玛丽一索菲·热尔曼7热尔受应用弹性理论分析并解释了为什么振动曲面上的沙粒会形成可预测的图策，也因此在法国科学院主办的竟赛中赢得大奖
8数学的奠基被发现。当两年期限临近时，热尔受的论文是竞赛收到的唯一成果。尽管解释图案发生原因时采用的基本方法是正确的，但是她的数学计算存在一些错误。评委会决定将竞赛延期到1813年10月。拉格朗日帮助热尔受修改了数学错误，他们建立一个偏微分方程用来更精确地描述振动图案。当第二个期限到来时，这篇修改后的论文仍然是唯一竞争者。这一次，基于拉格朗日的方程，热尔受给出的理论结果与相当多情况下的实验结果有很好符合，但是仍然不能完全解释振动曲面的所有现象，而且她错误使用了还没有完全掌握的二重积分技术，同时也没有说明如何由物理原理得到拉格朗日方程。评委会对她做出口头上的赞扬，但又一次将竞赛延长了两年。1815年，热尔受提交了第三份论文，她讨论了平面和任意弯曲曲面的振动间题。虽然她的工作仍然没有完全解释所有出现的图案，但是评委会被理论中的独创性和精致所折服，于是评委会颁发给热尔曼一个特别大奖（prixextraordinaire）。她没有参加于1816年1月8日举行的颁奖礼，也没有领取金质奖章，很可能是因为她不习惯成为大型公众集会的焦点。热尔曼于1821年自费出版《对弹性曲面问题本质、限制和范围的注释及其一般方程》（Remarquessurlanature，lesbornesetI'étendue de la question des surfaces elastiques et equatioin generale de cessurfaces），文中给出推广和改进后的理论。虽然这个理论还不完整，而且论文中还存在数学错误，但是它促进了科学对话，并激励其他人继续各自的工作。在这篇文章中，热尔曼给出一般振动曲面的规律。这个规律由一个四阶偏微分方程描述20N+22aayfayarfayLar4at2方程中N代表曲面厚度，S表征曲面曲率，t代表时间，和y是曲面上某点坐标，而p表示振动的振幅。奥古斯汀-路易斯·柯西（Augustin-LouisCauchy）称这篇论文将为作者带来永久的声望。同样研究振动理论的克劳德·纳维（CloudeNavier）对她论文中方法的复杂性十分称道。1822年，科学院常任秘书让-巴提斯特·约瑟夫·傅立叶（Jean-BaptisteJosephFourier）安排热尔曼参加学院及其上级机构法国研究院的会议。热尔曼成为第一个不是以成员夫人的身份出席会议的女性。这些会议使她能更多地与他人讨论当前的研究，并有更多的机会与法国主要数学家会面。随后10年里热尔曼继续发展振动曲面理论，并写出另外3篇论文。1825年
玛丽一索菲·热尔曼9她向法国研究院提交《关于弹性曲面理论中厚度函数的研究报告》（MemoiresurI'emploidel'épaisseurdanslatheoriedessurfaceselastiques），文中她解释了不同厚度平面如何不同地振动。这篇论文存在一些数学错误，但是被阅读它的数学家们所忽略。55年之后，这篇文章被重新发现并于1880年发表在法国《纯粹数学与应用数学杂志》（Journaldemathematiquespuresetappliques）。热尔曼1828年的论文《对理解弹性固体平衡和运动规律的可能原则的研究》(Examen des principes qui peuvent conduire a la connaissance des lois delI'equilibreetdumovementdessolideselastiques）发表在《化学与物理年报》（Annalesdechimieetdephysique）。其中她回应了西莫尼-德尼·泊松（SimeonDenisPoisson）。之前泊松批评她的工作并发表一个对应的理论来从分子层面解释振动现象。热尔曼为她的理论辩护并给出这样的观点：数学研究的目的是用数学术语来解释现象，而不提供理论来描述现象发生背后的原因。此后20年里数学家更愿意使用泊松的振动分子理论，但是现代弹性理论的基础还是热尔曼和拉格朗日推导的方程。1830年热尔曼发表了有关振动曲面的最后一篇论文。这篇《曲面曲率的研究报告》（Memoiresurlacourburedessurfaces）发表于德国《纯粹数学与应用数学杂志》（JournalfurdiereineundangewandteMathematik）。她在文章中总结了振动曲面的完整理论，并解释了曲面平均曲率的概念，这个概念是她在研究过程中提出来的。曲面曲率是由二维曲线的曲率推广而来，高斯已经引入名为高斯总曲率的度量，这个量等于曲面上每点最大和最小曲率的乘积。热尔曼修改了这个想法。她使用每点最大和最小曲率的平均。在弹性理论应用中平均曲率更为有用，数学家们在研究中使用平均曲率来研究不同类型的儿何连续，哲学著作热尔曼除研究数学之外，还写了一些哲学主题的短文。其中两篇短文和一篇短传记以及她与其他数学家的通信选集于1879年发表，书名为《索菲·热尔曼的哲学著作》（OeuvresphilosophiquesdeSophieGermain）。在第一篇文章《丰富的思想》（Penseesdiverses)中，热尔曼简短地描述了科学中的几个主题，评价了一些优秀数学家和科学家们的贡献以及她对多个主题的个人看法。第二篇文章《对科学和文学所处状态的一般思考》（ConsideratioinsgeneralessurIétatdessciences
10数学的莫基etdes lettres)讨论了科学、哲学、文学和美术共有的目的、方法以及在文化中的重要性。奥古斯特·孔德（AugusteComte）很赞赏这篇短文，他认为这是对思想统一这一主题的学术性发展。尽管在1829年医生诊断出热尔曼患有乳腺癌，但是疾病也没能阻止她完成后续研究工作。在生命最后两年里，她写出有关曲面曲率的最后一篇论文，并不断地与其他数学家和科学家们通信。她还写了短文《方程4（r-1)/一1）=y士p2中y，z和4（r-1)/（r一1）=Y2±pz2中Y，z的组合方法的注释》（Notesurla manieredon't se composentlesvaleurs deyetzdansI'équatioin4(rp-1)/(r-1)=y±petcellesdeY'etZdansI'équatioin4(p-1)/(r-1)=Y2±pZ）。这篇文章于1831年发表在德国《纯粹数学与应用数学杂志》（也称作《克列尔杂志》（Crelle'sJournal)）。高斯说服德国哥廷根大学授予她数学荣誉学位，但不幸的是，典礼还没来得及安排，热尔曼就于1831年6月26日去世，享年55岁。结语索菲·热尔曼在两个数学领域一一弹性理论和数论方面作出重大贡献，影响深远。在那篇获奖论文里，她发展了一系列概念。基于这些概念，数学家们已经建立起一套完整的理论。该理论正确地解释了振动曲面现象，由她引入的曲面平均曲率概念一直被儿何学家们使用。数论家们认为，在350年费马最后定理的证明史中，热尔曼定理是重要的里程碑之一。他们仍在不断地使用计算机进行比赛，寻找最大的索菲·热尔曼素数并打破原有的纪录。巴黎市设立了3处纪念碑来表达对她的尊敬。在萨瓦街13号（13ruedeSavoie）热尔曼去世的建筑里，人们在墙上安装了一块纪念铭碑，来标记这个具有历史意义的地点。为了纪念热尔曼的荣誉，她的名字被巴黎市民们用来命名一条街道一索菲·热尔曼街（RueSphieGermain），以及一所高中一索非·热尔曼学校(EcoleSphieGermain)。扩阅读艾米·达昂·达蒙迪科（Dalmedico，AmyDahan），《索菲·热尔曼》，刊载于《科学美国人》第265卷第6期（1991年），第116一122页。为
玛丽-索菲·热尔曼11有科学背景的读者讲述热尔曼的传记和数学内容约瑟夫·道本（Dauben，Joseph）、路易斯·L，布希亚雷利（LouisLBucciarelli）和南茜·德沃斯基（NancyDworsky）所著《索菲·热尔曼：弹性理论历史随笔》的评论，刊载于《美国数学月刊》第92卷（1985年），第64一70页。这篇文章对热尔曼有关振动平面的工作作了详细的描述，同时还有一些传记资料。玛丽·W.格瑞（Gray，MaryW.），《索菲·热尔曼（1776-1831）》，刊载于《数学中的女性：生平资料集》，路易斯·S.格林斯坦（LouisS.Grinstein）和保罗·J.坎贝尔（PaulJ.Campbell）主编，第47一56页。纽约：格林伍德出版社，1987年。热尔曼的生平传记和对她数学工作的评价，有十分丰富的参考文献列表。艾思·詹姆斯（James，loan），《索菲·热尔曼》，刊载于《伟大的数学家，从欧拉到冯·诺依曼》，第47一58页。华盛顿哥伦比亚特区：美国数学协会，2003年。有关热尔曼的生平和数学工作的简短介绍。埃德纳·E.克莱默（Kramer，EdnaE.），《索菲·热尔曼》，刊载于《科学传记辞典》第5卷，查尔斯·C吉利斯佩（CharlesC.Gillispie）主编，第375-376页。纽约：斯克莱布诺出版社，1972年。百科全书式的传记以及对热尔曼数学著作的详细描述。詹妮弗·克菜默（Kramer，Jennifer），《法国数论家索菲·热尔曼（1776一1831）》，刊载于《从古代到现代的著名数学家》，罗宾：V.杨（RobinV.Young）主编，第201一203页。密致根州，底特律：盖尔出版社，1998年。对热尔曼及其成果的简短但有信息含量的概述。J.J.欧康诺（OConnor，J.J.）和E.F.罗伯逊（Robertson，E.F.），《玛丽一索菲·热尔曼》，选自《MacTutor数学成就史》。圣安德鲁斯大学。在线阅读。网址：http：//www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/~history/Mathematicians/Germain.html。于2003年3月6日访间。苏格兰圣安德鲁斯大学编写的在线传记。林恩·M.奥森（Osen，LynnM.），《苏菲·热尔受》，刊载于《数学中的女性》，第83一93页。马萨诸塞州，剑桥：麻省理工学院出版社，1974年。热尔曼生平和工作的传记性概述。泰瑞·佩尔（Perl，Teri).《索菲·热尔曼.刊载于《数学同辈：女性