曲率 前面讲了单调性、极值、最值、凹凸性 我们知道凹凸性反映的是曲线的弯曲方向,但 是朝同一方向弯曲的两条曲线,其弯曲的程度 也不尽相同。曲率就是表征弯曲程度的量,它 等于单位路程上方向(角度—切线的倾斜角) 的改变量
曲 率 前面讲了单调性、极值、最值、凹凸性。 我们知道凹凸性反映的是曲线的弯曲方向，但 是朝同一方向弯曲的两条曲线，其弯曲的程度 也不尽相同。曲率就是表征弯曲程度的量，它 等于单位路程上方向（角度——切线的倾斜角） 的改变量
弧微分 设函数f(x)在区间(a,b) 内具有连续导数 R 基点:A(x0,y), M(x,y)为任意一点, 0 x+△rx 规定:(1)曲线的正向与x增大的方向一致; (2)AM=,当M的方向与曲线正向 致时,s取正号,相反时,s取负号
一、弧微分 N R T A 0 x M x x + x . ( ) ( , ) 内具有连续导数 设函数f x 在区间 a b x y o : ( , ), 0 0 基点 A x y M(x, y)为任意一点, 规定： (1)曲线的正向与x增大的方向一致; (2) AM = s, 一致时, 取正号,相反时, 取负号. 当 的方向与曲线正向 s s AM
单调增函数S=s(x) R 设N(x+Ax,y+△y),如图, x +△xx MN<N<Mm+MT当Ax→0时, MN=√(△)2+(4y)2=1/△y△x→l+y2d △r MN=△s→>d, MT=x)2+(y)2=1+y2dr M=Ay-d→0,故=+y2dc,弧微分公式 s=s(x)为单调增函数,故d=1+y"2x
单调增函数 s = s(x). 设N(x + x, y + y), 如图， MN MN MT + NT 当x → 0时, 2 2 MN = (x) + (y) x x y = + 2 1 ( ) 1 , 2 → + y dx MN = s → ds, 2 2 MT = (dx) + (dy) 1 , 2 = + y dx NT = y − dy → 0, 1 . 2 故 ds = + y dx s = s(x)为单调增函数, 1 . 2 故 ds = + y dx 弧微分公式 N M T A R 0 x x x + x x y o
二、曲率及其计算公式 1曲率的定义 曲率是描述曲线局部性质(弯曲程度)的量。 △S △S, M △S1 △S,丿N 弧段弯曲程度 转角相同弧段越 越大转角越大 短弯曲程度越大
二、曲率及其计算公式 曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。 M1 M3 2 M2 S2 S1 M M S1 S2 N N 弧段弯曲程度 越大转角越大 转角相同弧段越 短弯曲程度越大 1.曲率的定义 1
设曲线C是光滑的, M是基点MM=△s M S △a M→M切线转角为△a.|M a+△o 定义 弧段MM的平均曲率为K=△a △ △a 曲线C在点M处的曲率K=lim △s>0△S 在ma2=a存在的条件下,K= △->0△Sds ds
+ S S ) . M. M C M0 y o x . s MM K = 弧段 的平均曲率为 设曲线C是光滑的， . M0 是基点 MM = s, M → M 切线转角为 . 定义 s K s = →0 曲线C在点M处的曲率 lim lim , 0 在 存在的条件下 ds d s s = → . ds d K =