第10章矩阵位移法 构的有限元法。在本章中将使用有限元法中的一些术语和提法。 有限元法的要点是:先把整体拆开,分解成若十个单元(在杆件结构中 般把每个杆件取作一个单元),这个过程称作离散化。然后再将这些单元 按一定的条件集合成整体。在一分一合,先拆后搭的过程屮,把复杂结构的 计算问题转化为简单单元的分析和集合问题。 因此,有限元法包含两个基本环节:一是单元分析,二是整体分析。 在矩阵位移法中,单元分析的任务是建立单元刚度方程,形成单元刚度 矩阵;整体分析的主要任务是将单元集合成整体,由单元刚度矩阵按照刚度 集成规则形成整体刚度矩阵,建立整体结构的位移法基本方程,从而求出解 答 在单元分析方面,单元的刚度方程在第8章中已经导出,在本章中只是 将已有结果表示为矩阵形式,并讨论在任意坐标系中单元刚度方程的通用 形式 在整体分析方面将根据计算过程程序化的要求提出直接由单元刚度 导出整体刚度的集成规则,这个集成规则是矩阵位移法的核心内容 §10-2单元刚度矩阵(局部坐标系) 本节和下一节对平面结构的杆件单元进行单元分析,得出单元刚度方 程和单元刚度矩阵。 第8章给出的转角位移方程实际上就是梁单元的刚度方程。梁单元是 杆件单元的特例。 本节推导单元刚度方程时所用的方法不是新的,但有几点新的考虑:重 新规定正负号规则,讨论杆件单元的一般情况,采用矩阵表示形式 1.一般单元 图10-1所示为平面刚架中的一个等截面直杆单元e。设杆件除弯曲 变形外,还有轴向变形。左右两端各有三个位移分量(两个移动、一个转 动)杆件共有六个杆端位移分量,这是平面结构杆件单元的一般情况。设 杆长为L,截面面积为A,截面惯性矩为I弹性模量为E。单元的两个端点 采用局部编码1和2。由端点1到端点2的方向规定为杆轴的正方向,在图 中用箭头标明
810-2单元刚度矩阵(局部生标系) 图10-1 图中采用坐标系,其中轴与杆轴重合。这个坐标系称为单元坐标 系或局部坐标系。字母x、y的上面都划上一横,作为局部坐标系的标志。 在局部坐标系中,一般单元的每端各有三个位移分量a、5、6和对应的 三个力分量F、F、M。图10-2中所示的位移、力分量方向为正方向。 图10-2 单元的六个杆端位移分量和六个杆端力分量按一定顺序排列,形成单 元扦端位移向量Δ’和单元杆端力向量F如下: Δ=(△a (,西,61a2v2B2 F=(F F2) F(3 F4 Fc (10-1) Fyl M Fn? Fy2 M2 向量中的六个元素的序码记为(1),(2),…,(6)。由于它们是在每个单元中 各自编码的(不是在刚架所有单元中统一编码的),因此称为局部码—一杆 端位移分量(或杆端力分量)的局部码。数码(1),(2),…都加上括号,作为 局部码的标志 现在讨论单元的刚度方程。 单元刚度方程是指由单元杆端位移求单元杆端力时所建立的方程
第10章矩阵位移法 记为“△→F”方程①。 为了建立单元刚度方程,我们按照位移法基本体系的作法,在杆件两端 加上人为控制的附加约束使基本体系在两端发生任意指定的位移Δ,如图 10-3所示。然后根据A′来推算相应的杆端力F。 I母 图10-3 我们忽略轴向受力状态和变曲受力状态之间的相互影响,分别推导轴 向变形和弯曲变形的刚度方程。 首先,由杆端轴向位移1、2可推算出相应的杆端轴向力、F1、F2 (a1-a2) (10-2) 萁次,由杆端横向位移υ、v和转角丌、可推算出相应的杆端横向 力Fn、F和杆端力矩M1、M2。根据转角位移方程(8-5)和(8-6),并改 用本章的记号和正负号,即得 M 4EI 2EI- 6EI (d-v2) M2=2Bb2+4E1+E(可-可) 6EI (1+6)+-(v-) F=-0(+)-(可-可) 上面六个刚度方程(10-2)和(10-3)实际上在位移法中已经推导过。 现在将它们合在一起,写成矩阵形式如下 这里不是讨论它的反问题—建立“F→△”方程。因为正问题与反问题是性质不尽相同 的两个问题。例如,可能出现如下情况:正问题成京(正向题有解)而反问题不成立(反问题没有 解
810-2单元刚度矩阵(局部坐标系 EA l I2EI BEI 0-26Er U1 6ET 4EI 2EI 0 6E l EA 1 0 EA 0a2 12EI 6EI 12EI 6EI bE 6ET 6, (10-4) 上式可记为 F"-k4 其屮 (l) (6) (a1=1)(v1=1)(61=1) 1)(可2 EA EA 0 12Er hEr (2) 12EI 6EI (3) 6El dEL 6El 2EI k (4) EA EA 12EI (5 6El 12EⅠ6EI 6El 2EI 0 6EI dEl 式(10-5)即为所求的“△→F”方程,称为在局部坐标系中的单元刚度方程。 矩阵k称为局部坐标系中的单元刚度矩阵。它是6×6方阵。 2.单元刚度矩阵的性质 (1)单元刚度系数的意义 k中的每个元素称为单元刚度系数,代表由于单位杆端位移所引起的
第10章矩阵位移活 杆端力例如,第(6第(3列元素k(即元素2)代表当第(3)个杆 端位移分量θ1=1时引起的第(6)个杄端力分量M2。一般来说,第()行第 (j)列元素k代表当第(j)个杆端位移分量Δ等于1(其他位移分量为 零)时所引起的第(i)个杆端力分量F,的值 k中某一列的六个元素分别表示当某个杆端位移分量等于1时所引起的六 个杆端力分量。例如,第1列对应于单位位移v1=1所引起的杆端力。为了帮 助理解,在式(10-6)中在k每一列的上方都标明了对应的单位位移分量。 (2)k是对称矩阵 k的对称性是指其元素有如下关系: (x)()=()() (10-7) 这实际上是根据反力互等定理得出的结论。 (3)一般单元的k是奇异矩阵 k的奇异性是指其行列式等于零,即 k|= (10-8) 直接计算式(10-6)的矩阵行列式,便可验证上述结论。 出此可知,k不存在逆矩阵。也就是说,根据单元刚度方程(10-5),可 以由杆端位移A’推算出杆端力F",且F的解是唯一解;但不能由杆端力 F反推出杆端位移A',A'可能无解,如有解,则为非唯一解。这里我们讨论 了正反两个问题,而它们是性质不同的两个问题。如果把二者不加区别,就 会造成概念上的混乱。 为了避免混淆我们把正反两个问题再从数学提法、力学模型、解的性 质等方面作一对比。 正问题 反问题 (△→F (F→A) 数学提法A为任意指定值F为待求量。F为任意指定值,为待求量。 把单元按“两端有六个人工控制的 力学模刑附加约束的杆件(位移法基本体 把单元按“两端自由的杆件”来分 系)米分析—△由控制附加约束析—F直接加在自由端作为指 而加以指定。 定的杆端力。 A为任意值时,F都有解,且为唯 F为不平衡力系时,A没有解。 解的性质 解 F为平衡力系时,A’有解,但为非 F总是一个平衡力系,不可能是不 唯一解(因为自由杆件除本身变形 平衡力系。 外还可有任意刚体位移)。 (k)不存在