西安建筑科技大学：《线性代数》课程PPT课件_第三章 矩阵的秩和线性方程组的相容性定理

初等变换 初等矩阵 初等逆变换 初等逆矩阵 例1:计算 (1)0k0‖a21 2n ka. k ke 3n n 西安建大

西安建大 初等变换 初等矩阵 初等逆变换 初等逆矩阵 例1：计算 11 12 1 21 22 2 31 32 3 1 0 0 (1) 0 0 0 0 1 n n n a a a k a a a a a a                11 12 1 21 22 2 31 32 3 n n n a a a ka ka ka a a a     =      

10k 12 a1+ka31a12+a2 (2)010a21a2=an 001 31 32 b,b,b,21 12 13 00)(b,b,b 12 (3)b2b2b23‖00 b21b23b2 b21b2,b23八010)b,b,b 31 33 西安建大

西安建大 11 12 21 22 31 32 1 0 (2) 0 1 0 0 0 1 k a a a a a a                11 31 12 32 21 22 31 32 a ka a a a a a a   + +   =       11 12 13 21 22 23 31 32 33 1 0 0 (3) 0 0 1 0 1 0 b b b b b b b b b                11 13 12 21 23 22 31 33 32 b b b b b b b b b     =      

定理: 设A是m×n矩阵,对A施行一次初等行变换, 相当于在的左边乘一个相应的m阶初等矩阵; 对A施行一次初等列变换,相当于在A右边 乘一个相应的n阶初等矩阵。 证明:具体验证即可 设4按行分块,对4施行倍加变换,将A的第j k倍加到第i行上,即 西安建大

西安建大 定理： A m n A A m A A n 设 是  矩阵，对 施行一次初等行变换， 相当于在 的左边乘一个相应的 阶初等矩阵； 对 施行一次初等列变换，相当于在 的右边 乘一个相应的 阶初等矩阵。 证明：具体验证即可 A A A j k i 设 按行分块，对 施行倍加变换，将 的第 行 倍加到第 行上，即

+ke k +k E(ij(K))A 另两种情形同理可证 西安建大

西安建大 另两种情形同理可证 E ij k A ( ( )) = 1 1 1 1 1 ijm k                              1 i j jmk         + =   1 i j i r kr jm A     +           = ⎯⎯⎯→             1 i j jmk         +  

般记法: E()4表示A的第行与第行对换 AE(i,)表示A的第列与第列对换 E(k)表示A的第行乘k, AE(i(k)表示A的第冽列乘k E(()4表示A的第行乘加到第行上 4E((k)表示A的第列乘加到第列上 西安建大

西安建大 ( ( )) ( ( )) A . A , AE i k i k E i k A i k 表 示 的 第 列 乘 表 示 的 第 行 乘 ( ( )) ( ( )) A . A , 表 示 的 第 列 乘 加到第 列 上 表 示 的 第 行 乘 加到第 行 上 AE i j k i k j E i j k A j k i ( ) ( , ) A . , A , 表 示 的 第 列与第 列对换 表 示 的 第 行与第 行对换 AE i j i j E i j A i j 一般记法：