§10-2单元剛度矩阵(局部坐标泵) 总之,正反两个问题的力学模型是截然不同的,不能把单儿笼统地称为“自 由单元”。逆矩阵(k)的性质是根据反问题确定的,这里的反问题是按“自 由单元”分析,故得出(k)不存在的结论。 3.特殊单元 式(104)是…般单元的刚度方程,其中六个杆端位移可指定为仟意 值。在结构中还有一些特殊单元,单元的某个或某些杆端位移的值已知为 零,而不能任意指定。各种特殊单元的刚度方程无需另行推导,只需对一般 单元的刚度方程(10-4)作一些特殊处理便可自动得到。 举例来说,计算连续梁时,我们通常忽略轴向变形。如取每跨梁作为单 元(图10-4),则只有两个杆端位移分量1,02可指定为任意值,而其余四 个分量均已知为零: u1=v1 7,=0 图10-4 将式(a)代人式(10-4),即自动得出此特殊单元的刚度方程如下: 4EI 2EI EI 4EI (10-9) 此时单元刚度矩阵为 4EI 2EI (10-10) 2EI 4EI 实际上这个特殊单元刚度矩阵(10-10)可由式(10-6)的一般单元刚度矩 阵删去第(1)、(2)、(4)、(5)行和列后自动得出 用同样方法还可以得出其他各种特殊单元的刚度方程和刚度矩阵。 在结构矩阵分析中,我们着眼于计算过程的程序化、标准化和自动化。 因此,我们不去把各种非标准化的特殊单元刚度矩阵都罗列出来,以免头绪 太多:而只采用一种标准化形式一般单元的刚度矩阵(10-6),关于单 元刚度矩阵的各种特殊形式将由计算机程序去自动形成 顺便指出,某些特殊单元的刚度矩阵是可逆的。例如式(10-10)中的
第10章矩阵位移法 ,其逆矩阵存在。 逆矩阵(E")ˉ是否存在,完全根据反问题的力学模型来确定。对于图 10-4所示特殊单元来说,正问题的力学模型如图10-5a所示,每端有两个 支杆和一个控制转角的附加约束,01和B2可指定为任意值 (b)M 图10-5 反问题的力学模型如图10-5b所示,每端有两个支杆,杆端力矩M1、 M2可指定为任意值。由于反问题的力学模型是一个几何不变体系,因此 当M1、M2为任意值时,杆端转角1、B2有解,且为唯一解。由此得出 ()-存在的结论。 §10-3单元刚度矩阵(整体坐标系) 坐标系是一个数学工具,可根据需要而灵活选用。 在上一节,我们选用局部坐标系,以杆件轴线作为交轴。这样作的目的 是希望导出的单元刚度矩阵具有最简单的形式。 在本节中,我们从整体分析的角度来考虑。在一个复杂结构中,各个杆 件的杆轴方向不尽相同,各自的局部坐标系也不尽相同,很不统一。为了便 于进行整体分析,必须选用一个统一的公共坐标系称为整体坐标系。为了 区别,用,y表示局部坐标,用x,y表示整体坐标。 为了推导整体坐标系中的单元刚度矩阵k,我们采用坐标变换的方法 第一步,先讨论两种坐标系中单元杆端力的转换式,得出单元坐标转换矩 阵;第二步,再讨论两种坐标系中单元刚度矩阵的转换式。 (1)单元坐标转换矩阵 首先分析单元杆端力在不同坐标系中的关系。图10-6a所示为一单元 ,其局部坐标系为Ox,整体坐标系为Ory,由x轴到z轴的夹角a以顺时
810-3单元刚度矩阵(整体坐标系) 9 针转向为正。局部坐标系中的杆端力分量用F、F、M表示。整体坐标系 中则用F、F、M表示,如图10-6b所示。显然,二者有下列关系 M 图10-6 Fa= Fi cos a+ Fr sin a FM=-FMI M=M F22= F&2 cos a+ Fe sin a Fy=-Fr2sin a+ Fs2 M2=M2 将式(10-11)写成矩阵形式 coS a sin a 0:0 001Fn sn a as a F M 0 01:0 00M1 F 0 00 F 00 os a o M 10-12) 或简写成 F= TF (10-13)
10 第10章矩阵位移法 式中T称为单元坐标转换矩阵 cos a sin a 0 0 sin a cos a 00 (10-14) 00 cos a sin a 0 00: -sin a 00 0 式(10-13)是两种坐标系中单元杆端力的转换式 叮以证明,单元坐标转换矩阵T为一正交矩阵。因此,其逆矩阵等于其 转置矩阵,即 T=T (10-15) TTETT=I 式中I为与T同阶的单位矩阵。 式(10-13)的逆转换式为 F=T Fr (10 同理,可以求出单元杆端位移在两种坐标系中的转换关系。设局部坐 标系中单元杆端位移列阵为A,整体坐标系中单元杆端位移列阵为Δ,则 4=TA (10-18) A=TA (10-19) (2)整体坐标系中的单元刚度矩阵 单元杆端力与杆端位移在整体坐标系中的关系式可写为 F=kΔ (10-20) 其中k称为在整体坐标系中的单元刚度矩阵。 现在来找出k与局部坐标系中单元刚度矩阵k的转换关系。 单元e在局部坐标系中的刚度方程为 F"=k△ 将式(10-13)和(10-18)代入式(a),得到 TF=瓦TA 等式两边各前乘T,并引入式(10-16),得 F=TkrΔ 比较式(b)与(10-20),可知 k=TkT (10-21) 式(10-21)就是在两种坐标系中单元刚度矩阵的转换关系。只要求出单元 坐标转换矩阵T,就可以由k计算k
§10-3单元则度矩阵(整体坐标衮) 整体坐标系中的单元刚度矩阵k“与k同阶,具有类似的性质: (1)元素k,表示在整体坐标系屮第(j)个杆端位移分量等于1时引 起的第(i)个杆端力分量 (2)k’是对称矩阵。 (3)一般单元的k是奇异矩阵。 例10-1试求图07所示刚架中各单元在整体坐标系中的刚度矩 阵k。设各杆的杆长和截面尺寸相同 -5n l=5m,hh=0.5m×1m(截面尺寸) A=0.5m2,I E=3×10MPa 2=300×10kNm.FM225×10kNm 解(1)局部坐标系中的单元刚度矩阵k 图中用箭头标明各杆局部坐标的正方向。由于单元①、②的尺寸相 同,故k与k相等。由式(10-6)得 300 kN/m 0 0 300 kN/m 0 12 kN/m 30 kN 0 2 kN/m 30 kN 30 kN 0 30 kN 50kN·m 300 kN/n 0 0 300kN/m0 0 12 kN/m 30 kN 12 kN/m-30 kN 30 kN 50kN·m0 30 KN 100 kN.m