问题 ◆如何判定方程组(33)是否有多余方程? ◆如何求(33)的保留方程组? 西安建大
西安建大 ◆如何判定方程组(3.3)是否有多余方程？ ◆如何求(3.3)的保留方程组？ 问题：
矩阵的秩 定义3.1矩阵A中最大非奇异子方阵的阶数称为矩 阵A的秩,记为R(A) 例3.1方程组(3.1)的系数矩阵A的秩R(A)=2, 这是由于: 4=0.而 7≠0 西安建大
西安建大 定义3.1 矩阵A中最大非奇异子方阵的阶数称为矩 阵A的秩，记为R(A) 二、矩阵的秩 例3.1方程组(3.1)的系数矩阵A的秩R(A)=2, 这是由于： 1 2 0, 7 0 2 3 A = 而 ＝－ －
例3.2求下列矩阵的秩 A 482 3620 解由于A的第2行是第1行的2倍,所以A的任一个 三阶子方阵都是奇异的,因此有R(A)<3,但因A 有一个二阶子方阵的行列式 10≠0 所以R(A)=2 西安建大
西安建大 例3.2求下列矩阵的秩 1 2 4 1 2 4 8 2 3 6 2 0 A = 解 由于A的第2行是第1行的2倍，所以A的任一个 三阶子方阵都是奇异的，因此有R(A)<3,但因A 有一个二阶子方阵的行列式 1 4 10 0 3 2 = − 所以R(A)=2
关于矩阵秩的结论 定理3.1若矩阵A有一个阶子方阵非奇异,且 所有r+1阶的子方阵都是奇异的,则R(A)=r 定理3.2若A是m×m维矩阵,则R(A)≤min(mn) 定理3.3若A是阶方阵,则R(4)=m的充分必要条件 是A为非奇异的 定理34对任何矩阵A,有R(A=R(A) 西安建大
西安建大 关于矩阵秩的结论: 定理3.1 若矩阵A有一个r阶子方阵非奇异，且 所有r+1阶的子方阵都是奇异的，则R(A)=r 定理3.2 ( ) min( , ). 若A m n R A m n 是 维矩阵，则 3.4 ( ) ( ) T 定理 对任何矩阵A R A R A ，有 = 3.3 ( ) A n R A n A 定理 若 是 阶方阵，则 = 的充分必要条件 是 为非奇异的
初等方阵 回忆:下面三种变换称为矩阵的初等行变换: (1)对调两行(对调j两行记作r4r (2)以数k≠0乘以某一行的所有元素 (3)把某一行所有元素的k倍加到另 对应的元素上去(第/行的k倍加到第i行上 记作r+r) 同理可定义矩阵的初等列变换(把“r”换成 矩阵初等变换是矩阵的一种基本运算,应用广泛 西安建大
西安建大 回忆：下面三种变换称为矩阵的初等行变换: (1 , , ) i j 对调两行（对调i j r r 两行 记作 ）； (2)以 数 k 0 乘以某一行的所有元素; ( ) . 3 记 作 ） 对应的元素上去（第 行 的 倍加到第 行 上 把某一行所有元素的 倍加到另一行 i krj r j k i k + 同理可定义矩阵的初等列变换 (把“r”换成 “c”)． 三、 初等方阵 矩阵初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛