ay Asin a t a'y=-Aa cos a/t 注意质点振动的速度和波动传播的速度的区别:v是质点振动的速度,它是时间的函数;u是波速, 相对于特定介质而言,它是一个与时间无关的常量 3.沿Ⅹ轴负方向传播的平面简谐波的表达式 P点的相位比O点的相位超前,因而波函数为 y=cosa//+= 2x/t_x=Acos 2rv+r 结论:写出平面简谐波的表达式的关键是写出波线上任一点的振动的相位比已知点的振动是超前还是 落后。这个结论对于横波和纵波都是成立的 二、波动表达式的物理意义 1.x一定,则位移仅是时间的函数,对于x=x1,则 y= Acos at 2a1 该方程表示的是x1处的质点的振动方程。即x1处的质 点的振动情况——该质点在平衡位置附近以ω作简谐振 它表达了距离坐标原点为x1处的质点的振动规律(独舞)。对于不同的x,相应的振动初相位不同。 2.t一定,则位移仅是坐标的函数,对于t=t,则 2 y=Acos at 该方程表示的是h时刻各质点相对于自己平衡位置的O 位移。即时刻波线上所有质点的振动情况—各个质点 相对于各自平衡位置的位移所构成的波形曲线。 即在某一瞬时y仅为x的函数,它给出了该瞬时波射 线上各质元相对于平衡位置的位移分布情况,即表示某一瞬时的波形(集体定格) 由此还可以得到波程差与相位差的关系 △p=92-g1=-2zxx 3.x和t都变化 波动表达式表示波线上所有质点在不 同时刻的位移。如图所示,实线表示的是 y时刻的波形t+A时刻波形 t时刻的波形,虚线表示t+△t时刻的波形 从图中可以看出,振动状态(即相位)沿 波线传播的距离为Ax=1△t,整个波形也 传播了Δx的距离,因而波速就是波形向前 传播的速度。 Ax=uAt 总结:波动方程反映了波的时间和空
第十五章机械波 间双重周期性 时间周期性:周期T代表了波的时间周期性。从质点运动来看,反映在每个质点的振动周期均为T; 从整个波形看,反映在t时刻的波形曲线与t+T时刻的波形曲线完全重合 空间周期性:波长代表了波在空间的周期性。从质点运动来看,反映在相隔波长的两个质点其振动规 律完全相同(两质点为同相点,同起同落);:从波形来看,波形在空间以波长为“周期”分布着。所以波长也 叫做波的空间周期 *三、波动的微分方程 将沿X轴正方向传播的平面简谐波的表达式分别对x和t求导,有 ay Ao -sin af t asin ol t- 比较可得 但是沿ⅹ轴负方向传播的平面简谐波不满足此方程。将上式再分别对x和t求导,则有 Asin ou a'y== sina(- 比较可得 y 沿ⅹ轴负方向传播的平面简谐波也满足此方程。 说明: )任何物理量,不论是力学量、电学量或其它形式的量,只要它与时间和坐标的关系满足该方程 则此物理量就按波的形式传播 前系数的倒数的平方根就是这种波的传播速度 3)推广到三维空间,则 其中 例2.平面简谐波的传播速度为u,沿X轴正方向传播。已知距原点为x0的P0点处的质点的振动规律 为y。= Acos ot,求波动表达式。 解:在X轴上任取一点P,其坐标为x,振动由P点传到P点所需的时间为t=(xo)l,因而P处质
第十五章机 点振动的相位比P处质点振动的时间要落后τ,所以波动的表达式为 例3.一平面简谐波的波动表达式为 =0.0lcos10 ( SD 求:(1)该波的波速、波长、周期和振幅 (2)x=10m处质点的振动方程及该质点在t2s时的振动速度; (3)x=20m,60m两处质点振动的相位差。 解:(1)将波动表达式写成标准形式 y=0.01 cos 2r| 5t 与y=Acos2z 7(S比较 得振幅A=001m 波长A=20m 周期T=1/5=0.2s 波速u=X/=20/0.2=100m (2)将x=10m代入波动表示式,则有 y=001cs10m-r) (SD) 该式对时间求导,得 V=-0 1r sin (10n-T (SI 将=2s代入得振动速度v=0 (3)x=20m,60m两处质点振动的相位差为 2 9-291 即这两点的振动状态相同 例4.某平面简谐波在t0和t=1s时的波形如图所示,试求:(1)波的周期和角频率;(2)写出该平 面简谐波的表达式 解:(1)由图中可以看出振幅和波长分别为 A=0.1m,A=2m 在t=0到t=1s时间内,波形向X轴正方向移动了λ14,故波的周期和波速为 T=4 2 0.5 Y(m) 由此可得波的角频率为 0 rad. s T (2)设原点O处质点的振动方程为 Acos(at+o) 在t=0时,O处质点的位移和速度为 8
第十五章机械波 yo= Acos=0 A@sin<O 解得 z 所以平面简谐波的表达式为 y=Acos o(t-5)+=0.1coszt-rm+ (SD 四、思考题 1.由已知原点处的简谐振动求平面简谐波函数时,原点处必须是波源吗? 2.若波沿Ox轴的负方向传播,做简谐振动的波源位于x处,相应的波函数应写成什么形式?
第十五章机械波 §15-3波的能量( Wave Energy) 、波动的能量 机械波在介质中传播时,波动传播到的各质点都在各自的平衡位置附近振动。当机械波传播到介质中 的某处时,该处原来不动的质点开始振动,因而有动能;同时该处的介质也将发生形变,因而也具有势能, 波的传播过程也就是能量的传播过程。这是波动的重要特征。本节以棒中传播的纵波为例来讨论波的能量 波的能量 如图所示,一细棒沿Ⅹ轴放置,其质量密度为ρ 截面积为S,弹性模量为Y。当平面纵波以波速u沿X X 轴正方向传播时,棒上每一小段将不断受到压缩和拉 伸。设棒中波的表达式为 Acohol t 在棒中任取一个体积元ab,棒中无波动时两端面 a和b的坐标分别为x和x+dx,则体积元ab的自然长度为dx,质量为dm=pd=pSdx。当有波传到该体 积元时,其振动速度为 --Aosin al t 因而这段体积元的振动动能为 de,=i(dm)v2=l(edv )Ao sin t-x 设在时刻t,该体积元正在被拉伸,两端面a和b的坐标分别为y和y+dy,则体积元ab的实际伸长量 为dy。由于形变而产生的弹性回复力为 F=yS dy d x 和虎克定律比较可得 因而该体积元的弹性势能为 2=k(b)2= I YS du Y ay A@ sin a t 固体中的波速为 Vp 因而