单边Z反变换的积分公式可以直接从Z变换的定义式推导出 来。由 F(z)= ∑ f(k)z k k=0 f() k F(z)zd 2兀j (6.2-6) 式(626)叫做Z反变换的积分公式,是Z反变换的一般 表达式,由于围线C包围了的所有孤立奇点(极点),故此积 分式可运用留数定理来进行运算,所以又称为留数法,其 表达式为 f(k)=∑ResF()1n (6.2-7) 式中,pn是围线C内F()的极点,Re为极点pn的留数
单边Z反变换的积分公式可以直接从Z变换的定义式推导出 来。由 （6.2-6） 式（6.2-6）叫做Z反变换的积分公式，是Z反变换的一般 表达式，由于围线C包围了的所有孤立奇点(极点)，故此积 分式可运用留数定理来进行运算，所以又称为留数法，其 表达式为 （6.2-7） 式中，pm是围线C内F(z)z k-1的极点， Res[.]为极点pm的留数。 F z f k z k k ( ) = ( ) = − 0 − = C k f k F(z)z dz 2 j 1 ( ) 1 z p m k m f k F z z = − ( ) =Re s[ ( ) ] 1
63Z变换的性质 求一个序列的Z变换最基本的方法是按定义进行几何级数的 求和。当序列较复杂时,这种方法会很不方便。为此,我们 从另一个途径出发,弄清Z变换的性质,即序列时域和Z域间 的关系,可以由一些简单序列的Z变换导出复杂序列的Z变换, 由此简化Z变换及Z反变换的运算。由于Z变换的不少性质与拉 氏变换的性质相似,从而能进一步地理解Z变换 由于我们所讨论的是单边Z变换。因此不存在圆内收敛或圆 环收敛问题。如果F(z)收敛,它必然是在某一圆外,所不同的 是圆的大小而已。因此,如无特殊需要,我们都省去对它的 收敛域的标注。 1.线性 Z变换是一种线性运算。这个性质只需根据Z变换的定义即 可直接推出。它与拉氏变换的线性性质相当
6.3 Z变换的性质 求一个序列的Z变换最基本的方法是按定义进行几何级数的 求和。当序列较复杂时，这种方法会很不方便。为此，我们 从另一个途径出发，弄清Z变换的性质，即序列时域和Z域间 的关系，可以由一些简单序列的Z变换导出复杂序列的Z变换， 由此简化Z变换及Z反变换的运算。由于Z变换的不少性质与拉 氏变换的性质相似，从而能进一步地理解Z变换。 由于我们所讨论的是单边Z变换。因此不存在圆内收敛或圆 环收敛问题。如果F(z)收敛，它必然是在某一圆外，所不同的 是圆的大小而已。因此，如无特殊需要，我们都省去对它的 收敛域的标注。 1. 线性 Z变换是一种线性运算。这个性质只需根据Z变换的定义即 可直接推出。它与拉氏变换的线性性质相当
2.移序(移位)性 若f()<>F(z)则∫(k+1)<>zF(z)-2(0 这一性质又称左移序性质,与拉氏变换的时域微分性 质相当。 若f(4)分>F(z)则f(k-1)4>zF(z)+f(-1) 这一性质又称右移序性质,与拉氏变换的时域积分性 质相当。 将上述性质加以推广,有 f(k-m)E(k-m)>F(z) Z变换的移序性质能将关于(k)的差分方程转化为关于 F()的代数方程,它对简化分析离散时间系统起着重要的 作用
2. 移序(移位)性 这一性质又称左移序性质，与拉氏变换的时域微分性 质相当。 这一性质又称右移序性质，与拉氏变换的时域积分性 质相当。 将上述性质加以推广，有 Z变换的移序性质能将关于f(k)的差分方程转化为关于 F(z)的代数方程，它对简化分析离散时间系统起着重要的 作用。 若 f (k) F(z) 则 f (k +1) zF(z) −zf (0) f (k) F(z) f (k −1) z F(z) + f (−1) 若 则 - 1 ( ) ( ) z (z) - f k m k m F m − −
3.比例性(尺度变换) 若f(k)分F(2)则af(k)<>F z C 4.Z域微分 若f()分F(z)则kf(k)>-z dF(z) dz 5.时域卷积定理 若f(k)<>F1(z)2(k)<>F2(z) 则f(k)*厂2(k)<>F(z)F2(z) 时域卷积定理表明两个离散函数在时域中的卷积的Z变换, 等于这两个离散函数的Z变换的乘积,对该乘积进行Z反变换 就可以得到这个离散函数的卷积。它与拉氏变换的时域卷积 定理具有完全相同的形式,它们在联系时域和Z域的关系中 起着十分重要的作用
3. 比例性（尺度变换） 4. Z域微分 5. 时域卷积定理 时域卷积定理表明两个离散函数在时域中的卷积的Z变换， 等于这两个离散函数的Z变换的乘积，对该乘积进行Z反变换 就可以得到这个离散函数的卷积。它与拉氏变换的时域卷积 定理具有完全相同的形式，它们在联系时域和Z域的关系中 起着十分重要的作用。 f (k) F(z) a a f k F k z 若 则 ( ) f (k) F(z) z F k f k d d ( ) ( ) z 若 则 −z ( ) ( ) f 1 k F1 z ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 f k f k F z F z 若 则 ( ) ( ) f 2 k F2 z
6.序列求和 利用时域卷积定理,可以得到序列求和的Z变换式 若f(k)F(z)则∑[f(m) z F(z 7.初值定理 若f(k)台F(z)且mF(z)存在 则 f(0)=lim F(z (63-16) 8.终值定理 若f(k)>F(z),且(k)的终值()存在, f(∞)<>lm(z-1)F(z) (63-19)
6. 序列求和 利用时域卷积定理，可以得到序列求和的Z变换式。 7. 初值定理 且 存在； （6.3-16） 8. 终值定理 若 ，且 f(k) 的终值 f(∞) 存在， 则 （6.3-19） f (k) F(z) ( ) 1 [ ( )] 0 z z F z f n k n − = 若 则 若 f (k) F(z) 则 ( ) lim ( 1) ( ) 1 f z - F z z→ lim F(z) z→ f (0) lim F(z) z→ = f (k) F(z)