 c (0,1)使F(c) 0
2 例5求极限01+3x-(1+x x→)0 解分子关于x的次数为2 5/1+5x=(1+5x) l11 =1+(5x)+ 1)·(5x)2+0(x2) 2!55 =1+x-2x2+0(x2 原式=lim x→0[1+x-2x2+0(x2)-(1+x)2
例5 . 1 5 (1 ) lim 5 2 0 x x x x 求极限 解 分子关于 x 的次数为 2. 5 1 5 1 5x (1 5x) 1) (5 ) ( ) 5 1 ( 5 1 2! 1 (5 ) 5 1 1 2 2 x x o x 1 2 ( ) 2 2 x x o x [1 2 ( )] (1 ) lim 2 2 2 0 x x o x x x x 原式 . 2 1
1+x 2arctanx-In 例6设lm 1-x=c≠0,求D,c x→>0 1+x 2arctanx-In 解lim →>0 2arctanx-In(1+ )+In(1-x) =m x→>0 2 1+x 21+X 2 m =liml+x2 1-x Px→>0 lim px→0(1 x") p-3=C×0 →p=3→c 3
例6 c p c x x x x p x 0, , 1 1 2arctan ln lim 0 设 求 解 p x x x x x 1 1 2arctan ln lim 0 p x x 2arctan x ln(1 x) ln(1 x) lim 0 ) 0 0 ( 1 2 0 1 1 1 1 1 2 lim p x px x x x 1 2 2 0 1 1 1 1 lim 2 p x x x x p 4 3 0 (1 ) 1 lim 4 p p x x x c 0 p 3 3 4 c