性质，归结为代数问题，通过求解所得结果，明确求作正方形的方法，据此截得所需铁板。上面两个例子可以看出，它们是把所欲解的问题经过某种变化，使之归结为另一个问题*，再通过后一问题*的求解，把解得结果作用于原有问题，从而使原有问题得解。这种解决问题的方法，我们将它统称为化归法。利用化归法解决问题的过程可(化归）问题问题*简单地表示为图表3由上可知，我们所讲的化归法，是一种一般的科学方法，它可解答*解答用于各门学科和各种工作。由于数学是一种推理的学科，推理的过程图表3就是由一个判断（或几个判断）获得新判断的过程，也就是稳含着可以化归的过程。因此，化归的方法在数学中有着比其他任何学科更为广泛的应用。但是这并不说推理就是化归，因为我们所说的化归法，是把它归结为另一问题并使之得解，利用解得的结果再作用于原问题，促使原问题得解。在这方面说，化归的思想是具有可逆性的，一般推理并不具有这种特性。从认识论的角度来看，化归法是通过对原问题的一种作用，使之改变为另一问题，这种思维方法的实质，就是促使矛盾的转化，就是用联系，发展，运动变化的观点来认识问题，这是一种有意识的转化。从思维方法的层次来看，化归法是属于哲学思维方法的层次。在分析法，模型法等一般科学想维方法的运用中，无不体现着化归的意识。在数学方法论中的化归法，是以数18
学问题为思维对象，运用数学手段来解决问题的一种具体思维方法。从思维过程来看，化归即是归结，是一种“熟化”的过程，将生疏的问题归结为已掌握的熟知的问题，通过一系列的熟化，最后达到疏问题的解决。要实现一次化归，必须抓住化归的对象（成分），化归的方向（目标）和化归的具体措施（方法）。这是每一步化归所必须考虑的内容，因此，化归的成分、目标和方法，也就是实现化归的要素。化归的对象（成分），可以是一个问题的条件或某一学科的研究对象，这要根据所研究的问题而定。化归的方向（日标），一般说来，作为解题来考虑是化术知为已知，但实现解题过程是化已知为未知，从每次化归目标来说，原则是化难为易，化繁为简，化一般为特殊。解题本身就提供了一个总的日标，每一步都是为实现这一日标而采取的措施，因此，难易、繁简不能只想到某一步，而应着眼于整个问题。化归的方法因间题而异，下节着垂介绍。二、化妇的主要方法1、分割法法国著名哲学家、数学家笛卡儿说过：“把你所考虑的每一个问题，按照可能和需要，分成若于部分，使它们更易于求解。”这里提出了一个解决问题的方法，我们把它叫做分割法。一般地说，用分割法解决问题的过程可以归结如图表4，分割法可以把一个复杂难解的问题化归成若于个简单19
易行的问题，通过对整体的各个局部（或各个方面）的解决，达到对所提出问题的解决。【向题1问分割题问题*问题2解答1组合答解答*解答2解图表4（1）彩体分法在面积，体积问题的讨论中经觉用到的分割法。例3、求弓写形面积在我们熟知扇形和三角形面积计算情图2.2况下，把形吞成某扇形的局部，这样就可以从其中将它分割出来，即S弓形=S扇形-S三角形。（S表示该图形面积）例4、圆内接凸四边形两双对边乘积的和，等于两对角线莱积。已知ABCD是圆内接凸四边形求证AB.CD+AD·BC-AC·BD。此题结论左端为网项，右端为一项，只要设法把右輪分2:0
割成两个乘积之和的形式，然后化归为证明乘积相等。为此在其一线段（如BD）上取一适当的点，往证 ABCD=AC·BE,丑 AD·BC-AC·ED。这是讨论和差问愿的个常小方法。图2.3（2）轨迹交会法上述问题我们着重对讨论对象水身的分制，我们也可以对所讨论对象所应满起的条件进行分割，例如，几何作图中经常用到的“轨迹交会法”就是对条件的分割的例子。例5、求作△ABC外接圆的圆心。所求圆心0应满足条件OA=0B=0C。它Ⅲ以“分割”为OA=OB及OA=OC。因此，只要分别作出满足上述系件的轨迹，即线段AB、AC的垂直平分线，其交点就是所求作的三角形的外接圆圆心。图2.4从几何意义来说，讨论的对象可以是某类元素（例如，点或直线），也可以是某个区间或区域，轨迹的交也就是两类元素的集合的交集。对于轨迹交会法我们也应作广义的理解，所求的点也可以是其他的任何21
数学对象，欲求对象所应满足的条件也可以有各种不同的形式，这样来理解上述方法，便可导致对欲求对象（未知成分）所应满足的条件（已知成分）进行分割而实现化归的一般方法。例如，我们求解实际问题（应用题）时，设立多个未知数，从而把所给条件（已知和未知的关系）列成若干个方程，再进行求解。这实质就是对（广义的）“轨迹交会法”的运用。解二元一次方程组，可以看成在二维空间求两条直线（轨迹）的交点，解n元线性方程组，可以看成在n维空问求n个“超平面”的交点。解二元一次不等式组纽，可以看成求直线围成的平面区域，解三元一次不等式组，可以看成求乎面围成的局部空间，等等。很多问题中的未知成分都可以看成一个“多元”未知量，例如，圆可以看成“二元”的未知量，即圆心和半径。我们还可以作更广义的理解，例如，曲线的方程，包括“程的类型”和“方程的系数”两类未知孟，这样分割开来对求解方程将会带来许多方便。对于形式上非标准的问题，往往找不到一·个通常的解法，如果我们把它分割开来，讨论起来就容易待多了。例6，解方程sina=a2+a+1方程左边是三角函数，+4右边是代数多项式，我们不可能用求解三角方程或一元二次方程的办法，但是把它分割开来看，就可看成两个关丁Pha22