单调性及其判定 Lagrange定理4=f(x0+O4x)·A给出了 函数在某区间上的增量与函数在区间内某点处的 导数之间的关系,为利用导数反过来研究函数的 性质或曲线的形态提供了一座桥梁。本节我们就 来讨论这方面的问题,主要介绍:单调性、极值 最值、凹凸、拐点和曲率
单调性及其判定 Lagrange定理 y = f (x0 +x) x 给出了 函数在某区间上的增量与函数在区间内某点处的 导数之间的关系，为利用导数反过来研究函数的 性质或曲线的形态提供了一座桥梁。本节我们就 来讨论这方面的问题，主要介绍：单调性、极值 最值、凹凸、拐点和曲率
、单调性的判别法 函数在某区间上是否具有单调性是我们在研究 函数的性态时,首先关注的问题。第一章中已经给 出了函数在某区间上单调的定义,但利用定义来判 定函数的单调性却是很不方便的。 B y=f(r) y=∫(x) B 0 a b f(x)≥0 f(x)≤0
一、单调性的判别法 函数在某区间上是否具有单调性是我们在研究 函数的性态时，首先关注的问题。第一章中已经给 出了函数在某区间上单调的定义，但利用定义来判 定函数的单调性却是很不方便的。 x y o y = f (x) x y o y = f (x) a b A B f (x) 0 f (x) 0 a b B A
从几何图形上看,表示单调函数的曲线当自变量 在单调区间内按增加方向变动时,曲线总是上升 (下降)的。进一步若曲线在某区间内每点处的切 线斜率都为正(负),即切线的倾角全为锐(钝) 角,曲线就是上升(下降)的 这就启示我们:能否利用导数的符号来判定单调 性?回答是肯定的。 定理设函数y=f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可 导(1如果在(a,b内∫(x)>0,那末函数y=f(x) 在[a,b上单调增加;(2)如果在(a,b)内f(x)<0, 那末函数y=f(x)在|a,b上单调减少
从几何图形上看，表示单调函数的曲线当自变量 在单调区间内按增加方向变动时，曲线总是上升 （下降）的。进一步若曲线在某区间内每点处的切 线斜率都为正（负），即切线的倾角全为锐（钝） 角，曲线就是上升（下降）的 这就启示我们：能否利用导数的符号来判定单调 性 ？回答是肯定的。 定理 ( ) [ , ] . [ , ] (2) ( , ) ( ) 0 . 1 ( , ) ( ) 0 ( ) ( ) [ , ] ( , ) 那末函数 在 上单调减少 在 上单调增加； 如果在 内 ， 导（ ）如果在 内 ，那末函数 设函数 在 上连续，在 内 可 y f x a b a b a b f x a b f x y f x y f x a b a b = = =
证Vx1,x2∈(a,b),且x<x2,应用拉氏定理得 f(x2)-∫(x1)=∫'((x2-x1)(x1<5<x2) 若在(a,b)内,∫(x)>0,则∫(4)>0, ∫(x2)>f∫(x1).∴y=∫(x)在a,b上单调增加 若在(a,b内,f(x)<0,则∫(5)<0, f(x2)<∫(x1)y=f(x)在a,b上单调减少
证 , ( , ), x1 x2 a b , 且 x1 x2 应用拉氏定理,得 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 1 x2 x1 x1 x2 f x − f x = f − 0, x2 − x1 若在(a,b)内，f (x) 0, 则 f ( ) 0, ( ) ( ). 2 x1 f x f y = f (x)在[a,b]上单调增加. 若在(a,b)内，f (x) 0, 则 f ( ) 0, ( ) ( ). 2 x1 f x f y = f (x)在[a,b]上单调减少
注①若在a,b)内至多有有限个导数等0的点和至多 有限个不可导点,而在其余点处均有 ∫'(x)>0(∫(x)<0)则由连续性,结论仍成立 ②此判定法则对其它各种类型的区间仍适用 例1讨论函数y=e-x-1的单调性 解 .y=e 又∵D:( (-∞,+o) 在(-,0)内,y<0, 函数单调减少; 在(0,+0),y>0,∴函数单调增加
注 ①若在(a,b)内至多有有限个导数等0的点和至多 有限个不可导点，而在其余点处均有 f (x) 0( f (x) 0) 则由连续性，结论仍成立 ②此判定法则对其它各种类型的区间仍适用 例1 讨论函数 y = e − x − 1的单调性. x 解 = − 1. x y e 又D :(−,+). 在(−,0)内, y 0, 函数单调减少； 在(0,+)内, y 0, 函数单调增加