习题讲解 思考题:向画满间隔为a的平行直线的桌面上任意投放一三角 形。假定三角形的三条边长l1,l2,l3均小于a。求此三角形与另直 线相交的概率 解:记 A={三角形与平行线相交} A1={第条边与平行线相交}
❙❑➅➌ ❙❑ù✮ ❣⑧❑➭➉①÷♠❹➃a✛➨✶❺❶✛❙→þ❄➾Ý➌➌♥✍ ✴✧❜➼♥✍✴✛♥❫❃⑧l1, l2, l3þ✂✉a✧➛❞♥✍✴❺✱❺ ❶❷✂✛❱➬✧ ✮➭ P A = {♥✍✴❺➨✶❶❷✂} Ai = {✶i❫❃❺➨✶❶❷✂} ❑A = A1 ∪ A2 ∪ A3✧❞❭④➼♥✚ P (A) = X 3 i=1 P (Ai) − X 1≤i<j≤3 P (AiAj ) + P (A1A2A3) Ü ★ ✮ ❱➬Ø➘✿
习题讲解 思考题:向画满间隔为a的平行直线的桌面上任意投放一三角 形。假定三角形的三条边长l1,l2,l3均小于a。求此三角形与某直 线相交的概率。 记 A={三角形与平行线相交} A1={第条边与平行线相交} 则A=A1∪A2∪A3。由加法定理得 P(4)=∑P(A)-∑P(414) 1≤i<j≤3 +P(A1A2A3)
❙❑➅➌ ❙❑ù✮ ❣⑧❑➭➉①÷♠❹➃a✛➨✶❺❶✛❙→þ❄➾Ý➌➌♥✍ ✴✧❜➼♥✍✴✛♥❫❃⑧l1, l2, l3þ✂✉a✧➛❞♥✍✴❺✱❺ ❶❷✂✛❱➬✧ ✮➭ P A = {♥✍✴❺➨✶❶❷✂} Ai = {✶i❫❃❺➨✶❶❷✂} ❑A = A1 ∪ A2 ∪ A3✧❞❭④➼♥✚ P (A) =X 3 i=1 P (Ai) − X 1≤i<j≤3 P (AiAj ) + P (A1A2A3) Ü ★ ✮ ❱➬Ø➘✿
另一方面,平行线和三角形相交的充分必要条件是和三角形的两 条边相交,即 A=∪(414) 1≤i<j≤3
❙❑➅➌ ✱➌➄→➜➨✶❶Ú♥✍✴❷✂✛➾➞✼❻❫❻➫Ú♥✍✴✛ü ❫❃❷✂➜❂ A = [ 1≤i<j≤3 (AiAj ) ✷❣⑤❫❭④ú➟➀➧✚✔ P (A) = X 1≤i<j≤3 P (AiAj ) − 3 2 P (A1A2A3) + P (A1A2A3) ✺➾✔ P (Ai) = 2li aπ , P (A1A2A3) = 0 ➀✚ P (A) = 1 2 X 3 i=1 P (Ai) = l1 + l2 + l3 aπ Ü ★ ✮ ❱➬Ø➘✿
另一方面,平行线和三角形相交的充分必要条件是和三角形的两 条边相交,即 A 1 再次利用加法公式可以得到 P(4)=∑P(A4) 1≤i<j3 注意到 P(4)=2 P(A1A2A3)=0 可得 P(4)=2∑P(A) l1+l2+l3
❙❑➅➌ ✱➌➄→➜➨✶❶Ú♥✍✴❷✂✛➾➞✼❻❫❻➫Ú♥✍✴✛ü ❫❃❷✂➜❂ A = [ 1≤i<j≤3 (AiAj ) ✷❣⑤❫❭④ú➟➀➧✚✔ P (A) = X 1≤i<j≤3 P (AiAj ) − 3 2 P (A1A2A3) + P (A1A2A3) ✺➾✔ P (Ai) = 2li aπ , P (A1A2A3) = 0 ➀✚ P (A) = 1 2 X 3 i=1 P (Ai) = l1 + l2 + l3 aπ Ü ★ ✮ ❱➬Ø➘✿
习题讲解 P59习题32:用概率想法证明对任何正整数a<A有 A A A 1) a 1+ A-1(4-1)(A-2) (A-a)(A 1)…2·1 (A-1)(A-2)…(a+1)a 解:仅需证明 1 (A-a)!(A-k)la (A-a-k+1)
❙❑➅➌ ❙❑ù✮ P59❙❑32➭❫❱➬➂④②➨é❄Û✔✒êa < A❦ A a = 1 + A − a A − 1 + (A − a)(A − a − 1) (A − 1)(A − 2) + · · · + (A − a)(A − a − 1)· · · 2 · 1 (A − 1)(A − 2)· · ·(a + 1)a ✮➭ ❂■②➨ 1 = A X−a+1 k=1 (A − a)! (A − k)!a (A − a − k + 1)!A! ⑧➘➉➙❦a❻①➙➜A − a❻ç➙➜➑❣❄➾Ø➌↔❧➉➙ò ➙➵Ñ✧é✉1 ≤ k ≤ A − a + 1➜P Bk = {➘❣➵✔①➙✛❣ê➃k} ❑➹Bk♣Ø❷◆➜❹Ω = SA−a+1 k=1 Bk✧ Ü ★ ✮ ❱➬Ø➘✿