B 0 3.运算规律 (1) a+0=d (2)ā+(-ā)=0 (3) ab-ba (4)(a+b)+c=a+(b+c) 结合律的证明： a+b+c b+c a+b b 二、减法 1.定义1.2.2若b+c=d,则称c为d,b的差，记为c=d-b。由a, b求-b的运算叫做向量的减法。 2.向量减法的作图法 自空间任意点引向量OA=a, OB=b A 则b+BA=a, 由减法定义得BA=a-b。 0 三、三角不等式 B |ā+b≤a+b, 且等号成立等价于ā，b中至少有一个为零向量或ā，b同向
四、例题 例1：设a,b，c不共线，则它们顺次终点与始点相连成一个三角形的 充分必要条件是a+b+c-0 证明：必要性 设a,万，c可构成三角形ABC(图)，且 AB=a,BC=b,CA=c,那么AB+BC+CA=AA=0,即a+b+c=0。 B 充分性设a+b+c=-0(如图)， 作AB=a,BC-b, 那么AC=a+b,于是AC+c-0, 因此c=-AC=CA,故a,b,c可构成三角形ABC。 例2用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 证明：设四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点0且互相平分， 由图可见， AB=40+OB-OCDO-DO+OC-DC. 因此AB∥OC,且AB日DC, 故四边形ABCD是平行四边形。 例3：在平行六面体ABCD-ABCD中，设 AB=a,AD=b,AA=c, 试用a,b,c 表示向量AG,AC. 作业题：习题1.1：1,2,3,4,5
§1.3数乘向量 教学目的 掌握数量乘向量的定义、运算规律和在论证简单几何命题中的应用。 教学重点：掌握数量乘向量的定义、运算规律和在论证简单几何命题中的 应用。 教学难点：用向量的运算论证简单几何命题。 教学内容 1.定义实数九与a的乘积是一个向量，记为乙a, |a曰‖a|,当X>0时，元a与a同向 当入<0时，元a与a反向。 ia A ，a (2<0) 我们把这种运算叫做数量与向量的乘法，简称为数乘。 注：由数乘的定义可知 (i)九=0或a=0时，元a=0。 (ii)(-1)a=-a(既(-1)a为a的反向量) 证明：因为(-1)a=-1‖a=a|,且(-l)a与a反向（数乘定义），所以 由反向量的定义知(-1)a为a的反向量，即(-1)a=-d (iii)aaa°或a°= 2.运算规律 定理1.3.1数乘满足 1)1a=4 2)结合律： A(ua)=(Au)a
3)第一分配律：(1+0)石=a+ud 4)第二分配律：（石+b)=ā+b 以上a,b为任意向量，几，“为任意实数。 证明：1)因为1a与a同向且1a=1a=a,(数乘定义)，所以1a=a, (两向量相等的定义)。 2)1°当a-0或0时，(ua)=0=(a成立。 2°当a≠0且u≠0时， 若>0，则(0)a与a同向，因乙，“同号，所以(@)与a同向，故(u)a 与(@)同向。 若u<0,则(u)a与a反向，因乙，“异号，所以2()与a反向，故()a 与2(a)同向。 总之，(awa与(u@同向。又因lw四d=h4同=24a=a 所以(n)a=(@)。 3)当a=0或九，4，几+“中至少有一个为零，等式显然成立。事实上， 1°当a=0时，（⑦+0）ā=0,2a+d-0,故(1+)a=ā+d。 20当2=0时，（⑦+）a=d=0+d=a+ud。 3°当=0时类似。 4°当元+=0时， a+1a=a+(-元)a=a+[-(a)]=00=a=(元+0)a。 以下只须证a≠0，≠0，几+“≠0时的情形。 i)若>0，则九，4，几+“同号，因此(+)ā与a+i要么都与a反 向，要么都与a同向，故(+0ā与后+ā同向，又因
(h+u)a=h+ua=(+u)a_a a+ua ha+ua ha+ua 所以 (+)a=a+ua。 ii)若<0，不妨设元>0，“<0，再分元+4>0和2+“<0两种情形， 下只证前一种情形，后一种情形证明类似。 设元>0，“<0，元+>0，（⑦+）ā+(-)a=[(2+0)+(-0)]a=a, 因此(2+)a=a-(-u)a =a+(-(-)ā) =a+(-1)(-0)a=2a+(-1)(-)ā=a+ā， 所以(+)a=a-(-)a=a+ua。 4)若元=0或ā，b之中有一个为0，等式显然成立。 因此只须对云≠0，b≠0且入≠0的情形进行证明。 i)若d,b共线，先证此时=mb,其中 同 ,a,b同向 m= a ,a,b反向 当a,6同向时，因rd>0,所以m6与i同向，故m5与ā同向。 当a,6反向时，因r1d<0,所以m6与5反向，故m6与a同向. 总之，mb与ā同向。 又因 网-啊-A-问 所以a=mb。于是