f(t)at (3.1-3a 2-T2T f(t)cos notdt (3.1-3b f(tsin nootdt n=1, 2. (3. 1-3c
(3.1-3a) (3.1-3b) (3.1-3c) = T f t dt T a ( ) 1 0 = T n f t n tdt T a 0 ( ) cos 2 ( )sin 1,2, 2 = 0 = f t n tdt n T b T n
利用信号波形的对称性,可以方便地求取傅里叶级数 的系数。 1.f()为偶函数 f(t)=f(-1),则只含有常数项和余弦项;而b,=0。 2f(t)为奇函数 f()=-f(-1)则只含正弦项;而a0=0,an=0 3.ft)为偶谐函数 f(t±)=f(t),偶半波对称则只含有偶次谐波。 4.f(1)为奇谐函数 T f(t±)=-f(),奇半波对称,则只含有奇次谐波
利用信号波形的对称性，可以方便地求取傅里叶级数 的系数。 1. f(t)为偶函数 2. f(t)为奇函数 3. f(t)为偶谐函数 4. f(t)为奇谐函数 f (t) = f (−t) ，则 只含有常数项和余弦项；而 bn = 0 。 f (t) = − f (−t , ) 则 只含正弦项；而 a0 = 0 , an = 0 。 f t ，偶半波对称,则 只含有偶次谐波。 T ( ) = f (t) 2 ) ( ) 2 ( f t T f t = − ，奇半波对称,则 只含有奇次谐波
若将式(31-2)中同频率项合并,即 a, cosnoot +b sinnat=A, cos(naot+n) 三角型傅里叶级数可写成工程上更为实用的形式: f()=A+∑Acos(not+) n=1 312指数型傅里叶级数 三角函数与虚指数函数有着密切的关系,根据欧拉( Eular) 公式,有 sin noots、1 noot e noot o cOS naot=-leJnoot ingot e 故三角型傅里叶级数和指数型傅里叶级数实质上是同一级数的 两种不同的表现形式
若将式(3.1-2)中同频率项合并，即 三角型傅里叶级数可写成工程上更为实用的形式： 3.1.2 指数型傅里叶级数 三角函数与虚指数函数有着密切的关系，根据欧拉（Eular） 公式，有 故三角型傅里叶级数和指数型傅里叶级数实质上是同一级数的 两种不同的表现形式。 a n t b n t A n t n n n n cos sin cos( ) 0 + 0 = 0 + f t A A n t n n n ( ) = + cos( + ) = 0 0 1 ( ) ( ) j n t j n t j n t j n t e e n t e e j n t 0 0 0 0 2 1 , cos 2 1 sin 0 0 − − = − = +
于是,可将原傅里叶级数写成紧凑的形式 f()=∑Fe Snoot (3.1-10)
于是，可将原傅里叶级数写成紧凑的形式 (3.1-10) f t Fn e jn t n ( ) = =− 0
这就是指数型傅里叶级数。将式(31-3)中的a和b代入式 (31-%a)即可求得指数型傅里叶级数的系数 F T Jf(t)e Naot (3.1-11) 般情况下,F是关于变量nOa的复函数,故又称为指数型 傅里叶级数的复系数 (是实周期信号时,其傅里叶复系数F的模和实部是nao 偶函数;F的相角和虚部是nOn的奇函数。 指数型傅里叶级数中出现负频率分量,这只是一种数学表 达形式,没有太多的物理意义。实际上,正负频率分量总 是共轭成对地出现。一对共轭的正负频率分量之和构成 个实际的谐波分量
这就是指数型傅里叶级数。将式(3.1-3)中的an和bn代入式 (3.1-9a)即可求得指数型傅里叶级数的系数 (3.1-11) 一般情况下，Fn是关于变量n0的复函数，故又称为指数型 傅里叶级数的复系数 . 当f(t)是实周期信号时，其傅里叶复系数Fn的模和实部是n0 偶函数；Fn的相角和虚部是n0的奇函数。 指数型傅里叶级数中出现负频率分量，这只是一种数学表 达形式，没有太多的物理意义。实际上，正负频率分量总 是共轭成对地出现。一对共轭的正负频率分量之和构成一 个实际的谐波分量. F T f t e dt n T T jn t = − − 1 2 2 0 ( )