一阶线性微分方程 、线性方程 阶线性微分方程的标准形式: +p(x)y=o() 当Q(x)≡0,上方程称为齐次的 当Q(x)年0,上方程称为非齐次的 例如中 = r sint+r,线性的; y′-2x=3,y-cosy=1,非线性的
一阶线性微分方程的标准形式: P(x) y Q(x) dx dy + = 当Q(x) 0, 上方程称为齐次的. 当Q(x) 0, 上方程称为非齐次的. 例如 , 2 y x dx dy = + sin , 2 x t t dt dx = + 线性的; yy − 2xy = 3, y − cos y = 1, 非线性的. 一阶线性微分方程 一、线性方程
阶线性微分方程的解法 1线性齐次方程+P(x=0. (使用分离变量法) dy =-P(x)x, ∫P(x)tx, lny=∫P(x)+mC, 齐次方程的通解为y=Ce P(x)dx
一阶线性微分方程的解法 1. 线性齐次方程 + P(x) y = 0. dx dy (使用分离变量法) P(x)dx, y dy = − ( ) , = − P x dx y dy ln y = − P(x)dx + lnC, 齐次方程的通解为 . ( ) = − P x dx y Ce
2线性非齐次方程+P(x)y=Q(x 讨论:中x) P(x)dx, 两边积分my=/9(s)-JP(x)dx 设∫c(x为yx,:my=x)-∫P(x 即y=e"(xle-P(x).非齐次方程通解形式 与齐次方程通解相比C→(x
2. 线性非齐次方程 P(x) y Q(x). dx dy + = 讨论 ( ) , ( ) P x dx y Q x y dy = − 两边积分 ( ) , ( ) ln = dx − P x dx y Q x y ( ), ( ) dx v x y Q x 设 为 ln ( ) ( ) , y = v x − P x dx . ( ) − ( ) = v x P x dx 即 y e e 非齐次方程通解形式 与齐次方程通解相比 C u(x)
常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法 实质:未知函数的变量代换 新未知函数u(x)→原未知函数y(x), 作变换y=L(x)e P(x)dx y'=u(x)e P(x)de P(x)dx +u(xl -p(xle
常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 实质: 未知函数的变量代换. 新未知函数 u(x) 原未知函数 y(x), 作变换 = − P x dx y u x e ( ) ( ) ( ) ( )[ ( )] , ( ) ( ) + − = − P x d x P x d x y u x e u x P x e
将利代入原方程得n(x)ll=(x 积分得u(x)=Q(x) P(x)de dx+c 阶线性非齐次微分方程的通解为: P(x)dx P(x)dx y=[ 2()e dx +cle P(xdx P(x)dx P(xdx Ce +e o(xle 对应齐次 非齐次方程特解 方程通解
将y和y代入原方程得 ( ) ( ), ( ) u x e Q x P x dx = − 积分得 ( ) ( ) , ( ) u x Q x e dx C P x d x + = 一阶线性非齐次微分方程的通解为: + = − P x d x P x d x y Q x e dx C e ( ) ( ) [ ( ) ] Ce e Q x e dx P x d x P x d x P x d x + = − ( ) − ( ) ( ) ( ) 对应齐次 方程通解 非齐次方程特解