信号与系统 第四章
信号与系统 第四章
第4章连续信号与系统的复频域分析 41拉普拉斯变换 42典型信号的拉普拉斯变换 43拉普拉斯变换的性质 44拉普拉斯反变换 4.5拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系 46连续系统的复频域分析 47系统函数 48由系统函数的零、极点分析系统特性 49连续系统的稳定性 410系统的信号流图 习题4
第4章 连续信号与系统的复频域分析 4.1 拉普拉斯变换 4.2 典型信号的拉普拉斯变换 4.3 拉普拉斯变换的性质 4.4 拉普拉斯反变换 4.5 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系 4.6 连续系统的复频域分析 4.7 系统函数 4.8 由系统函数的零、极点分析系统特性 4.9 连续系统的稳定性 4.10 系统的信号流图 习题4
第4章连续信号与系统的复频域分析 傅里叶变换分析法在信号分析和处理等方面(如分析谐波 成分、系统的频率响应、波形失真、抽样、滤波等)是十 分有效的。但在应用这一方法时,信号必须满足狄里赫 勒条件。而实际中会遇到许多信号,例如阶跃信号ε(1)、斜 坡信号lε(D)、单边正弦信号sine()等,它们并不满足绝对可 积条件,从而不能直接从定义而导出它们的傅里叶变换。 虽然通过求极限的方法可以求得它们的傅里叶变换,但其 变换式中常常含有冲激函数,使分析计算较为麻烦。此外 还有一些信号,如单边指数信号ea()(>0),则根本不存 在傅里叶变换,因此,傅里叶变换的运用便受到一定的限 制,其次,求取傅里叶反变换有时也是比较困难的,此处 尤其要指岀的是傅里叶变换分析法只能确定零状态响应, 这对具有初始状态的系统确定其响应也是十分不便的。因 此,有必要寻求更有效而简便的方法,人们将傅里叶变换 推广为拉普拉斯变换(LT. Laplace transform)
第4章 连续信号与系统的复频域分析 傅里叶变换分析法在信号分析和处理等方面（如分析谐波 成分、系统的频率响应、波形失真、抽样、滤波等）是十 分有效的。但在应用这一方法时，信号f(t)必须满足狄里赫 勒条件。而实际中会遇到许多信号，例如阶跃信号(t)、斜 坡信号t(t)、单边正弦信号sint(t)等，它们并不满足绝对可 积条件，从而不能直接从定义而导出它们的傅里叶变换。 虽然通过求极限的方法可以求得它们的傅里叶变换，但其 变换式中常常含有冲激函数，使分析计算较为麻烦。此外， 还有一些信号，如单边指数信号e t(t) (>0)，则根本不存 在傅里叶变换，因此，傅里叶变换的运用便受到一定的限 制，其次，求取傅里叶反变换有时也是比较困难的，此处 尤其要指出的是傅里叶变换分析法只能确定零状态响应， 这对具有初始状态的系统确定其响应也是十分不便的。因 此，有必要寻求更有效而简便的方法，人们将傅里叶变换 推广为拉普拉斯变换（LT: Laplace Transform）
本章首先从傅里叶变换导出拉普拉斯变换,对拉普拉斯变 换给出一定的物理解释;然后讨论拉普拉斯正、反变换以 及拉普拉斯变换的一些基本性质,并以此为基础,着重讨 论线性系统的复频域分析法;应用系统函数及其零极点来 分析系统的时域特性、频域特性等。 4.1拉普拉斯变换 41.1从傅里叶变换到拉普拉斯变换 信号八1)之所以不能满足绝对可积的条件,是由于当t∞或 t>-∞o时,f(t)不趋于零。如果用一个实指数函数e去乘 f(),只要σ的数值选择得适当,就可以克服这个困难。例 如,对于信号 bt ent≥0 a t t<0
本章首先从傅里叶变换导出拉普拉斯变换，对拉普拉斯变 换给出一定的物理解释；然后讨论拉普拉斯正、反变换以 及拉普拉斯变换的一些基本性质，并以此为基础，着重讨 论线性系统的复频域分析法；应用系统函数及其零极点来 分析系统的时域特性、频域特性等。 4.1 拉普拉斯变换 4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换 信号f(t)之所以不能满足绝对可积的条件，是由于当t→或 t→ - 时，f ( t )不趋于零。如果用一个实指数函数e - t去乘 f(t)，只要的数值选择得适当，就可以克服这个困难。例 如，对于信号 = e 0 e 0 ( ) t t f t a t b t
式中a、b都是正实数,且a>b。只要选择a>σ>b,就能 保证当t→>∞和1-∞时,f(t)e均趋于零。通常把eam 称为收敛因子。f(1)乘以收敛因子e后的信号f(t)e的傅 里叶变换为 FIf(te o]= f(te a e jo dt f(t)e (+jo) 它是σ+JO的函数,可写成 F(o+ jo)=f(e jo)r 记为 F(s)= f(te dt
式中a、b都是正实数，且a > b 。只要选择a > > b，就能 保证当 t→ 和 t→ － 时，f ( t )e-t均趋于零。通常把e -t 称为收敛因子。f ( t )乘以收敛因子e -t后的信号f ( t )e-t的傅 里叶变换为 它是 的函数，可写成 − − − − f t e = f t e e dt t t jt F[ ( ) ] ( ) − − + = f t e dt ( j )t ( ) + j F( j ) f t e dt j t + = − + − ( ) ( ) − − F s = f t e dt st 记为 ( ) ( )