§10-4连续梁的登体刚度矩阵 17 对应关系 单元定位向量x 局部码→总码 (2)→2 ② 3 由单元的结点位移总码组成的向量称为“单元定位向量”,记为A′。单 元①和②的定位向量也在上表中给出。单元两种编码的对应关系即由单元 定位向量来表示。因此,单元定位向量也可称为“单元换码向量”。 第三,要注意单元刚度矩阵k和单元贡献矩阵K′中元素的排列方式。 在κ中—一元素按局部码排列,或者说,元素按局部码“对号入座”。 在K“中—元素按总码排列,或者说,元素按总码“对号入座”。 为了由单元刚度矩阵k得出单元贡献矩阵K,其作法可概括为“换码 重排座”: 在单元刚度矩阵k巾在单元贡献矩阵K中 换码 元素的原行码(i) 换成新行码λ, 原列码(j) 新列码λ1 (j)→k 重排座原排在(;)行()列的元素改排在x,行列 k 应当指出,换码和重排座,都是根据单元定位向量A进行的。 现按上述作法由k0,k得出K①,K②如下: 上表换码重排座中得出的K,K就是式(10-28)、(10-32)的结果。 总之,出k求K的问题实质上就是中的元素在K中如何定位的问 题。定位规则是 10-36) 即根据单元定位向量2将元素k定在K中入.行礼列的位置上
18 第10章矩阵位移法 单元 单元刚度矩阵k单元定位向量x单元贲献矩阵K (1)(2) ()(2) (1)→14i12i10 (2)(2i4i1 (2}→2|2;,4i10 3(000J (1)(2) (1)(2) 23 (1)/4i22i 000 (2)2i24 2 (1)→204;22 02i24i 3.单元集成法的实施方案 在式(10-35)中,我们将单元集成法分解为两步:第I步是将k中的元 素按照单元定位向量A在k中定位,第Ⅱ步是将各K"中的元素累加。这 样作的目的是为了便于理解。 在单元集成法的实施方案中,我们将两步合成一步,采用“边定位”、“边 累加”的办法,由k直接形成K。这样作的目的是为了使计算程序更为简 洁 详细地说,按照单元集成法形成K的过程就是依次将每个k的元素在 K中按”定位并进行累加的过程。过程的每一步骤可列出如下: (1)先将K置零,这时K=0; (2)将的元素在K中按定位并进行累加,这时K=K (3)将k°的元素在K中按。定位并进行累加,这时K=K0+k; 按此作法对所有单元循环一遍,最后即得到K 现以图10-8a所示连续梁为例,说明上述过程: 将k集成后,得到阶段结果如下 4i;2i10 在此基础上再将k集成,即得最终结果如下:
810-4连续梁的整体度矩阵 19 K (4i3) 此结即为式(10-24) 例10-2试求图10-13a所小连续梁的整体刚度矩阵K 解(1)结点位移分量的总码 此连续梁有三个结点位移分量,即转角△1、△2、△3(图10-13b),其总 码分别编为123 (b) 42 4=0 图10-13 在固定端处的结点位移分量为零。我们规定:凡是给定为零值的结点 位移分量,其总码均编为零。 (2)各单元的定位向量A 单元①、②、③的定位向量可由图10-t3b得出如下 4-(3,x-() (3)单元集成过程 在下表中给出按照单元①、②、③的次序进行集成的过程以及相应的阶 段结果和最终结果 单元单元刚度矩阵k技单元定位 向量换码 集成过程中的阶段结果 (1)(2) (1)→1 D|(1)/42i (2){2i14i (1)→14i12i (2)→22i14i;0 000
第10章矩阵位移法 续表 单元单元刚度矩阵k 按单元定位 向量换码 集成过程中的阶段结果 (1) (2) (1)(2) (1)→2 (2)→3 2 0 (2)\2i44i2 (1)-22;4;+(42)(2) (1)→3 ③(1)/4;2 (2)→0 (2){234 02 +(4i3) 注意,在上表中,当对单元③进行集成时,出现如下的换码情况 这里,局部码(2)对应的总码为0。这表明在k中的(2)行或(2列元素在K 中应定位在0行或0列上,即它们在K中没有座位,在集成过程中应当舍 弃,不于考虑。这种作法的力学解释是:单元③在固定端处的结点位移分量 本来是零,其相应的单元刚度系数对整体刚度系数本来就没有影响,故在集 成过程中应将它们摒除在外 4.整体刚度矩阵的性质 (1)整体刚度系数的意义 K中的元素K称为整体刚度系数。它表示当第j个结点位移分量△ =1(其他结点位移分量为零)时所产生的第i个结点力F。 (2)K是对称矩阵。 (3)按本节方法计算连续梁时,K是可逆矩阵。 关于“可逆性”可说呀如下。可逆与否是由反问题的性质确定的。这 里的反问题是由结点力F来推算结点位移Δ。以图10-8a所示连续梁为 例反问题的力学模型如图10-14所示。由于这是一个几何不变体系,因此
§10-5刚架的整体刚度矩阵 当F指定为任意值时,均可求得Δ的唯一解,故知K是存在的 图10-14 (4)K是稀疏矩阵和带状矩阵 对于图10-15所示n跨连续梁,不难导出其整体刚度方程如下 图10-15 F 412i1 0 F 214i1+i2)22 0224i2+i3)2 F 2n4n-+in)2n||4 Fn 0 4n)(△ (10-37 由此可看出整体刚度矩阵K有许多零元素故为稀疏矩阵。又非零元素都 分布在以主对角线为中线的倾斜带状区域内故K为带状矩阵。 §10-5刚架的整体刚度矩阵 本节讨论用单元集成法求平面刚架的整体刚度矩阵K, 与前节的连续梁相比,基本思路相同,但情况要复杂一些