范线性空间上微分学——隐映照定理与逆映照定理 谢锡麟 所以有 Df(x,(x)·(Df-(x,(x)D-f(x,(x)△x+f(x+△n)-f(x)z <e1+ 注:由于Dyf(xo,)∈x(X;Y)可逆,则一开始便可取Bx(xo),B1(30),使得对vx∈Bx(xo),y∈ B4(3),Df(x,y)∈(X;Y)可逆.估计 D)-1(x,(x)Dnf(x,(x)△x+(x+4)-(x)}y =|(Df)-(x,(x)·{Df(x,(x)·[(Df)-(x,(x)Daf(x,5(x)△x +(x+△)-(x)}y ≤|Df(x,(x)·【Df)-(x,()Dnf(x,()△r+(x+△r)-f(]l (Dy 5)(z, 5(a))e(z: Y) ≤DD()(+)k 即有 △kK(x+△n)-(m)+(Dn)(a.(),Df(x.(),△rly <(Dn)(a,s(a)2((1+ 即有 (x+△x)=5(x)-(Df)-(x,5(x)·Drf(xr,(x)△x+o(△x|x)∈Y 亦即5(x)在Bx(xo)上可微,且 D(x)=-(Df)-(x,5(x)·Df(x,(x),x∈B(ro) 即有∈(Bx(x)Y 1.3由压缩映照定理获得逆映照定理 定理13(逆映照定理).有f(x)∈岩(D;X),彐xo∈D,满足Df(xo)∈x(X;X)可逆,则 局部存在61-微分同胚.亦即彐Bx(x0)cDx,满足 f(a)E8(B(co); f(BA(co))) 证明直接利用有界闭集上的压缩映照定理,首先作B0(xo)cDx,Bl0(3)cX以及辅助 v(x):Bx0(xo)3x→vy(x)=x+(Df)-1(xo)(y-f(x)∈X,Vy∈B(vo) 如果对Vy∈B(o),彐ry∈Bxo(xo),满足 vy(xy)=xy或者y=f(xy)
赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 隐映照定理与逆映照定理 谢锡麟 所以有 Dyf(x, ξ(x)) · [(Dyf) −1 (x, ξ(x))Dxf(x, ξ(x))∆x + ξ(x + ∆x) − ξ(x)] Z < ε ( 1 + M α ) |∆x|X. 注: 由于 Dyf(x0, y0) ∈ L (X; Y ) 可逆, 则一开始便可取 Bλ(x0), Bµ(y0), 使得对 ∀ x ∈ Bλ(x0), y ∈ Bµ(y0),Dyf(x, y) ∈ L (X; Y ) 可逆. 估计 (Dyf) −1 (x, ξ(x))Dxf(x, ξ(x))∆x + ξ(x + ∆) − ξ(x) Y = (Dyf) −1 (x, ξ(x)) · { Dyf(x, ξ(x)) · [(Dyf) −1 (x, ξ(x))Dxf(x, ξ(x))∆x + ξ(x + ∆x) − ξ(x)]} Y 6 Dyf(x, ξ(x)) · [ (Dyf) −1 (x, ξ(x))Dxf(x, ξ(x))∆x + ξ(x + ∆x) − ξ(x) ] Z · (Dyf) −1 (x, ξ(x)) L (Z;Y ) 6 (Dyf) −1 (x, ξ(x)) L (Z;Y ) ( 1 + M α ) ε|∆x|X, 即有 1 |∆x|X ξ(x + ∆x) − ξ(x) + (Dyf) −1 (x, ξ(x)) · Dxf(x, ξ(x)) · ∆x Y < (Dyf) −1 (x, ξ(x)) L (Z;Y ) ( 1 + M α ) ε, 即有 ξ(x + ∆x) = ξ(x) − (Dyf) −1 (x, ξ(x)) · Dxf(x, ξ(x))∆x + o(|∆x|X) ∈ Y, 亦即 ξ(x) 在 Bλb(x0) 上可微, 且 Dξ(x) = −(Dyf) −1 (x, ξ(x)) · Dxf(x, ξ(x)), ∀ x ∈ Bλb(x0), 即有 ξ ∈ C 1 (Bλb(x0); Y ). 1.3 由压缩映照定理获得逆映照定理 定理 1.3 (逆映照定理). 有 f(x) ∈ C 1 (Dx; X), ∃ x0 ∈ Dx, 满足Df(x0) ∈ L (X; X) 可逆, 则 局部存在 C 1 -微分同胚. 亦即 ∃ Bλ(x0) ⊂ Dx, 满足 f(x) ∈ C 1 (Bλ(x0); f(Bλ(x0))). 证明 直接利用有界闭集上的压缩映照定理, 首先作 Bλ0 (x0) ⊂ Dx , Bµ0 (y0) ⊂ X 以及辅助 映照 ψy(x) : Bλ0 (x0) ∋ x 7→ ψy(x) = x + (Df) −1 (x0)(y − f(x)) ∈ X, ∀ y ∈ Bµ0 (y0). 如果对 ∀ y ∈ Bµ0 (y0), ∃ xy ∈ Bλ0 (x0), 满足 ψy(xy) = xy 或者 y = f(xy), 6
赋范线性空间上微分学——隐映照定理与逆映照定理谢锡麟 如果上述不动点唯一存在,则可作 n(y)∈x, 满足 7(y)∈Bx0(x0) y=f(n(y),Vy∈B(30), 藉此作 U{x∈Bx(ro)f(x)∈B0()} 现假设已证不动点唯一存在,则有 1.U为开集.考虑到∫(x)在BA(xo)上的连续性,故对:x∈U,VE>0,三6>0,成立: f(B2(x)CBe(f(x)CB0(9),即有B2(x)cU 2.f(x)在U上为单射.利用反证法,设 f(x1)=∫(x2)∈B(90) 记y=f(x1)=f(x2)则按上述求解的唯一性,彐!xy∈B0(xo),满足y=f(xy),而有 x1=x2=x,同假设矛盾 f(U)=Bu(30).显然f(U)cB(0).考虑vy∈B1(),则彐!ry∈B0(xo).满足 f(xy)=y∈B10(30).由此有Bn(o)cf(U) 综上,f(x)实现B10(x)U同f(U)=B10(3)之间的双射,故存在逆映照 又由对vy∈B1(90)有y=f(n(y),所以对vy∈B1(y0)有f-1(y)=f- o fon(y)=n(y) 因此有 f(y=n(u), Vy E Bu(yo) 故以下对vy∈B0(o),在BA0(xo)中寻找xy满足y=f(xy) 考虑 a'y(a): B\o(ao)9 Hvy(a)=a+(Df)-(ao)(y-f(rD)EX, 易见,存在上述xy∈B(ro),使得vy(xy)=xy即为不动点 第一步,估计 lvy(a)-colx=lvy(a)-vyoro)Ix=l(y, c)-v(yo, co)lx <l(y, r)-p(yo, r)lx +l/(yo, r)-(yo, ro)Ix ≤sup、|Dv(9o+2(y-9),x)(x)·ly-9olx Dx(30
赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 隐映照定理与逆映照定理 谢锡麟 如果上述不动点唯一存在, 则可作 η(y) : Bµ0 (y0) ∋ y 7→ η(y) ∈ X, 满足 η(y) ∈ Bλ0 (x0), y = f(η(y)), ∀ y ∈ Bµ0 (y0), 藉此作 U , {x ∈ Bλ0 (x0)|f(x) ∈ Bµ0 (y0)} . 现假设已证不动点唯一存在, 则有 1. U 为开集. 考虑到 f(x) 在 Bλ0 (x0) 上的连续性, 故对: x ∈ U, ∀ ε > 0, ∃ δε > 0, 成立: f(Bδε (x)) ⊂ Bε(f(x)) ⊂ Bµ0 (y0), 即有 Bδε (x) ⊂ U. 2. f(x) 在 U 上为单射. 利用反证法, 设 x1, x2 ∈ U , x1 ̸= x2, f(x1) = f(x2) ∈ Bµ(y0). 记 y = f(x1) = f(x2) 则按上述求解的唯一性, ∃ !xy ∈ Bλ0 (x0), 满足 y = f(xy), 而有 x1 = x2 = xy, 同假设矛盾. 3. f(U) = Bµ0 (y0). 显然 f(U) ⊂ Bµ0 (y0). 考虑 ∀ y ∈ Bµ(y0), 则 ∃ !xy ∈ Bλ0 (x0). 满足 f(xy) = y ∈ Bµ0 (y0). 由此有 Bµ(y0) ⊂ f(U). 综上, f(x) 实现 Bµ0 (x0) ⊃ U 同 f(U) = Bµ0 (y0) 之间的双射, 故存在逆映照. 又由对 ∀ y ∈ Bµ(y0) 有 y = f(η(y)), 所以对 ∀ y ∈ Bµ(y0) 有 f −1 (y) = f −1 ◦ f ◦ η(y) = η(y). 因此有 f −1 (y) = η(y), ∀ y ∈ Bµ(y0). 故以下对 ∀ y ∈ Bµ0 (y0), 在 Bλ0 (x0) 中寻找 xy 满足 y = f(xy). 考虑 ψy(x) : Bλ0 (x0) ∋ x 7→ ψy(x) = x + (Df) −1 (x0)(y − f(x)) ∈ X, 易见, 存在上述 xy ∈ Bλ0 (x0), 使得 ψy(xy) = xy 即为不动点. 第一步, 估计 |ψy(x) − x0|X = |ψy(x) − ψy0 (x0)|X = |ψ(y, x) − ψ(y0, x0)|X 6 |ψ(y, x) − ψ(y0, x)|X + |ψ(y0, x) − ψ(y0, x0)|X 6 sup θ2∈(0,1) |Dyψ(y0 + θ2(y − y0), x)|L (X;X) · |y − y0|X + sup θ1∈(0,1) |Dxψ(y0, x0 + θ1(x − x0))|L (X;X) · |x − x0|X , 7
赋范线性空间上微分学——隐映照定理与逆映照定理谢锡麟 此处 w(y, a)=vy()=r+(Df)-(ro)(y-f()), Vy E BHo(yo), a E Bo(ro) Dy(y,x)=(Df)-1(x0), D2v(v,x)=Ix-(Df)-1(xo)Df(x)=(Df)-1(xo)·[Df(xo)-Df(x)] 故 ly(=)-colx <I(Df)(co)ls(xx) ly-yolx +I(Df)-()le(x: x).Df(ao)-Df(a)le(x: x) lz--olx 考虑到f(x)∈61(D;Rm),故可缩小A到A1,使得 I(Df)-(ole(: x). IDf(o)-Df()ls(x: x)<2 再缩小p0到p1,使得 (Dn(0)x1-列lx<2 综上,有 Ivy(a)-colx< A+5-xx<A,Wx∈Bx1(zo) 即有vy∈B(0),有vy(BA1(xo)CBx1(xo)cBx1(xo) 第二步,估计压缩性,即 Ivy(a1)-vy(a2)x=l/(9, 1)-v(y, 22)Ix ≤sup、|Dv(y,x1+1(x2-x)2(x:x)·|x1-xlx 61∈(0,1) 综上有:y(x)为BA1(xo)上的压缩映照,此处Ⅴy∈Bn1(0).故彐!xy∈Bhx(xo),满足 vy(xy)=xy∈B1(xo) 故可作 n(y): Bu(yo)3yH)n(y)=yEX, 满足 7(y)∈Ba1(3o) y=fon(y),Vy∈Bn1(o)
赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 隐映照定理与逆映照定理 谢锡麟 此处 ψ(y, x) , ψy(x) = x + (Df) −1 (x0)(y − f(x)), ∀ y ∈ Bµ0 (y0), x ∈ Bλ0 (x0), Dyψ(y, x) = (Df) −1 (x0), Dxψ(y, x) = IX − (Df) −1 (x0)Df(x) = (Df) −1 (x0) · [Df(x0) − Df(x)], 故 |ψy(x) − x0|X 6 (Df) −1 (x0) L (X;X) |y − y0|X + (Df) −1 (x0) L (X;X) · |Df(x0) − Df(x)|L (X;X) · |x − x0|X . 考虑到 f(x) ∈ C 1 (Dx; R m), 故可缩小 λ0 到 λ1, 使得 (Df) −1 (x0) L (X;X) · |Df(x0) − Df(x)|L (X;X) < 1 2 . 再缩小 µ0 到 µ1, 使得 (Df) −1 (x0) L (X;X) · |y − y0|X < 1 2 λ1. 综上, 有 |ψy(x) − x0|X < 1 2 λ1 + 1 2 |x − x0|X < λ1, ∀ x ∈ Bλ1 (x0), y ∈ Bµ1 (y0), 即有 ∀ y ∈ Bµ(y0), 有 ψy(Bλ1 (x0)) ⊂ Bλ1 (x0) ⊂ Bλ1 (x0). 第二步, 估计压缩性, 即 |ψy(x1) − ψy(x2)|X = |ψ(y, x1) − ψ(y, x2)|X 6 sup θ1∈(0,1) |Dxψ(y, x1 + θ1(x2 − x1))|L (X;X) · |x1 − x2|X . < 1 2 |x1 − x2|X . 综上有: ψy(x) 为 Bλ1 (x0) 上的压缩映照, 此处 ∀ y ∈ Bµ1 (y0). 故 ∃ ! xy ∈ Bλ1 (x0), 满足 ψy(xy) = xy ∈ Bλ1 (x0). 故可作 η(y) : Bµ1 (y0) ∋ y 7→ η(y) = xy ∈ X, 满足 η(y) ∈ Bµ1 (y0), y = f ◦ η(y), ∀ y ∈ Bµ1 (y0). 8
赋范线性空间上微分学——隐映照定理与逆映照定理谢锡麟 以下证η(y)的连续性,即n(y)∈C(B2(o);x).估计 n(y+△y)-n(y)x=|vy+△y(m(y+△y)-vy((y)x (3+△y,m(y+△y)-v(3,n(y)lx ≤p(y+△y,m(y+△y))-v(y,n(y+△y)lx+|v(y,n(y+△y)-v(3,n(y)x ≤sup、|Dvy+02△y,m(y+△y)(x:x)△ylx sup Dx (y, n(y)+B1(n(y+ Ay)-n(y)))le(x: x)Im(y Ay)-n()lx 61∈(0,1) (D)-(ao)2(x△yx+2(y+△y)-m(y)kx 即有 my+△y)-m()kx<2(Df)-1(xo)lzxx)1△ylx 所以 以下证 n(y)∈(B1(0)X) 考虑 f(x)∈6(D2 故有 f(x+△x)-f(x)=Df(x)·△x+o(△xlx),Vx∈Dx 现取 T=n(y),Vy∈B0(3o), △x=m(y+△y)-(y) 则 x=fon(y+△y)-fom(y) △ △y=Df(x)·(n(y+△y)-m(y)+o(m(y+△y)-m(y)x) 此处要求 3(Df)-1(x)∈x(x;X),Vx∈Bx1(xo) 由于彐Df(xo)∈x(X;x)可逆,故在选定B0(x)时,就可使得对Ⅴx∈B0(xo),都有 彐(Df)-1(x)由于 my+△y)-m(y)x<2|(Df-1(xo)l(xx)|4列
赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 隐映照定理与逆映照定理 谢锡麟 以下证 η(y) 的连续性, 即 η(y) ∈ C(Bµ1 (y0); X). 估计 |η(y + ∆y) − η(y)|X = |ψy+∆y(η(y + ∆y)) − ψy(η(y))|X = |ψ(y + ∆y, η(y + ∆y)) − ψ(y, η(y))|X 6 |ψ(y + ∆y, η(y + ∆y)) − ψ(y, η(y + ∆y))|X + |ψ(y, η(y + ∆y)) − ψ(y, η(y))|X 6 sup θ2∈(0,1) |Dyψ(y + θ2∆y, η(y + ∆y))|L (X;X) |∆y|X + sup θ1∈(0,1) |Dxψ(y, η(y) + θ1(η(y + ∆y) − η(y)))|L (X;X) |η(y + ∆y) − η(y)|X < (Df) −1 (x0) L (X;X) |∆y|X + 1 2 |η(y + ∆y) − η(y)|X , 即有 |η(y + ∆y) − η(y)|X < 2 (Df) −1 (x0) L (X;X) |∆y|X , 所以 η(y) ∈ C(Bµ1 (y0); X). 以下证 η(y) ∈ C 1 (Bµ1 (y0); X), 考虑 f(x) ∈ C 1 (Dx; X), 故有 f(x + ∆x) − f(x) = Df(x) · ∆x + o(|∆x|X), ∀ x ∈ Dx. 现取 x = η(y), ∀ y ∈ Bµ0 (y0), ∆x = η(y + ∆y) − η(y), 则 ∆x = f ◦ η(y + ∆y) − f ◦ η(y) = y + ∆y − y = ∆y, ∆y = Df(x) · (η(y + ∆y) − η(y)) + o(|η(y + ∆y) − η(y)|X). 此处要求: ∃ (Df) −1 (x) ∈ L (X; X), ∀ x ∈ Bλ1 (x0). 由于 ∃ Df(x0) ∈ L (X; X) 可逆, 故在选定 Bµ0 (x0) 时, 就可使得对 ∀ x ∈ Bµ0 (x0), 都有 ∃ (Df) −1 (x). 由于 |η(y + ∆y) − η(y)|X < 2 (Df) −1 (x0) L (X;X) |∆y|X , 9