第五部分振动和波 第一讲基本知识介绍 《振动和波》的竞赛考纲和高考要求有很大的不同,必须做一些相对详细的补充。 简谐运动 1、简谐运动定义:∑F=-kx 凡是所受合力和位移满足①式的质点,均可称之为谐振子,如弹簧振子、小角度单摆等 谐振子的加速度:a 2、简谐运动的方程 回避高等数学工具,我们可以将简谐运动看成匀速圆周运 动在某一条直线上的投影运动(以下均看在ⅹ方向的投影), 圆周运动的半径即为简谐运动的振幅A。 依据:∑Fx=-mo2Acos=-mo2 wt+ep 对于一个给定的匀速圆周运动,m、是恒定不变的,可 这样,以上两式就符合了简谐运动的定义式①。所以,x 方向的位移、速度、加速度就是简谐运动的相关规律。从图1不难得出 位移方程:x=Acos(ot+中) 速度方程:v=- o Asin(ot+中) 加速度方程:a=-2Acos(ot+中) 相关名词:(ot+中)称相位,中称初相 运动学参量的相互关系:a=-02又 A=x2+()2 恕中=-Y 3、简谐运动的合成 a、同方向、同频率振动合成。两个振动x1=A1cos(ot+中1)和x2=A2cos(t+中2)合成,可令合 振动x=Acos(ot+中),由于x=x1+x2,解得 A=√A2+A2+2AA2cos2-中;),中= arct 显然,当φ2-中1=2kπ时(k=0,±1,±2,…),合振幅A最大,当中2-中1=(2k+1)I 时(k=0,±1,±2,…),合振幅最小。 b、方向垂直、同频率振动合成。当质点同时参与两个垂直的振动x=Acos(ot+中1)和y=A2cos( t+中2)时,这两个振动方程事实上已经构成了质点在二维空间运动的轨迹参数方程,消去参数t后,得
1 第五部分 振动和波 第一讲 基本知识介绍 《振动和波》的竞赛考纲和高考要求有很大的不同，必须做一些相对详细的补充。 一、简谐运动 1、简谐运动定义： F = －k x ① 凡是所受合力和位移满足①式的质点，均可称之为谐振子，如弹簧振子、小角度单摆等。 谐振子的加速度： a = － m k x 2、简谐运动的方程 回避高等数学工具，我们可以将简谐运动看成匀速圆周运 动在某一条直线上的投影运动（以下均看在 x 方向的投影）， 圆周运动的半径即为简谐运动的振幅 A 。 依据： F x = －mω2Acosθ= －mω2 x 对于一个给定的匀速圆周运动，m、ω是恒定不变的，可 以令： mω2 = k 这样，以上两式就符合了简谐运动的定义式①。所以，x 方向的位移、速度、加速度就是简谐运动的相关规律。从图 1 不难得出—— 位移方程： x = Acos(ωt + φ) ② 速度方程： v = －ωAsin(ωt +φ) ③ 加速度方程： a = －ω2A cos(ωt +φ) ④ 相关名词：(ωt +φ)称相位，φ称初相。 运动学参量的相互关系： a = －ω2 x A = 2 0 2 0 ) v x ( + tgφ= － 0 0 x v 3、简谐运动的合成 a、同方向、同频率振动合成。两个振动 x1 = A1cos(ωt +φ1)和 x2 = A2cos(ωt +φ2) 合成，可令合 振动 x = Acos(ωt +φ) ，由于 x = x1 + x2 ，解得 A = A A 2A A cos( ) 1 2 2 1 2 2 2 1 + + − ，φ= arctg 1 1 2 2 1 1 2 2 A cos A cos A sin A sin + + 显然，当φ2－φ1 = 2kπ时（k = 0，±1，±2，…），合振幅 A 最大，当φ2－φ1 = （2k + 1）π 时（k = 0，±1，±2，…），合振幅最小。 b、方向垂直、同频率振动合成。当质点同时参与两个垂直的振动 x = A1cos(ωt + φ1)和 y = A2cos(ω t + φ2)时，这两个振动方程事实上已经构成了质点在二维空间运动的轨迹参数方程，消去参数 t 后，得
一般形式的轨迹方程为 A 显然,当中2-中1=2kx时(k=0,±1,±2,…),有y=Ax,轨迹为直线,合运动仍为简 谐运动 当中2一中1=(2k+1)π时(k=0,±1,±2,…),有 1,轨迹为椭圆,合运 动不再是简谐运动 当φ2-φ1取其它值,轨迹将更为复杂,称“李萨如图形”,不是简谐运动 c、同方向、同振幅、频率相近的振动合成。令ⅹ=Acos(ωt+φ)和x2=Acosω2t+φ),由于 合运动x=x1+x2,得:x=(2Acos°-°tcos(9t+中)。合运动是振动,但不是简谐运动 称为角频率为 O,+0 的“拍”现象 4、简谐运动的周期 由②式得:a=,k,而圆周运动的角速度和简谐运动的角频率是致的,所以 5、简谐运动的能量 个做简谐运动的振子的能量由动能和势能构成,即 k=-kA 注意:振子的势能是由(回复力系数)k和(相对平衡位置位移)ⅹ决定的一个抽象的概念,而不是 具体地指重力势能或弹性势能。当我们计量了振子的抽象势能后,其它的具体势能不能再做重复计量。 6、阻尼振动、受迫振动和共振 和高考要求基本相同。 二、机械波 1、波的产生和传播 产生的过程和条件;传播的性质,相关参量(决定参量的物理因素) 2、机械波的描述 a、波动图象。和振动图象的联系 b、波动方程 如果一列简谐波沿ⅹ方向传播,振源的振动方程为y=Acos(ωt+φ),波的传播速度为v 那么在离振源x处一个振动质点的振动方程便是 y=Acos(ot+φ-·2)=Acos(o(t-)+φ) 这个方程展示的是一个复变函数。对任意一个时刻t,都有一个y(x)的正弦函数,在x-y坐 标下可以描绘出一个瞬时波形。所以,称y=Acos(u(t--)+中)为波动方程 3、波的干涉 a、波的叠加。几列波在同一介质种传播时,能独立的维持它们的各自形态传播,在相遇的区域则
2 一般形式的轨迹方程为 2 1 2 A x + 2 2 2 A y －2 A1A2 xy cos(φ2－φ1) = sin2 (φ2－φ1) 显然，当φ2－φ1 = 2kπ时（k = 0，±1，±2，…），有 y = 1 2 A A x ，轨迹为直线，合运动仍为简 谐运动； 当φ2－φ1 = （2k + 1）π时（k = 0，±1，±2，…），有 2 1 2 A x + 2 2 2 A y = 1 ，轨迹为椭圆，合运 动不再是简谐运动； 当φ2－φ1 取其它值，轨迹将更为复杂，称“李萨如图形”，不是简谐运动。 c、同方向、同振幅、频率相近的振动合成。令 x1 = Acos(ω1t + φ)和 x2 = Acos(ω2t + φ) ，由于 合运动 x = x1 + x2 ，得：x =（2Acos 2 2 −1 t）cos（ 2 2 +1 t +φ）。合运动是振动，但不是简谐运动， 称为角频率为 2 2 +1 的“拍”现象。 4、简谐运动的周期 由②式得：ω= m k ，而圆周运动的角速度和简谐运动的角频率是一致的，所以 T = 2π k m ⑤ 5、简谐运动的能量 一个做简谐运动的振子的能量由动能和势能构成，即 E = 2 1 mv2 + 2 1 kx2 = 2 1 kA2 注意：振子的势能是由（回复力系数）k 和（相对平衡位置位移）x 决定的一个抽象的概念，而不是 具体地指重力势能或弹性势能。当我们计量了振子的抽象势能后，其它的具体势能不能再做重复计量。 6、阻尼振动、受迫振动和共振 和高考要求基本相同。 二、机械波 1、波的产生和传播 产生的过程和条件；传播的性质，相关参量（决定参量的物理因素） 2、机械波的描述 a、波动图象。和振动图象的联系 b、波动方程 如果一列简谐波沿 x 方向传播，振源的振动方程为 y = Acos（ωt + φ），波的传播速度为 v ， 那么在离振源 x 处一个振动质点的振动方程便是 y = Acos〔ωt + φ - x ·2π〕= Acos〔ω（t - v x ）+ φ〕 这个方程展示的是一个复变函数。对任意一个时刻 t ，都有一个 y（x）的正弦函数，在 x-y 坐 标下可以描绘出一个瞬时波形。所以，称 y = Acos〔ω（t - v x ）+ φ〕为波动方程。 3、波的干涉 a、波的叠加。几列波在同一介质种传播时，能独立的维持它们的各自形态传播，在相遇的区域则
遵从矢量叠加(包括位移、速度和加速度的叠加)。 b、波的干涉。两列波频率相同、相位差恒定时,在同一介质中的叠加将形成一种特殊形态:振动 加强的区域和振动削弱的区域稳定分布且彼此隔开。 我们可以用波程差的方法来讨论干涉的定量规律。如 图2所示,我们用S1和S2表示两个波源,P表示空间任意 点 当振源的振动方向相同时,令振源S1的振动方程为y Arcos o t,振源S1的振动方程为y2= Acoso t,则在空 间P点(距S为r1,距S为n2),两振源引起的分振动分s2 别是 图 y1′=Acos(o(t-互) y2′=A2cos(o(t P点便出现两个频率相同、初相不同的振动叠加问题(φ1 中 ),且初相差△φ e(r2-r1)。根据前面己经做过的讨论,有 r2-r1=kλ时(k=0,±1,±2,…),P点振动加强,振幅为A1+A2: r2-r1=(2k-1)时(k=0,±1,±2,…),P点振动削弱,振幅为|A1-A 4、波的反射、折射和衍射 知识点和高考要求相同。 5、多普勒效应 当波源或者接受者相对与波的传播介质运动时,接收者会发现波的频率发生变化。多普勒效应的定 量讨论可以分为以下三种情况(在讨论中注意:波源的发波频率f和波相对介质的传播速度v是恒定不 变的) a、只有接收者相对介质运动(如图3所示) 设接收者以速度v1正对静止的波源运动。 如果接收者静止在A点,他单位时间接收的波的个数为f, 当他迎着波源运动时,设其在单位时间到达B点,则 AB=V1,、 在从A运动到B的过程中,接收者事实上“提前”多接 收到了n个波 If /f 显然,在单位时间内,接收者接收到的总的波的数目为 s s V+VI f,这就是接收者发现的频率fi。即 v+v f1= 显然,如果v1背离波源运动,只要将上式中的v1代入负 图3 值即可。如果v的方向不是正对S,只要将v出正对的分 量即可
3 遵从矢量叠加（包括位移、速度和加速度的叠加）。 b、波的干涉。两列波频率相同、相位差恒定时，在同一介质中的叠加将形成一种特殊形态：振动 加强的区域和振动削弱的区域稳定分布且彼此隔开。 我们可以用波程差的方法来讨论干涉的定量规律。如 图 2 所示，我们用 S1和 S2 表示两个波源，P 表示空间任意 一点。 当振源的振动方向相同时，令振源S1的振动方程为y1 = A1cosωt ，振源 S1 的振动方程为 y2 = A2cosωt ，则在空 间 P 点（距 S1为 r1 ，距 S2 为 r2），两振源引起的分振动分 别是 y1′= A1cos〔ω（t − v r1 ）〕 y2′= A2cos〔ω（t − v r2 ）〕 P 点便出现两个频率相同、初相不同的振动叠加问题（φ1 = v r 1 ，φ2 = v r 2 ），且初相差Δφ= v （r2 – r1）。根据前面已经做过的讨论，有 r2 − r1 = kλ时（k = 0，±1，±2，…），P 点振动加强，振幅为 A1 + A2 ； r2 − r1 =（2k − 1） 2 时（k = 0，±1，±2，…），P 点振动削弱，振幅为│A1－A2│。 4、波的反射、折射和衍射 知识点和高考要求相同。 5、多普勒效应 当波源或者接受者相对与波的传播介质运动时，接收者会发现波的频率发生变化。多普勒效应的定 量讨论可以分为以下三种情况（在讨论中注意：波源的发波频率 f 和波相对介质的传播速度 v 是恒定不 变的）—— a、只有接收者相对介质运动（如图 3 所示） 设接收者以速度 v1 正对静止的波源运动。 如果接收者静止在 A 点，他单位时间接收的波的个数为 f ， 当他迎着波源运动时，设其在单位时间到达 B 点，则 AB = v1 ，、 在从 A 运动到 B 的过程中，接收者事实上“提前”多接 收到了 n 个波 n = AB = v / f v1 = v v f 1 显然，在单位时间内，接收者接收到的总的波的数目为： f + n = v v v + 1 f ，这就是接收者发现的频率 f1 。即 f1 = v v v + 1 f 显然，如果 v1 背离波源运动，只要将上式中的 v1 代入负 值即可。如果 v1 的方向不是正对 S ，只要将 v1 出正对的分 量即可
b、只有波源相对介质运动(如图4所示) 设波源以速度v2正对静止的接收者运动 如果波源S不动,在单位时间内,接收者在A点应接收f个波,故S到A的距离:SA=fλ 在单位时间内,S运动至S′,即SS'=v2。由于波源的运 动,事实造成了S到A的f个波被压缩在了S′到A的空间里 波长将变短,新的波长 S'ASA-SS′D 而每个波在介质中的传播速度仍为ⅴ,故“被压缩”的波 (A接收到的波)的频率变为 当v2背离接收者,或有一定夹角的讨论,类似a情形。 c、当接收者和波源均相对传播介质运动 图4 当接收者正对波源以速度v1(相对介质速度)运动,波源 也正对接收者以速度v2(相对介质速度)运动,我们的讨论可以在b情形的过程上延续… f3 f2 关于速度方向改变的问题,讨论类似a情形。 6、声波 乐音和噪音 b、声音的三要素:音调、响度和音品 c、声音的共鸣 第二讲重要模型与专题 简谐运动的证明与周期计算 物理情形:如图5所示,将一粗细均匀、两边开口的U型管固定,其中装有一定量的水银,汞柱总 长为L。当水银受到一个初始的扰动后,开始在管中振动。忽略管壁对汞的阻力, 试证明汞柱做简谐运动,并求其周期 模型分析:对简谐运动的证明,只要以汞柱为对象,看它的回复力与位移关系是 否满足定义式①,值得注意的是,回复力∑F系指振动方向上的合力(而非整体合力)。 当简谐运动被证明后,回复力系数k就有了,求周期就是顺理成章的事。 本题中,可设汞柱两端偏离平衡位置的瞬时位移为ⅹ、水银密度为ρ、U型管横 截面积为S,则次瞬时的回复力 g2> 图5 由于L、m为固定值,可令:2哩=k,而且xF与x的方向相反,故汞柱做简 谐运动 周期T=2,=2 k
4 b、只有波源相对介质运动（如图 4 所示） 设波源以速度 v2 正对静止的接收者运动。 如果波源 S 不动，在单位时间内，接收者在 A 点应接收 f 个波，故 S 到 A 的距离： SA = fλ 在单位时间内，S 运动至 S′，即 SS = v2 。由于波源的运 动，事实造成了 S 到 A 的 f 个波被压缩在了 S′到 A 的空间里， 波长将变短，新的波长 λ′= f SA = f SA −SS = f f − v2 = f v − v2 而每个波在介质中的传播速度仍为 v ，故“被压缩”的波 （A 接收到的波）的频率变为 f2 = v = v v2 v − f 当 v2 背离接收者，或有一定夹角的讨论，类似 a 情形。 c、当接收者和波源均相对传播介质运动 当接收者正对波源以速度 v1（相对介质速度）运动，波源 也正对接收者以速度 v2（相对介质速度）运动，我们的讨论可以在 b 情形的过程上延续… f3 = v v v + 1 f2 = 2 1 v v v v − + f 关于速度方向改变的问题，讨论类似 a 情形。 6、声波 a、乐音和噪音 b、声音的三要素：音调、响度和音品 c、声音的共鸣 第二讲 重要模型与专题 一、简谐运动的证明与周期计算 物理情形：如图 5 所示，将一粗细均匀、两边开口的 U 型管固定，其中装有一定量的水银，汞柱总 长为 L 。当水银受到一个初始的扰动后，开始在管中振动。忽略管壁对汞的阻力， 试证明汞柱做简谐运动，并求其周期。 模型分析：对简谐运动的证明，只要以汞柱为对象，看它的回复力与位移关系是 否满足定义式①，值得注意的是，回复力 F 系指振动方向上的合力（而非整体合力）。 当简谐运动被证明后，回复力系数 k 就有了，求周期就是顺理成章的事。 本题中，可设汞柱两端偏离平衡位置的瞬时位移为 x 、水银密度为ρ、U 型管横 截面积为 S ，则次瞬时的回复力 ΣF = ρg2xS = L 2mg x 由于 L、m 为固定值，可令： L 2mg = k ，而且ΣF 与 x 的方向相反，故汞柱做简 谐运动。 周期 T = 2π k m = 2π 2g L
答:汞柱的周期为2x 学生活动:如图6所示,两个相同的柱形滚轮平行、登高、水平放置,绕各自的轴线等角速、反方 向地转动,在滚轮上覆盖一块均质的木板。已知两滚 轮轴线的距离为L、滚轮与木板之间的动摩擦因素为 μ、木板的质量为m,且木板放置时,重心不在两滚 轮的正中央。试证明木板做简谐运动,并求木板运 的周期。 图 思路提示:找平衡位置(木板重心在两滚轮中央处)→力矩平衡和ΣF6=0结合求两处弹力→求摩 擦力合力 答案:木板运动周期为2π Vug 巩固应用:如图7所示,三根长度均为L=2.00m地质量均匀直杆,构成一正三角形框架ABC,C点 悬挂在一光滑水平轴上,整个框架可绕转轴转动。杆AB是一导轨,一电动松鼠可在导轨上运动。现观 察到松鼠正在导轨上运动,而框架却静止不动,试讨论松鼠的运动是一种什么样的运动。 解说:由于框架静止不动,松鼠在竖直方向必平衡,即: 松鼠所受框架支持力等于松鼠重力。设松鼠的质量为m, 即 N 再回到框架,其静止平衡必满足框架所受合力矩为零。 以C点为转轴,形成力矩的只有松鼠的压力N、和松鼠可能 加速的静摩擦力f,它们合力矩为零,即 M Me 现考查松鼠在框架上的某个一般位置(如图7,设它在 导轨方向上距C点为x),上式即成: N·x=f·Lsin60 解①②两式可得:f=2哩x,且f的方向水平向左 根据牛顿第三定律,这个力就是松鼠在导轨方向上的合 力。如果我们以C在导轨上的投影点为参考点,ⅹ就是松鼠的瞬时位移。再考虑到合力与位移的方向因 素,松鼠的合力与位移满足关系 f=-k
5 答：汞柱的周期为 2π 2g L 。 学生活动：如图 6 所示，两个相同的柱形滚轮平行、登高、水平放置，绕各自的轴线等角速、反方 向地转动，在滚轮上覆盖一块均质的木板。已知两滚 轮轴线的距离为 L 、滚轮与木板之间的动摩擦因素为 μ、木板的质量为 m ，且木板放置时，重心不在两滚 轮的正中央。试证明木板做简谐运动，并求木板运动 的周期。 思路提示：找平衡位置（木板重心在两滚轮中央处）→力矩平衡和 ΣF6= 0 结合求两处弹力→求摩 擦力合力… 答案：木板运动周期为 2π 2 g L 。 巩固应用：如图 7 所示，三根长度均为 L = 2.00m 地质量均匀直杆，构成一正三角形框架 ABC，C 点 悬挂在一光滑水平轴上，整个框架可绕转轴转动。杆 AB 是一导轨，一电动松鼠可在导轨上运动。现观 察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试讨论松鼠的运动是一种什么样的运动。 解说：由于框架静止不动，松鼠在竖直方向必平衡，即： 松鼠所受框架支持力等于松鼠重力。设松鼠的质量为 m ， 即： N = mg ① 再回到框架，其静止平衡必满足框架所受合力矩为零。 以 C 点为转轴，形成力矩的只有松鼠的压力 N、和松鼠可能 加速的静摩擦力 f ，它们合力矩为零，即： MN = Mf 现考查松鼠在框架上的某个一般位置（如图 7，设它在 导轨方向上距 C 点为 x），上式即成： N·x = f·Lsin60° ② 解①②两式可得：f = 3L 2mg x ，且 f 的方向水平向左。 根据牛顿第三定律，这个力就是松鼠在导轨方向上的合 力。如果我们以 C 在导轨上的投影点为参考点，x 就是松鼠的瞬时位移。再考虑到合力与位移的方向因 素，松鼠的合力与位移满足关系—— F = －k x