二、幂级数及其收敛性 今幂级数 在函数项级数中,形如 astata,x=+ +a,x+ 的级数称为幂级数,其中常数a(=1,2,…)叫做幂级数的系数 幂级数举例 幂级数 +X+X2+x3+ +x+· 是公比为x的几何级数它在kxk<1时收敛,在1时发散 因此它的收敛域为(-1,1),在收敛域内有 1+x+x2+x3+…+xn+ 首页 上页 返回 结束 铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 幂级数 1+x+x 2+x 3+ +x n+ 是公比为x的几何级数. 因此它的收敛域为(−1 1) 1 1 1 2 3 = + + + + + + − n x x x x x . 它在|x|1时收敛 在|x|1时发散. 在收敛域内有 下页 在函数项级数中 形如 a0+a1 x+a2 x 2+ +an x n+ 的级数称为幂级数 其中常数ai (i=1,2, )叫做幂级数的系数. ❖幂级数 幂级数举例: 二、幂级数及其收敛性
令定理1(阿贝尔定理) 如果幂级数∑ax当x=x0(x0≠0)时收敛,则适合不等式 xKkx的一切x使幂级数∑ax"绝对收敛 反之,如果幂级数∑ar当x=x0时发散,则适合不等式 >x的一切x使幂级数∑anx发散.>>定理证 appro ro o 注 ∑anx是幂级数∑anx怕简记形式 n=0 首页 上页 返回 结束 铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 如果幂级数∑an x n当x=x0 (x00)时收敛 则适合不等式 |x|<|x0 |的一切x使幂级数∑an x n绝对收敛. 反之 如果幂级数∑an x n当x=x0时发散 则适合不等式 |x|>|x0 |的一切x使幂级数∑an x n发散. 注: ∑an x n是幂级数 的简记形式. n=0 n n a x 下页 |x|<|x0 |x|>|x | 0 | |x|>|x0 | ❖定理1(阿贝尔定理) >>>定理证明