22 第10章矩阵位移法 基木思路相同。其要点仍旧是:K由k直接集成;集成包括将k的元 素在K中定位和累加两个环节;定位是依据单元定位向量λ′进行的。 情况的复杂性表现在下列几个方面 在一般情况下要考虑刚架中各杆的轴向变形,而忽略杆件轴向变形的 情况则作为特例来处理; 刚架中每个结点的位移分量要增加到三个:角位移和两个方向的线位 移 刚架中各杆方向不尽相同,在整体分析中需采用整体坐标; 刚架中除刚结点外,还要考虑铰结点等其他情况。 1.结点位移分量的统一编码——总码 b) iA①c(d (1) 0T0 5) 图10-16 考虑例10-1平面刚架(图10-16a)结点A有三个位移分量:沿x和 y方向的线位移uA和vA,角位移6A:它们的总码编为(123)。结点B 为固定端,三个位移分量aB,vg,b8已知为零,其总码编为(000)。结点 C为较支承,其线位移uc和vc已知为零角位移B为未知量,它们的总码 编为(004)。这里仍采用如下规定:对于已知为零的结点位移分量,其 总码均编为0。 此刚架共有四个未知结点位移分量,它们组成整体结构的结点位移向 A=(△1△2△3△4) 8c)
10-5刚架的整体刚度矩阵 相应的结点力向量为 F=(F F2 F, F) 2.单元定位向量 此刚架有两个杆件单元①、②。图中各杄轴玩:的箭头表示各杆局部坐 标系中x轴的正方向。单元在始末两端的六个位移分量的局部码(1), (2),…,(6)在图10-16b中已标明。 在下表中对每个单元给出了单元结点位移分量局部码与总码之间的对 应关系,还给出了各单元的定位向量A。单元定位向量x就是由单元结点 位移总码组成的向量。以后进行单元换码时即以它作为依据。 单元① 局部码→总码 单元定位向量 局部码→总码 单元定位向量 (3)→3 (3)→3 0 (4)→0 (5)→0 (5)→0 (6)→4 (6)-*0 3.单元集成过程 下面按单元①,②的次序进行集成。 首先,考虑单元①: 在整体坐标系中单元①的刚度矩阵k在例10-1中已给出: (2)(3 (5) (6) (1)300KNm0 0 300 kN/m 0 0 12 kN/m 30kN 12 kN/m 30 kN (3) 30 kn 100 KN.m 0 30kN50kN·m (4)-30km0 0 300 kN/m 0 0 12 kNm-30kN 0 12 kN/m-30 KN 30 kN 50 kN.m 0 30kN 100 KN'n (10-38) 根据上表中的单元定位向量0及其换码关系,将k中的()行()列 元素在K中定位于λ,行入列,即得K的阶段结果如下(注意,由丁局部码
第10章矩阵位移法 (4)和(5)对应的总码都是零,因此K的第(4)、(5)行和第(4)、(5)列各元素 在K中都没有座位) K的阶段结果 (6) (1)-→1(300kNm0 0 20 12 kN/m 30 kN 30 kN 10 30 30kN 100 kN.m 50 kN.m (6)→4(030kN50kN·m100N,m (10-3) 其次,考虑单元② k由例10-1得出如下: (1) (2)(3) (4)(5) (6) (1)(12kNm0 12/m 30 kN 0 300 kN/m 0 0 300 kN/m 0 (3)-30kN 100kNm30 m x10 (4)|-12kNm0 30 kn 12 kNm 0 30 KN (5 300kN/m 0 300 kNm 0 (6)(-30kN0 50 kN.m 30 kN 100kN·m (10-40) 按照单元定位向量将k中的元素在K中定位并与前阶段结果累 加,即得K的最后结果奶下(k中的(4)、(5)、(6)各行各列元素在K中均 无座位) K (1)→1j[30+(12)]kN/m0+0 [0+(-30)]kN0 0+(0) 12+(30)kN/m30+(0)kN30kN (3)*30+(-3)kN 30+(0)kN100+(100kNm50kVn×m 50 kN.m 100 KNm (10-41)
§0-5刚架的整体刚度矩阵 4.铰结点的处理 图10-17所小为具有铰结点的刚架。现指出与铰结点有关的一些处理 手法。 首先,考虑结点位移分量的统一编码: 按照前述作法,在固定端B或D处,三个位移分量的总码编为(00 0)。在刚结点A处,编码为(123 但应注意,铰结点处的两杆杆端结点应看作半独立的两个结点(C1和 C2):它们的线位移相同(不独立),而角位移不同(独立)。因此,它们的线位 移应采用同码,m角位移则采用异码。例如结点C1的总码可编为(45 6),而C2则为(457)。 其次,考虑单元定位向量 I团A 图10-17 在图10-17中,单元①、②、③的x轴正方向用箭头标明。各杆的单元 定位向量可由图直接写出如下 ① A=(123456) =(123000) (10-42 (457000) 最后,按①、②、③的次序进行单元集成。 设刚架中各杆的尺寸相同(即例10-1中各杆的尺寸) 首先,考虑单元① k在式(10-38)中已给出。根据式(10-42)中①进行定位,即K的 ①本例各物理量是有单位的,这里介绍的是单元集成的过程,由于矩阵运算的特点,K屮各元 素末注明单位。下同
26 第10章矩阵位移法 第一阶段结果,见式(10-43)。 (1)(2)(3)(4)(5)(6) 4 5 (1)→1 300 0 0-300 0 00 (3)→3 100 500 (4)→4 300 0300 00×10 (5)→5 0 012-300 (6)→*6 03050 0-301000 0 0 00 (2) 3 (1)→1(300+(12)0+(0 0+(-30) 300 0 0 (2)→20+(0)12+(30030+(0) (3)→30+(-30)30+(0)10+(00 500 4{-300 0 0 300 ×10 5 0 12 0 30i0 0 (10-44) 其次,考虑单元②: k°在式(10-40)中已给出。将其中的元素按λ在K中定位并与前阶 段结果累加,即得K的第二阶段结果,见式(10-44)