一个定量分析的简单例子 。 给定函数f ·输入：x+△x 计算：f(x) f(x+△x)-f(x)≈△xf'(x) (中值定理) 设f∈C1[x,x+△x],则]ξ∈(x,x+△x), f(x+△x)-f(x)=△x·f'(ξ) 10
一个定量分析的简单例子 • 给定函数� • 输入： � + Δ� • 计算：�(�) � � + Δ� − � � ≈ Δ� �′(�) （中值定理） 设� ∈ �![�, � + Δ�], 则∃� ∈ �, � + Δ� ， � � + Δ� − � � = Δ� ⋅ �′(�) 10
一个定量分析的简单例子 给定函数f 。 绝对误差 输入：x+△x 计算：f(x) f(x+△x)-f(x)≈△xf'(x) (中值定理) 设f∈C1[x,x+△x],则]ξ∈(x,x+△x), f(x+△x)-f(x)=△x·f'() 11
一个定量分析的简单例子 • 给定函数� • 输入： � + Δ� • 计算：�(�) � � + Δ� − � � ≈ Δ� �′(�) （中值定理） 设� ∈ �![�, � + Δ�], 则∃� ∈ �, � + Δ� ， � � + Δ� − � � = Δ� ⋅ �′(�) 11 绝对误差
一个定量分析的简单例子 ·给定函数f ·输入：x+△x 。 计算：f(x) f(x+△x)-f(x)≈△xf'(x) 绝对误差的放大比例≈f'(x) ·f'(x)引>1？ ·f'(x)川<1？ ·数值稳定性，既可能来自于的选取，也取决于问题本 身的性质（混沌） 12
一个定量分析的简单例子 • 给定函数� • 输入： � + Δ� • 计算：�(�) � � + Δ� − � � ≈ Δ� �′(�) 绝对误差的放大比例 ≈ �′(�) • �! � > 1? • �! � < 1? • 数值稳定性，既可能来自于f的选取，也取决于问题本 身的性质（混沌） 12
一个定量分析的简单例子 ·给定函数f ·输入：x+△x 相对误差： Ax 。计算：f(x) f(x+△x)-f(x)≈△xf'(x) 相对误差的放大比例≈条件数：=' f(x) ·如果f不可导呢？或者f'(x)难以直接控制？ 13
一个定量分析的简单例子 • 给定函数� • 输入： � + Δ� • 计算：�(�) � � + Δ� − � � ≈ Δ� �′(�) 相对误差的放大比例 ≈ 条件数:= !"#(!) "(!) • 如果�不可导呢？或者�′(�) 难以直接控制？ 13 相对误差： !"
吸 现代科学与工业界中的计算任务 一、插值与拟合 ·预测天体运动轨迹 ·工业设计 ·计算机动画 Source:Wikipedia CC BY-SA
现代科学与工业界中的计算任务 一、插值与拟合 • 预测天体运动轨迹 • 工业设计 • 计算机动画 Source: Wikipedia CC BY-SA