第三章模态分析 3.1为什么要计算固有频率和模态 )评估结构的动力学特性。如安装在结构上的旋转设备,为避免其过大的振动,必须 看转动部件的频率是否接近结构的任何一阶固有频率 2)评估载荷的可能放大因子。 3)使用固有频率和正交模态,可以指导后续动态分析(如瞬态分析、响应谱分析、瞬 态分析中时间步长M的选取等) 4)使用固有频率和正交模态,在结构瞬态分析时,可以用模态扩张法 5)指导实验分析,如加速度传感器的布置位置 6)评估设计 3.2模态分析理论 考虑 IM]{x}+[K{x}=0 假设其解为 lot e 代入得到特征方程 (K]-)M]){φ}=0 det(K]-^[M])=0 其中,A=O2 1)对N自由度系统,有N个固有频率(,j=1,2,…,N),特征频率,基本频率或共 振频率 2)与固有频率ω,对应的特征向量称为自然模态或模态形状,模态形状对应于结构扰 度图 3)当结构振动时,在任意时刻,结构的形状为它的模态的线性组合
第三章 模态分析 3.1 为什么要计算固有频率和模态 1） 评估结构的动力学特性。如安装在结构上的旋转设备，为避免其过大的振动，必须 看转动部件的频率是否接近结构的任何一阶固有频率。 2） 评估载荷的可能放大因子。 3） 使用固有频率和正交模态，可以指导后续动态分析（如瞬态分析、响应谱分析、瞬 态分析中时间步长 t 的选取等） 4） 使用固有频率和正交模态，在结构瞬态分析时，可以用模态扩张法 5） 指导实验分析，如加速度传感器的布置位置。 6） 评估设计 3.2 模态分析理论 考虑 假设其解为 代入得到特征方程 或 其中， 2 = 1） 对 N 自由度系统，有 N 个固有频率（ j ，j=1,2,…,N）,特征频率，基本频率或共 振频率。 2） 与固有频率 j 对应的特征向量称为自然模态或模态形状，模态形状对应于结构扰 度图 3） 当结构振动时，在任意时刻，结构的形状为它的模态的线性组合
例子 Simply Supported Beam Mode 1 Mode 2 2 Mode 3 3.3自然模态与固有频率性质 (1)正交性 {中;}M3=0 fi≠ {q;}K1{q}=0 fi≠j 中;}"IMφ;} (2)o,的单位 O,单位为ad也可以表示为H( cycles/ seconds),二者换算关系为 O: ( radian/second f her 2π
例子： 3.3 自然模态与固有频率性质 （1） 正交性 （2） j 的单位 j 单位为rad/s, 也可以表示为Hz (cycles/seconds),二者换算关系为
(3)刚体模态 图为一未约束结构,有刚体模态 如果结构完全未约束,有刚体模态存在(应力-自由模态)或机构运动,至少有一固有频率 为0 (4)自然模态的倍数依然为自然模态 10.5 150/191}=/0.66 300 0.33 代表相同的振动模态 (5)模态的标准化 }M{;}=1.0
（3）刚体模态 图为一未约束结构，有刚体模态 如果结构完全未约束，有刚体模态存在（应力-自由模态）或机构运动，至少有一固有频率 为 0。 （4）自然模态的倍数依然为自然模态 如： 代表相同的振动模态 （5）模态的标准化
3.4模态能量 (1)应变位移关系 ie = iUliu (2)应力应变关系 (3)静力-位移关系 P+}=|K{u} (4)单元应变能 V=1/2{u}[K ee l{u。} 因此,对给定的模态位移 模态应变为 { IKu{中;}} 模态应力为 o};={ Koell keyl{9;}} 模态力为 P};={K{;}}与 模态应变能为 K。。9 35特征值解法 对于方程 (K]-AM]){φ}=0 MSC/NASTRAN提供三类解法 a)跟踪法( Tracking method) b)变换法( Tromsformation method) c)兰索士法( Lanczos method)
3.4 模态能量 （1）应变-位移关系 （2）应力-应变关系 （3）静力-位移关系 （4）单元应变能 因此，对给定的模态位移 模态应变为 模态应力为 模态力为 模态应变能为 3.5 特征值解法 对于方程 MSC/NASTRAN 提供三类解法 a) 跟踪法 （Tracking method） b) 变换法 （Tromsformation method） c) 兰索士法（Lamczos method）
351跟踪法 跟踪法解特征值问题,实质是迭代法。 对仅求几个特征值(或固有频率)的问题是一种方便方法。 MSCINASTRAN中,提供两种迭代解法,即为逆幂法(INV)和移位逆幂 法(SINV) 前者存在丢根现象;后者采用 STRUM系列,避免丢根,改善收敛性 逆幂法和移位逆幂法均用模型数据卡EIGR来定义,并用情况控制指令 METHOD来选取。 352变换法 特征方程变换为: [A]φ$}=λ{} 式中矩阵[A]是用 Givens法或 Householder法变换得到的三角矩阵,一次求 解可得全部特征值 对于维数小、元素满的矩阵,且需求全部或大部分特征值问题十分有效; MSC/NASTRAN提供 Givens法(GIV)和修正MGIV法; MSCINASTRAN提供郝斯厚德(HOU法和修正郝斯厚德(MHOU法 吉文斯(GIV)法和郝斯厚德(HOU)法要求[M矩阵正定;修正吉文斯法 (MGⅠV)与修正的郝斯厚德法(MHOU)允许国M是奇异的,从而可求解刚体模态 变换法用模型数据卡EIGR来描述,用情况控制 METHOD选取。 533兰索士Lanz0s法 兰索士( Lanczos)法是一种将跟踪法和变换组合起来的新的特征值解法; 对计算非常大的稀疏矩阵几个特征值问题最有效; 兰索士法用模型数据卡 EIGRL描述,用情况控制 METHOD选取。 534特征值方法比较 上面介绍特征值解法各有用处。比较而言,兰索士法首先推荐的 变换法 跟踪法 兰索士法
3.5.1 跟踪法 跟踪法解特征值问题，实质是迭代法。 对仅求几个特征值（或固有频率）的问题是一种方便方法。 MSC/NASTRAN 中，提供两种迭代解法，即为逆幂法（INV）和移位逆幂 法（SINV） 前者存在丢根现象；后者采用 STRUM 系列，避免丢根，改善收敛性。 逆幂法和移位逆幂法均用模型数据卡 EIGR 来定义，并用情况控制指令 METHOD 来选取。 3.5.2 变换法 特征方程变换为： [A]{} = {} 式中矩阵[A]是用 Givens 法或 Householder 法变换得到的三角矩阵，一次求 解可得全部特征值。 对于维数小、元素满的矩阵，且需求全部或大部分特征值问题十分有效； MSC/NASTRAN 提供 Givens 法（GIV）和修正 MGIV 法； MSC/NASTRAN 提供郝斯厚德(HOU)法和修正郝斯厚德(MHOU)法； 吉文斯（GIV）法和郝斯厚德 (HOU) 法要求[M]矩阵正定；修正吉文斯法 （MGIV）与修正的郝斯厚德法(MHOU)允许[M]是奇异的，从而可求解刚体模态； 变换法用模型数据卡 EIGR 来描述，用情况控制 METHOD 选取。 5.3.3 兰索士(Lanczos)法 兰索士(Lanczos)法是一种将跟踪法和变换组合起来的新的特征值解法; 对计算非常大的稀疏矩阵几个特征值问题最有效; 兰索士法用模型数据卡 EIGRL 描述，用情况控制 METHOD 选取。 5.3.4 特征值方法比较 上面介绍特征值解法各有用处。比较而言，兰索士法首先推荐的 变换法 跟踪法 兰索士法