L. Hospital法则 在第一章中我们已经知道,当分子分母都是无穷小 或都是无穷大时,两个函数之比的极限可能存在也可 能不存在,即使极限存在也不能用“商的极限等于极 限的商这一运算法则。这种极限称为未定式0 本节我们就利用 Cauchy中值定理来建立求未定式 极限的 LHospit法则,利用这一法则,可以直接求 和这两种基本未定式的极限,也可间接求出 0 0.,0-∞,0°,∞0,1等其它类型的未定式的极限
L.Hospital法则 在第一章中我们已经知道，当分子分母都是无穷小 或都是无穷大时，两个函数之比的极限可能存在也可 能不存在，即使极限存在也不能用“商的极限等于极 限的商”这一运算法则。这种极限称为未定式 , 0 0 本节我们就利用Cauchy中值定理来建立求未定式 极限的L.Hospital法则，利用这一法则，可以直接求 和0 0 这两种基本未定式的极限，也可间接求出 0, − ,0 , ,1 0 0 等其它类型的未定式的极限
0 型及型未定式解法:洛必达法则 0 ● 定义如果当x→a(或x→∞)时,两个函数f(x) 与F(x)都趋于零或都趋于无穷大,那末极限 im(x)称为或”型未定式 a、F(x) (x→>0) tanx 0 In sin ax∞ 例如,im 0X x→>0 In sin bx
一 、型 及 型未定式解法:洛必达法则 0 0 定义 . 0 0 ( ) ( ) lim ( ) , ( ) , ( ) ( ) 称 为 或 型未定式 与 都趋于零或都趋于无穷大 那末极限 如果当 或 时 两个函数 → → → → F x f x F x x a x f x x x a 例如, , tan lim 0 x x x→ , lnsin lnsin lim 0 bx ax x→ ) 0 0 ( ( )
定理设(1)当x→0时函数f(x)及F(x)都趋于零; (2)在a点的某领域内点a本身可以除外,f(x) 及F(x)都存在且F(x)≠0 (3)lim/(r) 存在(或为无穷大 x-a F(x) 那末lm lim f( x-a F(x) xa F(x) 定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则 当x→>时,以及x→a,x>时,该法则仍然成立
. ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ); ( ) ( ) (3) lim ( ) ( ) 0; (2) ( ), ( ) (1) 0 , ( ) ( ) ; F x f x F x f x F x f x F x F x a a f x x f x F x x a x a x a = → → → → 那 末 存 在 或为无穷大 及 都存在且 在 点的某领域内点 本身可以除外 定理 设 当 时 函 数 及 都趋于零 定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. 当x → 时,以及x → a, x → 时,该法则仍然成立
证定义辅助函数 f1(x)= ∫f(x),x≠a F(x),x≠a ,F1(x) 0. r=a 在U(a,6)内任取一点x,在以a与x为端点的区间上, f(x),F1(x)满足柯西中值定理的条件,则有 f(x)f(x)-f(a)f'(2) F(x)F(x)-F(a)f(9)(5在x与a之间) 当x→a时,5→a,:Ⅷm,+) li ∫'(4) x→a F'(x) F(, lim f(x) F(x)5-aF(2)
证 定义辅助函数 , 0, ( ), ( ) 1 = = x a f x x a f x , 0, ( ), ( ) 1 = = x a F x x a F x ( , ) , 0 在U a 内任取一点 x 在以 a 与 x 为端点的区间上, ( ), ( ) , f 1 x F1 x 满足柯西中值定理的条件 则有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F x F a f x f a F x f x − − = ( ) ( ) F f = (在x与a之间) 当x → a时, → a, , ( ) ( ) lim A F x f x x a = → , ( ) ( ) lim A F f a = → . ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim A F f F x f x x a a = = → →
注①定理的条件:分子分母都是无穷小;分子分母 都可导,且分母的导数不等于0;导数之比的 极限存在或为 ②定理的结论:函数之比的极限等于导数之比的 极限 ③∫"(刈)还是未定式,且f(x8(x)满足 x→xng(x) 定理中对f(x),g(x)所要求的条件,则可继续 使用法则,直到不再是未定式为止 lim f() f(x) im m x→+xg(x)x→xg(x)x→xg"(x)
注 ①定理的条件：分子分母都是无穷小；分子分母 都可导，且分母的导数不等于0；导数之比的 极限存在或为∞ ②定理的结论：函数之比的极限等于导数之比的 极限 ③ 使用法则，直到不再是未定式为止 定理中对 所要求的条件，则可继续 若 还是未定式，且 满足 ( ), ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) lim 0 f x g x f x g x g x f x x x → ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 0 0 g x f x g x f x x x x x = → → = = → ( ) ( ) lim 0 g x f x x x