1先后x的积分 在上面的讨论中,看到一个二重积分可以化为二次积 分,一般情况如何? 设区域D满足如下条件:过区域D的内部而平行于y轴 的直线与D的边界至多只有两个交点。这样的区域称为 X型区域。非x型区域可以转化成 若干个x型区域的并,故只需讨论 x型区域的积分问题。如图是一个 x型区域
1.先y后x的积分 在上面的讨论中，看到一个二重积分可以化为二次积 分，一般情况如何？ 设区域D满足如下条件：过区域D的内部而平行于y轴 的直线与D的边界至多只有两个交点。这样的区域称为 X型区域。非x型区域可以转化成 若干个x型区域的并，故只需讨论 x型区域的积分问题。如图是一个 x型区域. y x o D
而下图的区域是非型区域,但可以划分成三个x型区 域 D D D
而下图的区域是非x型区域，但可以划分成三个x型区 域。 y D D1 D2 D3 o x
4积分方法:1.将区域投影至x轴,得区间{a,b; 2以x=a,xC=b将区域的边界分割成曲线=q1(x),y=a2x); 02(x) f(x, y)do= dx f(x, y)dy q1(x) D y y=lr D y=o) o a
积分方法：1.将区域投影至x轴，得区间[a, b]; 2.以x=a, x=b将区域的边界分割成曲线y=ϕ1(x), y=ϕ2(x); 则 y x o D a b y= ϕ1(x) y=ϕ2(x) 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) . b x a x D f x y d dx f x y dy ϕ ϕ σ = ∫∫ ∫ ∫
2先x后y的积分 同理,将区域投影至y轴上,得区间c,d,以及左、 右曲线x(y),x=2(y),则 d n2(x) f(x, y)do= dy f(x, y) ax (x) ↑y D x=p2()
2.先x后y的积分 同理，将区域投影至y轴上，得区间[c, d]，以及左、 右曲线x=φ1(y)，x=φ2(y)，则 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) . d x c x D f x y d dy f x y dx φφ σ = ∫∫ ∫ ∫ y x o D c d x= φ1(y) x= φ 2(y)
例化下列积分为两个二次积分。 ∫(x,ylbD=(xy) asxsb,csy≤d 解如图所示,区间为|a,b],左、右曲线为y=c,y=d, 故 f(,ydo=dx[ f(x, y)d) dyl f(x, y)dx
例 化下列积分为两个二次积分。 1. ( , ) {( , ) , }. D f x y dxdy D = ≤ x y a x ≤ b c ≤ y ≤ d ∫∫ 解 如图所示，区间为[a, b]，左、右曲线为y=c，y=d， 故： ( , ) ( , ) ( , ) b d a c D d b c a f x y d dx f x y dy dy f x y dx σ = = ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ x y o a b c d