第10章矩阵位移法 (2)整体坐标系中的单元刚度矩阵k 单元①:a=0°,T=I 单元②:a=90°,单元坐标转换矩阵为 010:000 100:000 001:000 000:010 000 000:001 k =TkT=104 x 12 kN/m 0 30 kN -12 kN/m 0 30 kN 0 300kN/m0 300kN/m0 30 kN 0 100kN·m30kN 50kN·m 12 kN/m 0 0 kn 12 kN/m 0 30 KN 300kN/m0 300kN/m0 KN 50 kN m 30 kN 100kN·m §10-4连续梁的整体刚度矩阵 前两节进行了单元分析,建立了单元刚度方程,推导了单元刚度矩阵。 从本节起转到整体分析,建立整体刚度方程,导出整体刚度矩阵。本节以连 续梁为例,下节讨论刚架的一般情况,并考虑杆件轴向变形的影响 整体刚度方程是按位移法建立的。具体作法有两种:一种是传统位移 法,另一种是本章介绍的单元集成法(也称为刚度集成法或直接刚度法) 单元集成法的优点是便于实现计算过程的程序化。 为了将两种作法加以比较,我们先回顾一下传统作法。 对于图10-8所示的连续梁,位移法基本体系如图10-8b所示。位移 法的基本未知量为结点转角△1、△2、△3,它们可指定为任意值,在基本体系 中用控制附加约束加以指定。它们组成整体结构的结点位移向量Δ A=(△1△,△ 与△1、△2、△3对应的力是附加约束的力偶F1、F2、F3。它们组成整体结构 的结点力向量F F=(F, F2 F3)
§10-4连续梁的整体刚度矩阵 Fy 在传统作法中,我们分别考虑每个结点转角△1、△2、△3独自引起的结 点力偶,如图10-9a、b、c所示。 4/41 2i ① 图 叠加上述三种情况,即得结点力偶F1、F2、F3如下 FI F 2i14i1+4i22i24 (10-22) 0 2 记为 F=KA (10-23) 其中
14 第10章矩阵位移法 K=2i14i1+4 (10-24) 式(10-22)或(10-23)称为整体刚度方程,K称为整体刚度矩阵。 上面简略地回顾了传统位移法,下面详细地介绍单元集成法。 1.单元集成法的力学模型和基本概念 按传统位移法求结构的结点力F时,我们分别考虑每个结点位移对F 的单独贡献(采用图10-9中的力学模型),然后进行叠加。 按单元集成法求F时,我们分别考虑每个单元对F的单独贡献然后进 行叠加——其特点就是“由单元直接集成”。 首先,考虑单元①的贡献。 既然只考虑单元①的单独贡献,因此必须设法略去其他单元的贡献。 为此采用图10-10所示的力学模型,其中令单元②的刚度为零(即令 0)。此时,单元②虽有变形,但不产生结点力,因此,整个结构的结点力是由 单元①单独产生的,记为 2 图10 K表示单元①对结构结点力F的贡献。 下面求此模型的结点力F。由于i2=0,因此 F3=0 而F和F可由单元①的单元刚度矩阵k算出。已知 2 (10-25) 故得 412i1[△1 F3(2 式(a)和(b)可合并写成 4 2i,4i0|4 (10-26) 000J(△3
§10-4连续梁的整体刚度矩阵 15 记为 K 4 其屮 4i12i10 K 2i4i10 (10-28) 000) K表示单元①对整体刚度矩阵提供的贡献,称为单元①的贞献矩阵。 其次,考虑单元②的贡献。 此时,令i=0,力学模型如图10·11所示。其中结点力F=0,而F 和F3则由单元②的单元刚度矩阵k算出。 ① 4;,2i k (10-29) 2i 4i 故得 F2|=04i2224 (10·30) 02i24i2){△ 记为 其中 000 K=04222 (10-32) K称为单元②的贡献矩阵。 可以看出,K是K的同阶矩阵。又K是由k的元素及零元素维成的 矩阵 最后将式(10-27)和式(10-31)叠加,即得出结构的结点力F FF+F=(K+K“)△ (10-33
16 第10章矩阵位移法 由此得出整体刚度矩阵K为 K=K①+K (10-34) 上式表明,整体刚度矩阵为各单元贡献矩阵之和 式(10-34)中的K和K按式(10-28)和(10-32)代入后,所得到的 K与式(10-24)相同。因此,单元集成法与传统位移法是殊途同归的。 从以上讨论中看出,单元集成法求整体刚度矩阵的步骤可表示为 K K 10-35) 这里,在单元刚度矩阵k与整体刚度矩阵K之间增添了一个中间环节 单元贡献矩阵K。单元集成法分解为两步 第Ⅰ步一一由k求K"。 第Ⅱ步一一由K求K。 第Ⅱ步按式(10-34)进行,比较简单。因此,下面将对第I步作进一步的讨 论 2,按照单元定位向量由k求K 图10-12 前已指出,K是由k的元素及零元素重新排列而成的矩阵。这里要着 重讨论k的元素在K中的定位问题。 首先,要注意结点位移(或结点力)有两种编码: 在整体分析中,结点位移在结构中统一进行编码,称为总码。在图 10-12a中,连续梁的结点位移统一编码为1、2、3。 在单元分析中,每个单元的两个结点位移各自编码为(1)和(2),称为局 部码(图10-12b)。局部码加括号,使与总码相区别。 其次,要注意每个单元的结点位移分量两种编码之间的对应关系。对 于图10-12中的单元①和②,其对应关系如下: