(ā+b)=(mb+b)=2[(m+1)b]=[2(m+1)]b=(m+元)b=(m)b+b =(mb)+b=ā+5 ii)若a,b不共线，下证x>0的情形。 记0A=ā，AB=b,0A=a,4B=b，如图示 B B A A λ>0 入<0 A(a+b)=OB +OB 要证2（ā+b)=a+万，只要证0B=OB,。 在△OAB和AOAB中， 4-四-6 A B OA aa AB 因为b∥b，所以∠OAB=∠OAB,所以△OAB∽△OAB,因此， O,B,B在同一直线上。（若一个三角形的两边和另一个三角形的两边成比例， 且夹角相等，则两三角形相似)从而OB与OB同向，且又因乙>0，所以OB, 与元0丽同向，另外.06-40丽-0丽，位0R-AO丽. 又0B=a+b,a+6-0B,于是(G+b)=a+乃
入<0的情形证法是相同的。 注1 ”由向量知识与数乘的定义知，对向量也可象实数及多项式那样去运 算，例如 y(ā-4b)+v2(2ā-4b)=(M1+2y2)a+(4y1+42y2)b。 2°由4)的证明知：若G∥b且b≠0，则a=mb。其中 a6同响 m= a ,a,b反向 例1设AM是△ABC的中线，求证AM=2(AB+AC) 证明：如图所示，有AM=AB+BM,AM=AC+CM」 所以2AM=(AB+AC)+(BM+CM 但BM+CM=BM+MB=0, 因而2AM=AB+AC, 即AM=2(AB+AC). 例2用向量法证明：连结三角形两边中点的线段平行与第三边且等于第三 边的一半。 证明：设△ABC二边AB,AC之中点分别为M,N,那么 11 MN=AN-AM=2 AC-2 AB 1 1 =2 (AC-AB)=2 BC
因此 MN∥BC, 且 四-Bac-Bd 注：由例1例2可见，用向量运算可较简洁地证明一些几何问题。 补例1设△ABC的三条中线为AD,BE,CF,△ABC的重心为G,O为任意一点， 证明 OG=1 (0A+0B+0C) 证明： OA+0B+0C=(0G+GA)+(0G+GB)+(0G+GC) =30G+(GA+GB+GC) =30G+(2GF+GC)=30G+(-GC+GC) =0G 即 0G=1(OA+0B+0C). 补例2设AB=a+5b,BC=(8)a+26,CD-6(a-2b),证明A,B,D 共线。 i证明：BD=BC+CD=(-8)a+26+6(a2b)=-2ā-106=-2(a45b) =2AB, 因此 BD与AB共线， 故A,B,D共线。 作业题：习题1.3：1一13
§1.4向量的线性关系与向量的分解 教学目的 1.掌握向量的线性组合、向量组的线性相关性的概念， 2.掌握向量的分解定理， 3.会解答有关几何问题。 教学重点 向量的分解定理。 教学难点 向量组的线性相关性的概念。 教学内容 一、向量的分解 1.向量的线性运算：加法和数乘。 注有限个向量经线性运算，结果仍为一个向量。 2.a是41，，a,的线性组合：a=a1++2,am,此时也称a+… +2,am是a的线性表示，也说可用a++人nan线性表示，或者说d可 分解成a1,,a。的线性组合。 约定：称ā是ā的线性组合。 3.向量的分解定理 定理1.4.1若向量e≠0，则F与e共线台F可由e线性表示，即存在实 数x,使得产=xe数x被产与E唯一确定。 证明：充分性.设产=x已，由数乘的定义知产与e共线。 必要性.设F与已共线，由定理1.3.2的注2°知存在x,使得F=xe, 最后证x的唯一性。若F=xE=x'e,则(x-x')e=0,而e≠0，所以x=x'。 注：定理1.4.1中的已称为用线性组合来表示共线向量的基底。下=xe称为 产关于直线上向量基底e的分解。 定理1.4.2若向量e,e?不共线，则产与8，e2共面台元可用9，e2线
性表示，或说F可分解成号，e2线性组合，即xy∈R，,使得F=x+ye, 且系数x,y被F与e,e2唯一确定。 B 0 E2 证明：因为8，e2不共线，所以e≠0，e2≠0， 必要性设产与8，e2共面。 (ii)若F与e(或e2)共线，则由定理1.4.1知F=xe+ye2,其中y=0 (或x=0)。 (ii)若F与9，？都不共线，把它们归结到共同的始点0，并设OE,=e, (I=1,2),OP=F,过P分别作OE2,OE的平行线，依次与直线OE2,OE, 交于A,B,由定理14.1，可设OA=x8,OB=ye2,由向量加法及平行 四边行法则知OP=OA+OB,即F=名+yP,。 充分性设F=名+y。 (i)若x,y有一个是零，例如x=0,则r=y?与e2共线，因此F与，e2 共面。 (ii)若xy≠0，因产=xe+ye2,由向量加法及平行四边行法则知，F是 以xe与ye?为邻边的平行四边形的对角线向量。当然F与xe和ye2共面， 因而x%∥e,ye,∥e,故F与9和e共面。 下证x,y的唯一性