、典型例题 5兀 例1验证罗尔定理对y= In sin x在>h6 上 的正确性 解∵D:2kπ<x<2kπ+π,(k=0,±1, 且在 π5汇 6’上连续 又 y =cotx 在( π5兀 ,)内处处存在 并且∫()=f()=-m2
例1 . ] 6 5 , 6 lnsin [ 的正确性 验证罗尔定理对 在 上 y x 解 D : 2k x 2k , (k 0,1,) ] . 6 5 , 6 且在 [ 上连续 又 在 )内处处存在 6 5 , 6 cot ( y x ) 6 5 ) ( 6 ( 并且 f f ln2 二、典型例题
函数y= Insinx在 π5兀 上满足罗尔定理 的条件 由y′=cotx=0, 在 6’6)内显然有解x=7 兀5兀 取ξ=。,则∫(ξ2)=0 这就验证了命题的正确性
. ] 6 5 , 6 lnsin [ 的条件 函数 在 上满足罗尔定理 y x 由 y cot x 0, 在 )内显然有解 6 5 , 6 ( . 2 x , 2 取 则 f () 0. 这就验证了命题的正确性
例2 Darboux定理没f(x)在a,b内可导 则f(x)必至少有一次取得介于f(a)与f(b) 之间的每一个值 证首先假定f'(a)·f'(b)<0 不妨设∫(a)>0,f(b)<0 如右图所示 由假设知f(x)在a,b上连续 故f(x)在某点ξ处取得最大值 这里2≠a,b
例2 Darboux定理:设 f (x)在[a,b]内可导 之间的每一个值 则f (x)必至少有一次取得介于 f (a)与f (b) 证 首先假定 f (a) f (b) 0 不妨设 f (a) 0, f (b) 0 如右图所示 o y x a b 由假设知 f (x)在[a,b]上连续 故f ( x)在某点 处取得最大值 这里 a,b
由∫(a)>0→f(x)在x=a的右方邻近,有 f(x)>∫(a) 由f(b)<0→f(x)在x=b的左侧邻近,有 f(x)>∫(b →a<5<b由 Fermat定理得 f"(5)=0 其次,取介于fa)与f(b)之间的任意数C 为明确起见,不妨设∫(a)>C>f"(b) 引进辅助函数F(x)=f(x)-Cx 则F(x)在a,b内可导→F(x)=f(x)-C
由 f (a) 0 f ( x)在x a的右方邻近，有 f ( x) f (a) 由 f (b) 0 f ( x)在x b的左侧邻近，有 f (x) f (b) a b 由 Fermat 定理,得 f ( ) 0 其次，取介于 f (a)与f (b) 之间的任意数 C 为明确起见，不妨设 f (a) C f (b) 引进辅助函数 F( x) f (x) Cx 则 F(x)在[a,b]内可导 F(x) f (x) C
→F(a)=f(a)-C>0 F'(b)=f(b)-C<0 由上述已证知∈(a,b)使F'(2)=0 即f(4)=C 例3证明方程4ax3+3bx2+2cx=a+b+c 在(0,1)内至少有一实根 「分析]如令∫(x)=4ax3+3bx2+2cx-(a+b+c) 则f(0,f(1)的符号不易判别 不便使用介值定理 用Role定理来证
F(a) f (a) C 0 F(b) f (b) C 0 由上述已证知 (a,b)使F( ) 0 即 f ( ) C 例3 证明方程 4ax 3bx 2cx a b c 3 2 在(0,1)内至少有一实根 [分析] 如令 ( ) 4 3 2 ( ) 3 2 f x ax bx cx a b c 则f (0), f (1) 的符号不易判别 不便使用介值定理 用 Rolle 定理来证