曲线的凹凸与拐点 前面我们介绍了函数的单调性和极值,这对于 了解函数的性态很有帮助,但仅知道单调性还不 能比较全面地反映出曲线的性状,还须要考虑弯 曲方向。 B 如右图所示L1,L2,L3 虽然都是从A点单调上升到 B点,但它们的弯曲方向却 不一样。 L1是“凸”弧,L2是“凹”弧,L3既有凸弧,也有 凹弧, 这和我们日常习惯对凹凸的称呼是一致的
曲线的凹凸与拐点 前面我们介绍了函数的单调性和极值，这对于 了解函数的性态很有帮助，但仅知道单调性还不 能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考虑弯 曲方向。 o y x L3 L2 L1 A B 如右图所示L1 ，L2 ， L3 虽然都是从A点单调上升到 B点，但它们的弯曲方向却 不一样。 L1 是“凸”弧，L2是“凹”弧， L3既有凸弧，也有 凹弧， 这和我们日常习惯对凹凸的称呼是一致的
曲线凹凸的定义 B 问题:如何研究曲线的弯曲方向? y=∫(x) o X 图形上任意弧段位 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 于所张弦的上方
一、曲线凹凸的定义 问题:如何研究曲线的弯曲方向? x y o x y o 1 x x2 y = f (x) 图形上任意弧段位 于所张弦的上方 x y o y = f (x) 1 x 2 x 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 A B C
定义设f(x)在(a,b内连续如果对(a,b内任意 两点x1,x2,恒有f( +x2、f(x1)+f(x2) 2 那末称f(x)在(a,b内的图形是凹的 如果对(a,b内任意两点x1,x2,恒有 f( +x2、f(x1)+f(x2) 2 2 那末称f(x)在(a,b内的图形是凸的 如果f(x)在{a,b内连续且在(a,b)内的图形是 (或凸的,那末称f(x)在|a,b内的图形是叫或凸)的;
定义 ( ) ( , ) ; , 2 ( ) ( ) ) 2 , , ( ( ) ( , ) , ( , ) 1 2 1 2 1 2 那末称 在 内的图形是凹的 两 点 恒 有 设 在 内连续 如果对 内任意 f x a b x x f x f x x x f f x a b a b + + ( ) ( , ) ; , 2 ( ) ( ) ) 2 ( ( , ) , , 1 2 1 2 1 2 那末称 在 内的图形是凸的 如果对 内任意两点 恒 有 f x a b x x f x f x f a b x x + + ( ) , ( ) [ , ] ( ) ; ( ) [ , ] , ( , ) 或 凸的 那末称 在 内的图形是凹或 凸的 如 果 在 内连续 且 在 内的图形是凹 f x a b f x a b a b
、曲线凹凸的判定 y=f(r)B 0a b x b r f(x)递增y">0 f(x)递减y"<0 定理1如果f(x)在{a,b上连续在(a,b)内具有 二阶导数,若在(a,b)内 (1)f"(x)>0,则f(x)在|a,b上的图形是凹的; (2)f"(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的
二、曲线凹凸的判定 x y o y = f (x) x y o y = f (x) a b A B f (x) 递增 a b B A y 0 f (x) 递减 y 0 定理1 (2) ( ) 0, ( ) [ , ] . (1) ( ) 0, ( ) [ , ] ; , ( , ) ( ) [ , ] , ( , ) 则 在 上的图形是凸的 则 在 上的图形是凹的 二阶导数 若 在 内 如 果 在 上连续 在 内具有 f x f x a b f x f x a b a b f x a b a b
证明(2)vx1,x,∈(a,b),x,< x1十 记 0 2 0-X1 对f(x)在x1,x,x0,x2l上分别应用L定理,得 f(x)-f(x1)=f(51(x1<51<x0) f(x2)-f(x)=f(2)h(x<52<x2) 两式相减,得 2f(x0)-[f(x1)+f(x2)=f(41)-f(2 由假设∫"(x)<0→f(x)在a,b内单调减 由51<2→f(1)-f(2)>0 →2f(x0)-Lf(x1)+f(x2)>0
证明 1 2 1 2 (2)x , x (a,b), x x 0 1 2 0 1 2 0 , 2 h x x x x x x x = − = − + 记 = 对f (x)在[x1 , x0 ],[x0 , x2 ]上 分别应用L—定理，得 f (x0 ) − f (x1 ) = f ( 1 )h ( ) x1 1 x0 f (x2 ) − f (x0 ) = f ( 2 )h ( ) x0 2 x2 两式相减，得 2 f (x0 ) −[ f (x1 ) + f (x2 )] = [ f ( 1 ) − f ( 2 )]h 由假设 f (x) 0 f (x)在[a,b]内单调减 由 1 2 f ( 1 ) − f ( 2 ) 0 2 f (x0 ) −[ f (x1 ) + f (x2 )] 0