线性代数第一节实二次型及其标准型例1 f(x,x2,x)=2x2-3x2+ 4x2 -2 x2 +3x2x303XOOXAX(xx,x)2福tF202A：f(x,X2，x）的矩阵则有f(x,2,x3)=XTBX3但BT+B,故B不是f(xi,x2，x)的矩阵首高教育出服社1新时代大学数学票利教材
第一节 实二次型及其标准型 新时代大学数学系列教材 线性代数 例1 f (x1 , x2 , x3 ) = 2x1 2 – 3x2 2 + 4x3 2 - 2 x1x2 + 3x2 x3 A: f (x1 , x2 , x3 ) 的矩阵 则有 f (x1 , x2 , x3 ) = XTBX 但 BT≠ B, 故 B 不是f (x1 , x2 , x3 ) 的矩阵
线性代数第一节实二次型及其标准型二次型(xx.x）agxxo(AT= A)也记为F(X)=XTAX二次型f(X)的秩：A的秩0312401AOO在例1中，(x,x2，x3)的矩阵品312R(A) =3,故f(x,X2,)的秩为3.首高事教育出服社11新时代大学数学票利教材
第一节 实二次型及其标准型 新时代大学数学系列教材 线性代数 二次型 也记为 f (X) = X TAX. (AT = A) 二次型 f (X)的秩：A 的秩. 在例1 中， f (x1 , x2 , x3 ) 的矩阵 R(A) = 3 , 故 f (x1 , x2 , x3 ) 的秩为 3
线性代数第一节实二次型及其标准型二、合同变换1.矩阵合同定义又对n阶矩阵A,B，若存在可逆矩阵C,使CTAC=B则称A与B合同矩阵合同具有以下性质：（1）反身性：矩阵A与自身合同：(2）对称性：若A与B合同，则B与A合同：(3）传递性：若A与B合同，且B与C合同，则A与C合同首高事教育出服社1新时代大学数学东利教材
第一节 实二次型及其标准型 新时代大学数学系列教材 线性代数 二、合同变换 1. 矩阵合同 定义 对n阶矩阵A, B, 若存在可逆矩阵C, 使 则称 A与 B合同. 矩阵合同具有以下性质： (1) 反身性：矩阵A与自身合同； (2) 对称性：若A与B合同，则B与A合同； (3) 传递性：若A与B合同，且B与C合同, 则A与C合同. C TAC = B
线性代数第一节实二次型及其标准型A与B等价：PAQ=B，P,Q可逆，A与B相似：P-IAP=B，P可逆；请恩考：矩阵合同与等价，相似有何关系？2.合同变换nnf(xx...x)ayxxjxCuJc1y2Cinnx,c2iJic22J22nyn(1)口口口口口口口x,cmycn2y2cunyn(1)式称为从y，……,J,到xj,…x,的线性变换首高事教育出服社11新时代大学数学票利教材
第一节 实二次型及其标准型 新时代大学数学系列教材 线性代数 A与B等价：PAQ = B, P, Q 可逆； A与B相似：P -1AP = B , P 可逆； 请思考：矩阵合同与等价、相似有何关系？ 2. 合同变换 (1)式称为从 y1 , ., yn到 x1 , ., xn 的线性变换