第五章二次曲线的一般理论 教学目的 1、了解复平面的特征： 2、掌握二次曲线的渐近方向、中心、渐近线、切线、直径、主方向和主直径概 念及求法： 3、弄清移轴变换和转轴变换对二次曲线方程系数的影响规律，以及这两种坐标 变换在化简二次曲线方程中所起的作用： 4、能判别二元二次方程所表示的曲线的类型，熟练地化简二次曲线方程，并与 出相应变换关系式，作出其图形。 教学重点 1、二次曲线山渐近方向、中心、标准方程得出的个同分类方法： 2、二次曲线方程的化简、分类与作图。 教学难点 移轴变换和转轴变换对二次曲线方程系数的影响规律及其在化简二次曲线方程 中所起的作用。 §5.1二次曲线与直线的相关位置 教学目的 1、了解复半面的特征： 2、熟记二次曲线方程中的有关记号： 3、掌握二次曲线与直线的相关位置及判别方法。 教学重点 二次曲线方程中的有关记号及二次曲线与直线的相关位置 教学难点 二次曲线与直线位置的判别方法 教学内容 在平面上，山二元二次方程 F(x,y）=a11x2+2a2xy+a22y2+2a13x+2a2ay+a3=0 所表示的曲线叫做二次曲线 在本章，我们将讨论二次曲线的几何性质，以及二次曲线方程的化简，对二次曲 线进行分类.我们将从研究直线与一般二次曲线的相交问题入手，展开一般二次曲线 的几何理论的研究，讨论一般二次曲线的渐近方向、中心、渐近线、切线、直径和主
直径等重要概念与它们的性质，讨论一般二次曲线方程的化简与判别，给出二次曲线 按不同角度的分类 平面上，山二元二次方程 F(x,y）=a11x2+2a12y+a22y2+2a13x+2a23y+a3=0 所表示的曲线叫做二次曲线， 在本章，我们将讨论二次曲线的几何性质，以及二次曲线方程的化简，对二次曲 线进行分类.我们将从研究直线与一般二次曲线的相交问题入手，展开一般二次曲线 的几何理论的研究，讨论一般二次曲线的渐近方向、中心、渐近线、切线、直径和主 直径等重要概念与它们的性质，讨论一般二次曲线方程的化简与判别，给出二次曲线 按不同角度的分类， 一、位置关系 平面上二次曲线与直线的位置关系有三种：相交（实交点或虚交点），相切，相 重（直线在二次曲线上）. 二、判别方法 设二次曲线为 F(x,y）=a11x2+2a12xy+a2y2+2a13x+2a23y+a33=0 ① 过点(x0,y0)月具有方向X:Y的直线为 x=xo +Xt y=yo+Yt ② 将②代入①得 (X,Y)t2+2[F1(x0,y0)X+F2(x0,y0)Y]t+F(x0,y0)=0 则①与②的相关位置如下： 1.(X,Y)0,设 =[F1(x0,y0)X+F2(x0,y0)Y]2(X,Y)F(x0,y0). (1) >0时，直线②与二次曲线①有两个不同的实交点： (2) =0时，直线②与二次曲线①有两个相五重合的实交点： (3)<0时，直线②与二次曲线①交于两个共轭的虚点. 2.(X,Y)=0, (1)F1(x0,y0)X+F2(x0,y0)Y0时，直线②与二次曲线①有唯一的实交点： (2)F1(x0,y0)X+F2(x0,y0)Y=0,而F(x0,y0)0时，直线②与二次曲线① 没有交点： (3)F1(x0,y0)X+F2(x0,y0)Y=F(x0,y0)=0时，直线②全部在二次曲线①上
§5.2二次曲线的渐近方向、中心、渐近线 教学目的 1、理解二次曲线的渐近方向、中心、渐近线概念： 2、掌握二次曲线的渐近方向、中心、渐近线的求法： 3、能根据渐近方向和中心对二次曲线进行分类。 教学重点 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线概念及求法 教学难点 根据渐近方向和中心对二次曲线进行分类 教学内容 一、渐近方向 1.定义1：满足条件(X,Y)=0的方向X:Y叫做二次曲线F(x,y)=0的渐近方 向，否则叫做非渐近方向，二次曲线的渐近方向最多有两个，而非渐近方向有无数多， (X,Y)=a11X2+2a12XY+a22Y2=0中，因为a11,a12,a22个全为零，所 以渐近方向X:Y总有确定的解： (1)》 如果a11≠0，那么a11(登)2+2a12(音)+22=0，则得 X:y=(-a12±a-44知)：a11=(-a12±VF石)：a1: (2) 如果a22≠0，那么a22(交)2+2a12()+a11=0,则得 Y:x=(-a12±V42-4aa):a22=(-a12±VF4):a22: (3) 1果a11=a22=0,那么一定有al2≠0，这时2a12XY=0, 所以 X:Y=1:0或0：1， 0 而此时 I2=112 0 a122<0 2.定义2：没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型的，有一个实渐近方向的二 次曲线叫做抛物型的，有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型的 3.二次曲线F(x,y)=0按其渐近方向可以分为三种类型，即 (1)椭圆型曲线：I2>0: (2)抛物型曲线：I2=0: (3)双曲型曲线：I2<0
二、中心 1.定义3：当(X,Y)0,即X:Y为非渐近方向时，二次曲线F(x,y)=0与直线 x=x+沿 1:y=名+疗总交于两个点（两个不同实点或两个重合实点或一对共轭虚点），把由这 两点所决定的线段叫做二次曲线的弦 2.定义4：1果点C是二次曲线的通过它的所有弦的中点（因而C是二次曲线的对 称中心)，那么点C叫做二次曲线的中心。 3.定理1：点C(x0,y0)是二次曲线F(x,y)=0的中心的充要条件是 (区，)=本+az+=0, 可（不，y)=ax+aa片+a3=0 证明：设点C(x0,y0)是二次曲线I的中心，那么过点C(x0,y0)月以二次曲线T x=无+0 的任意非渐进方向X:Y为方向的直线1：y=片+分与二次曲线Γ交于两点M1,M2, x=无+0 点C(x0,y0)就是弦M1M2的中点，将y=名+2代入二次曲线T的方程可得 (X,Y)t2+2[F1(x0,y0)X+Ff2(x0,y0)Y]t+F(x0,y0)=0, 此方程有两个根t1,t2,则M1,M2的坐标为(x0+Xt1,y0+Yt1)和(x0+Xt2,y0+Yt2). 所以中点C的坐标为 1 1 x0=2(x0+Xt1+x0+Xt2)=x0+2X(t1+t2), 1 1 y0=2(y0+Yt1+y0+Yt2)=y0+2Y(t1+t2), 从而有 t1+t2=0, 即 XF1(x0,y0)+YF2(x0,y0)=0 山X:Y的任意性得F1(x0,y0)=0,F2(x0,y0)=0. 反过来，适合上面两式的点C(x0,y0),显然是二次曲线Γ的中心. 推论1：坐标原点是二次曲线的中心的充要条件是曲线方程中不含x与y的一次项. 推论2：二次曲线T:F(x,y)=0的中心坐标山下列方程组决定 x)4x+4y+4=0, (x.y)=a:x+any+an=0. 4.定义5：有唯一中心的二次曲线叫做中心二次曲线，没有中心的二次曲线叫做 无心二次曲线，有一条中心直线的二次曲线叫做线心二次曲线，无心二次曲线与线心 二次曲线统称为非中心二次曲线
5.二次曲线Γ：F(x,y)=0按其中心的分类下： 44 (1)中心曲线： 12=anan 0: 414: L (2)非中心曲线： I2=4:a=0,即=， 1红 1 无心曲线： -d42 ap, 11红1 2线心曲线： 42=a触=ds， 三、渐近线 1.定义5：通过二次曲线的中心，而月以渐近方向为方向的直线叫做这二次曲 线的渐近线。 2.定理2：二次曲线的渐近线与这二次曲线或者没有交点，或者整条直线在这 二次曲线上，成为二次曲线的组成部分. x=石+沿 证明：设直线1：y片+2是二次曲线「的渐近线，这甲(x0,y0)是二次曲线 Γ的中心，X:Y是二次曲线的渐近方向，那么我们有 F1(x0,y0)=F2(x0,y0)=0,(X,Y)=0. 因此根据直线与二次曲线的位置关系，可知： 当点(x0,yO)不在二次曲线T上，即F(x,y)≠0时，渐近线与这二次曲线没有 交点： 当点(x0,y0)在二次曲线Γ上，即F(x,y)=0时，渐近线全部在二次曲线上，成 为二次曲线的组成部分 例1.试证明1果二次曲线 a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23v+a33=0 有渐近线，那么它的两渐近线方程是 (xx0,yy0)a11(xx0)2+2a12(xx0)(yy0)+a22(yy0)2=0, 式中(x0,y0)为二次曲线的中心. 证明：设(x,y)为渐近线上任意一点，则曲线的渐近方向为 X:Y=(xx0):(yy0), 所以 (xx0,y0)=0, 即 a11(xx0)2+2a12(xx0)(yy0)+a22(yy0)2=0