《高中物理》第三部分 曲线运动万有引力

第三部分曲线运动万有引力 第一讲基本知识介绍 曲线运动 1、概念、性质 2、参量特征 二、曲线运动的研究方法一一运动的分解与合成 1、法则与对象 2、两种分解的思路 a、固定坐标分解(适用于匀变速曲线运动) 建立坐标的一般模式一一沿加速度方向和垂直加速度方向建直角坐标:提高思想一一根据解题需 要建直角坐标或非直角坐标。 b、自然坐标分解(适用于变加速曲线运动) 基本常识:在考查点沿轨迹建立切向τ、法向n坐标,所有运动学矢量均沿这两个方向分解 动力学方程 ∑F=m,其中a改变速度的大小(速率,an改变速度的方向。且a= ∑Fn=mn 其中ρ表示轨迹在考查点的曲率半径。定量解题一般只涉及法向动力学方程。 两种典型的曲线运动 1、抛体运动(类抛体运动) 关于抛体运动的分析,和新课教材“平跑运动”的分析基本相同。在坐标的选择方面,有灵活处 理的余地 2、圆周运动 匀速圆周运动的处理:运动学参量v、ω、n、a、f、T之间的关系,向心力的寻求于合成:临界问 题的理解 变速圆周运动:使用自然坐标分析法,一般只考查法向方程。 四、万有引力定律 1、定律内容 2、条件 基本条件 b、拓展条件:球体(密度呈球对称分布)外部空间的拓展;球体(密度呈球对称分布)内部空间 的拓展 剥皮法则 c、不规则物体间的万有引力计算一一分割与矢量叠加 五、开普勒三定律 天体运动的本来模式与近似模式的差距,近似处理的依据。 六、宇宙速度、天体运动 1、第一宇宙速度的常规求法 2、从能量角度求第二、第三宇宙速度 万有引力势能Ep=-Gm r

1 第三部分 曲线运动 万有引力 第一讲 基本知识介绍 一、曲线运动 1、概念、性质 2、参量特征 二、曲线运动的研究方法——运动的分解与合成 1、法则与对象 2、两种分解的思路 a、固定坐标分解（适用于匀变速曲线运动） 建立坐标的一般模式——沿加速度方向和垂直加速度方向建直角坐标；提高思想——根据解题需 要建直角坐标或非直角坐标。 b、自然坐标分解（适用于变加速曲线运动） 基本常识：在考查点沿轨迹建立切向τ、法向 n 坐标，所有运动学矢量均沿这两个方向分解。 动力学方程     =   =  Fn ma n F ma ，其中  a 改变速度的大小（速率）， n a 改变速度的方向。且 n a = m  2 v ， 其中ρ表示轨迹在考查点的曲率半径。定量解题一般只涉及法向动力学方程。 三、两种典型的曲线运动 1、抛体运动（类抛体运动） 关于抛体运动的分析，和新课教材“平跑运动”的分析基本相同。在坐标的选择方面，有灵活处 理的余地。 2、圆周运动 匀速圆周运动的处理：运动学参量 v、ω、n、a、f、T 之间的关系，向心力的寻求于合成；临界问 题的理解。 变速圆周运动：使用自然坐标分析法，一般只考查法向方程。 四、万有引力定律 1、定律内容 2、条件 a、基本条件 b、拓展条件：球体（密度呈球对称分布）外部空间的拓展；球体（密度呈球对称分布）内部空间 的拓展——“剥皮法则” c、不规则物体间的万有引力计算——分割与矢量叠加 五、开普勒三定律 天体运动的本来模式与近似模式的差距，近似处理的依据。 六、宇宙速度、天体运动 1、第一宇宙速度的常规求法 2、从能量角度求第二、第三宇宙速度 万有引力势能 EP = －G r m1m2

3、解天体运动的本来模式时,应了解椭圆的数学常识 第二讲重要模型与专题 小船渡河 物理情形:在宽度为d的河中,水流速度v2恒定。岸边有一艘小船,保持相对河水恒定的速率v渡 河,但船头的方向可以选择。试求小船渡河的最短时间和最小位移。 模型分析:小船渡河的实际运动(相对河岸的运动)由船相对水流速度v和水相对河岸的速度v2合 成。可以设船头与河岸上游夹角为0(即v的方向),速度矢量合成如图1 (学生活动)用余弦定理可求合的大小 va=√v2+v2-2vv2cos (学生活动)用正弦定理可求v合的方向。令V合与河岸下游夹角为α,则 a arcsin 2v, v. cos e 1、求渡河的时间与最短时间 由于合运动合分运动具有等时性,故渡河时间既可以根据合运动求,也可以根据分运动去求。针对 这一思想,有以下两种解法 解法 s 其中v合可用正弦定理表达 d d/sin a 故有t= V, sin 0 v, sin 0 sin a d/sin e 解法二:t y S合 此外,结合静力学正交分解的思 想,我们也可以建立沿河岸合垂直9 河岸的坐标x、y,然后先将v分解 (v2无需分解),再合成,如图2所 示。而且不难看出,合运动在x、y 方向的分量vx和w与v在x、y方向的分量vx、vy以及v具有以下关系 Vy=V Vx=V2-VIx 由于合运动沿y方向的分量Sy≡d,故有 2

2 3、解天体运动的本来模式时，应了解椭圆的数学常识 第二讲 重要模型与专题 一、小船渡河 物理情形：在宽度为 d 的河中，水流速度 v2 恒定。岸边有一艘小船，保持相对河水恒定的速率 v1 渡 河，但船头的方向可以选择。试求小船渡河的最短时间和最小位移。 模型分析：小船渡河的实际运动（相对河岸的运动）由船相对水流速度 v1 和水相对河岸的速度 v2 合 成。可以设船头与河岸上游夹角为θ（即 v1 的方向），速度矢量合成如图 1 （学生活动）用余弦定理可求 v 合的大小 v 合= v + v − 2v1v2 cos 2 2 2 1 （学生活动）用正弦定理可求 v 合的方向。令 v 合与河岸下游夹角为α，则 α= arcsin + −   v v 2v v cos v sin 1 2 2 2 2 1 1 1、求渡河的时间与最短时间 由于合运动合分运动具有等时性，故渡河时间既可以根据合运动求，也可以根据分运动去求。针对 这一思想，有以下两种解法 解法一： t = 合 合 v S 其中 v 合可用正弦定理表达， 故有 t =    sin v sin d /sin 1 = v sin  d 1 解法二： t = 1 1 v S = v1 d /sin  = v sin  d 1 此外，结合静力学正交分解的思 想，我们也可以建立沿河岸合垂直 河岸的坐标 x、y，然后先将 v1 分解 （v2 无需分解），再合成，如图 2 所 示。而且不难看出，合运动在 x、y 方向的分量 vx 和 vy 与 v1 在 x、y 方向的分量 v1x、v1y 以及 v2 具有以下关系 vy = v1y vx = v2 - v1x 由于合运动沿 y 方向的分量 Sy ≡ d ，故有

解法三:t Sydd t(0)函数既已得出,我们不难得出结论 当θ=90°时,渡河时间的最小值tmn (从“解法三”我们最容易理解t为什么与v2无关,故tmin也与v无关。这个结论是意味深长的。) 2、求渡河的位移和最小位移 在上面的讨论中,小船的位移事实上己经得出,即 dv?+v2-2v, cone sIn 但S(0)函数比较复杂,寻求S合的极小值并非易事。因此,我们可以从其它方面作一些努力 将S合沿x、y方向分解成Sx和Sy,因为Sy≡d,要S合极小,只要Sx极小就行了。而Sx(θ) 函数可以这样求 解法 (v2-vicos 8 d Sx=Vxt=(v2-VIx) v, sin e 为求极值,令cos0=p,则sin=√l-p2,再将上式两边平方、整理,得到 v:(S2+d2)p2-2v1v2d2p+d2v2-S2v2=0 这是一个关于p的一元二次方程,要p有解,须满足Δ≥0,即 4vivad'24vi(Sx+dd-v-Svi 整理得S2v2≥d2(V2-v2) 所以,Sm=2v-v ,代入Sx(0)函数可知,此时cosb≈ 最后,Smin 此过程仍然比较繁复,且数学味太浓。结论得出后,我们还不难发现一个问题:当v2<v1时,Smin <d,这显然与事实不符。(造成这个局面的原因是:在以上的运算过程中,方程两边的平方和开方过 程中必然出现了增根或遗根的现象)所以,此法给人一种玄乎的感觉。 解法二:纯物理解一一矢量三角形的动态分析 从图2可知,S恒定,Sx越小,必有S合矢量与下游河岸的夹角越大,亦即v含矢量与下游河岸的夹 角越大(但不得大于90°)。 我们可以通过v与v合成ⅴ合矢量图探讨v合与下游河岸夹角的最大可能

3 解法三： t = y y v S = 1y v d = v sin  d 1 t (θ)函数既已得出，我们不难得出结论 当θ= 90°时，渡河时间的最小值 tmin = 1 v d （从“解法三”我们最容易理解 t 为什么与 v2 无关，故 tmin 也与 v2 无关。这个结论是意味深长的。） 2、求渡河的位移和最小位移 在上面的讨论中，小船的位移事实上已经得出，即 S 合 = sin  d = sin  v v d 1 合 =  + −  v sin d v v 2v v con 1 1 2 2 2 2 1 但 S 合（θ）函数比较复杂，寻求 S 合的极小值并非易事。因此，我们可以从其它方面作一些努力。 将 S 合沿 x、y 方向分解成 Sx 和 Sy ，因为 Sy ≡ d ，要 S 合极小，只要 Sx 极小就行了。而 Sx（θ） 函数可以这样求—— 解法一： Sx = vxt =（v2 - v1x） y y v S =（v2 – v1cosθ） v sin  d 1 为求极值，令 cosθ= p ，则 sinθ= 2 1− p ，再将上式两边平方、整理，得到 v (S d )p 2v v d p d v S v 0 2 1 2 x 2 2 2 2 1 2 2 2 2 x 2 1 + − + − = 这是一个关于 p 的一元二次方程，要 p 有解，须满足Δ≥0 ，即 2 4 2 2 4v1 v d ≥ 4v (S d )(d v S v ) 2 1 2 x 2 2 2 2 2 x 2 1 + − 整理得 2 1 2 x S v ≥ d (v v ) 2 1 2 2 2 − 所以，Sxmin= 2 1 2 2 1 v v v d − ，代入 Sx（θ）函数可知，此时 cosθ= 2 1 v v 最后，Smin= 2 y 2 Sx min + S = 1 2 v v d 此过程仍然比较繁复，且数学味太浓。结论得出后，我们还不难发现一个问题：当 v2＜v1 时，Smin ＜d ，这显然与事实不符。（造成这个局面的原因是：在以上的运算过程中，方程两边的平方和开方过 程中必然出现了增根或遗根的现象）所以，此法给人一种玄乎的感觉。 解法二：纯物理解——矢量三角形的动态分析 从图 2 可知，Sy 恒定，Sx 越小，必有 S 合矢量与下游河岸的夹角越大，亦即 v 合矢量与下游河岸的夹 角越大（但不得大于 90°）。 我们可以通过 v1 与 v2 合成 v 合矢量图探讨 v 合与下游河岸夹角的最大可能

先进行平行四边形到三角形的变换,如图3所示 当θ变化时,ⅴ矢量的大小和方向随之变化,具体情况如图4所示 从图4不难看出,只有当ⅴ合和虚线半圆周相切时,v合与v2(下游)的夹角才会最大。此时,V合⊥ y,和y构成一个直角三角形, max= arcsin- 图3 图4 并且,此时:0= arccos 有了am的值,结合图1可以求出:S合m=2d 最后解决v2<v1时结果不切实际的问题。从图4可以看出,当v2<v1时,v合不可能和虚线半圆周相 切(或am= in -1无解),结合实际情况,a=取 即:v2<v1时,S合min=d,此时,0= arccos 结论:若v1<v2,0=arco时,S合m=2d 若v2<v1,0= arccos时,S合min=d 二、滑轮小船 物理情形:如图5所示,岸边的汽车用一根不可伸长的轻绳通过定滑轮牵引水中的小船,设小船始 终不离开水面,且绳足够长,求汽车速度v1和小船速度v的大小关系 模型分析:由于绳不 可伸长,滑轮右边绳子缩 短的速率即是汽车速度 的大小v1,考查绳与船 相连的端点运动情况,v1 和v必有一个运动的合 成与分解的问题 图5

4 先进行平行四边形到三角形的变换，如图 3 所示。 当θ变化时，v 合矢量的大小和方向随之变化，具体情况如图 4 所示。 从图 4 不难看出，只有当 v 合和虚线半圆周相切时，v 合与 v2（下游）的夹角才会最大。此时，v 合⊥ v1 ，v1、v2 和 v 合构成一个直角三角形，αmax = arcsin 2 1 v v 并且，此时：θ= arccos 2 1 v v 有了αmax 的值，结合图 1 可以求出：S 合 min = 1 2 v v d 最后解决 v2＜v1 时结果不切实际的问题。从图 4 可以看出，当 v2＜v1 时，v 合不可能和虚线半圆周相 切（或αmax = arcsin 2 1 v v 无解），结合实际情况，αmax 取 90° 即：v2＜v1 时，S 合 min = d ，此时，θ= arccos 1 2 v v 结论：若 v1＜v2 ，θ= arccos 2 1 v v 时，S 合 min = 1 2 v v d 若 v2＜v1 ，θ= arccos 1 2 v v 时，S 合 min = d 二、滑轮小船 物理情形：如图 5 所示，岸边的汽车用一根不可伸长的轻绳通过定滑轮牵引水中的小船，设小船始 终不离开水面，且绳足够长，求汽车速度 v1 和小船速度 v2 的大小关系。 模型分析：由于绳不 可伸长，滑轮右边绳子缩 短的速率即是汽车速度 的大小 v1 ，考查绳与船 相连的端点运动情况，v1 和 v2 必有一个运动的合 成与分解的问题

(学生活动)如果ⅵ恒定不变,v会恒定吗?若恒定,说明理由;若变化,定性判断变化趋势。 结合学生的想法,介绍极限外推的思想:当船离岸无穷远时,绳与水的夹角趋于零,v2→V。当船 比较靠岸时,可作图比较船的移动距离、绳子的缩短长度,得到v2>Ⅵ。故“船速增大”才是正确结论。 故只能引入瞬时方位角θ,看v和v的瞬时关系 学生活动)Ⅵ和v定量关系若何?是否可以考虑用运动的分解与合成的知识解答? 针对如图6所示的两种典型方案,初步评说一一甲图中v=vcosθ,船越靠岸,θ越大,v2越小 和前面的定性结论冲突,必然是错误的。 错误的根源分析:和试验修 订本教材中“飞机起飞”的运动 分析进行了不恰当地联系。仔细 比较这两个运动的差别,并联系 “小船渡河”的运动合成等事 例,总结出这样的规律 合运动是显性的、轨迹实在v2 的运动,分运动是隐性的、需要 分析而具有人为特征(无唯 性)的运动。 图6 解法一:在图6(乙)中, 当我们挖掘、分析了滑轮绳子端点的运动后,不难得出:船的沿水面运动是≌合运动,端点参与绳子的 缩短运动v和随绳子的转动转,从而肯定乙方案是正确的 即:v2=v1/cos 解法二:微元法。从考查位置开始取一个极短过程,将绳的运动和船的运动在图7(甲)中标示出来 AB是绳的初 识位置,AC 是绳的末位 置,在AB上 取AD=AC D 得D点,并连 接CD。显然, 图中BC是船 甲 的位移大小, DB是绳子的 缩短长度。由 于过程极短,等腰三角形ACD的顶角∠A→0,则底角∠ACD→90°,△CDB趋于直角三角形。将此三 角放大成图7(乙),得出:S2=S1/cos0 鉴于过程极短,绳的缩短运动和船的运动都可以认为是匀速的,即:S2=vt,S1=vt。 所以:v2=v/cos 斜抛运动的最大射程 物理情形:不计空气阻力,将小球斜向上抛出,初速度大小恒为v,方向可以选择,试求小球落回 原高度的最大水平位移(射程)。 模型分析:斜抛运动的常规分析和平抛运动完全相同

5 （学生活动）如果 v1恒定不变，v2会恒定吗？若恒定，说明理由；若变化，定性判断变化趋势。 结合学生的想法，介绍极限外推的思想：当船离岸无穷远时，绳与水的夹角趋于零，v2→v1 。当船 比较靠岸时，可作图比较船的移动距离、绳子的缩短长度，得到 v2＞v1 。故“船速增大”才是正确结论。 故只能引入瞬时方位角θ，看 v1 和 v2 的瞬时关系。 （学生活动）v1和 v2定量关系若何？是否可以考虑用运动的分解与合成的知识解答？ 针对如图 6 所示的两种典型方案，初步评说——甲图中 v2 = v1cosθ，船越靠岸，θ越大，v2 越小， 和前面的定性结论冲突，必然是错误的。 错误的根源分析：和试验修 订本教材中“飞机起飞”的运动 分析进行了不恰当地联系。仔细 比较这两个运动的差别，并联系 “小船渡河”的运动合成等事 例，总结出这样的规律—— 合运动是显性的、轨迹实在 的运动，分运动是隐性的、需要 分析而具有人为特征（无唯一 性）的运动。 解法一：在图 6（乙）中， 当我们挖掘、分析了滑轮绳子端点的运动后，不难得出：船的沿水面运动是 v2 合运动，端点参与绳子的 缩短运动 v1 和随绳子的转动 v 转 ，从而肯定乙方案是正确的。 即：v2 = v1 / cosθ 解法二：微元法。从考查位置开始取一个极短过程，将绳的运动和船的运动在图 7（甲）中标示出来， AB 是绳的初 识位置，AC 是 绳 的 末 位 置，在 AB 上 取 AD = AC 得 D 点，并连 接 CD。显然， 图中 BC 是船 的位移大小， DB 是绳子的 缩短长度。由 于过程极短，等腰三角形 ACD 的顶角∠A→0，则底角∠ACD→90°，△CDB 趋于直角三角形。将此三 角放大成图 7（乙），得出：S2 = S1 / cosθ 。 鉴于过程极短，绳的缩短运动和船的运动都可以认为是匀速的，即：S2 = v2 t ，S1 = v1 t 。 所以：v2 = v1 / cosθ 三、斜抛运动的最大射程 物理情形：不计空气阻力，将小球斜向上抛出，初速度大小恒为 v0 ，方向可以选择，试求小球落回 原高度的最大水平位移（射程）。 模型分析：斜抛运动的常规分析和平抛运动完全相同