Taylor公式 多项式是一类很重要的函数,其明显特点是结构 简单,因此无论是数值计算还是理论分析都比较方便 从计算的角度看,只须加、减、乘三种运算,连除法 都不需要,这是其它函数所不具备的优点。 用多项式近似地表示给定函数的问题不仅具有实 用价值,而且更具有理论价值。一般的函数不好处理 先用较好处理的多项式近似替代,然后通过某种极限 手续再过渡到一般的函数。 “以直代曲”就是用一次多项式去近似给定函数
Taylor公式 多项式是一类很重要的函数，其明显特点是结构 简单，因此无论是数值计算还是理论分析都比较方便 从计算的角度看，只须加、减、乘三种运算，连除法 都不需要，这是其它函数所不具备的优点 。 用多项式近似地表示给定函数的问题不仅具有实 用价值，而且更具有理论价值。一般的函数不好处理 先用较好处理的多项式近似替代，然后通过某种极限 手续再过渡到一般的函数。 “以直代曲”就是用一次多项式去近似给定函数
问题的提出 1.设f(x)在x处连续,则有 f(x)≈∫(x) Lf(x=f(xo+a] 2设f(x)在x处可导,则有 f(x)≈∫(x0)+f(x0)(x-x0) If(x)=f(x0)+f(x0)x-x0)+0(x-x0 例如,当x很小时,e≈1+x,In(1+x)≈x (如下图)
一、问题的提出 1.设 f (x)在x0处连续,则有 ( ) ( ) 0 f x f x [ f (x) = f (x0 ) + ] 2.设 f (x)在 0 x 处可导,则有 ( ) ( ) ( )( ) 0 x0 x x0 f x f x + f − [ ( ) ( ) ( )( ) ( )] 0 x0 x x0 o x x0 f x = f x + f − + − 例如, 当 x 很小时, e x x 1 + , ln(1 + x) x （如下图）
1,5 y=In(1+x) 1+ 0.5
x y = e y = 1+ x o x y = e o y = x y = ln(1 + x)
不足:1、精确度不高;2、误差不能估计。 问题:寻找函数P(x),使得f(x)≈P(x) 误差R(x)=∫(x)-P(x)可估计 设函数f(x)在含有x0的开区间a,b)内具有直到 (n+1)阶导数,P(x)为多项式函数 Pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+…+an(x-x0) 误差R(x)=f(x)-Pn(x)
不足: 1、精确度不高； 2、误差不能估计。 问题: 寻找函数P(x),使得 f (x) P(x) 误差 R(x) = f (x) − P(x) 可估计 设函数 f ( x)在含有x0的开区间(a,b) 内具有直到 (n + 1)阶导数,P(x)为多项式函数 n n n P (x) a a (x x ) a (x x ) a (x x ) 0 2 = 0 + 1 − 0 + 2 − 0 ++ − 误差 R (x) f (x) P (x) n = − n
二、P和R的确定 分析: 1若在x0点相交 近 似Pn(xn)=f(x) 八y=f(x) 程 度‖2若有相同的切线 来‖P2(xn)=f(xn) 好 3若弯曲方向相同 Pn(x0)=f"(x0)
二、Pn和Rn的确定 0 x y = f (x) o x y 分析: ( ) ( ) 0 0 P x f x n = ( ) ( ) 0 0 P x f x n = ( ) ( ) 0 0 P x f x n = 2.若有相同的切线 3.若弯曲方向相同 近 似 程 度 越 来 越 好 1.若在 x0 点相交