东北财经大学：《概率论与数理统计》课程教学设计（教案讲义，任课教师：于洋）.pdf_P11-P15

《概率论与数理统计》教学设计学时课程名称概率论与数理统计（第3周）3《概率论与数理统计》是一门面向全校本科学生开设的大学数学基础课程，这门课的任务是以丰富的背景、巧妙的思维和有趣的结论吸引学生，使学生在浓厚的兴趣中学习和掌握学情分析概率论与数理统计的基本概念、方法和理论。本课程共54学时，18周，每周3学时。大学二年级学生，第3次上本课程。学生大一时已学过《高等数学》，普遍掌握了微积分的基本知识，并且已经学习了《概率论与数理统计》前2周的课程，有能力学习本周课程。1.知识目标：掌握研究随机现象统计规律性的方法和工具，熟悉概率论与数理统计知识在经济、金融和管理等领域的应用。2.能力目标：对随机现象进行建模和统计决策，洞察和揭示数据背后的统计规律性。教学目标3.素质目标：具有随机观念和统计思维，具有跨学科知识融合和创新意识，具有正确认识间题、分析问题和解决问题的能力，具有探索未知、追求真理、勇攀科学高峰的责任感和使命感。课堂教学以学生为中心，从实际间题出发，引导学生积极思考和相互讨论，激发学生学习主动性，加强师生互动，让学生在浓厚的兴趣中学习和掌握概率论与数理统计知识。挖掘课程教学思想思政元素，有机融入课程教学，达到润物无声的育人效果。理论讲授、例题讲解、课堂练习相结合，注重科学思维方法的训练和科学伦理的教育，培养学生探索未知、追求真理、勇攀科学高峰的责任感和使命感。教科书：《概率论与数理统计》（第5版），盛骤，谢式千，潘承毅编，高等教育出版社2019。参考书：①《概率论与数理统计习题全解指南（浙大第5版）》，盛骤，谢式千，潘承毅编，高等教育出版社2020。②《概率论与数理统计教程》（第3版），苏诗松，程依明，濮晓龙编著，高等教育课程资源出版社2019。③《概率论与数理统计》，李博纳，赵新泉编著，高等教育出版社2006。电子资源：《概率论与数理统计习题册》（第一章）pdf、教科书pdf、参考书pdf。网络资源：https：//www.icourse163.org/中国大学Mo0C平台“国家精品”课程。第3周：第一章概率论的基本概念第五节条件概率第六节独立性1.掌握乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式；教学内容2.理解事件独立性的概念；3.在课程教学中把马克思主义立场观点方法的教育与科学精神的培养结合起来，提高学生正确认识问题、分析问题和解决问题的能力。教学重点：乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式；事件独立性的判断。教学重点与难点教学难点：独立性在计算中的应用。从实际问题出发，理论讲授、例题讲解、课堂练习相结合。选择问题导向型教学法、讨论教学方法与工具法、讲授法、练习法，并挖掘课程思政元素，有机融入课程教学，以润物细无声的形式作用于学生。使用黑板写板书，并使用多媒体投银幕。教学安排教学环节教师行为预设学生行为设计意图【口头叙述】简要复习【学生回忆】温故而知新。声音清晰，语速适中，叙述（5分钟）回忆上周课程的重点和难点。上周课程主要知识点。【小组讨论】【口头讲授】实际间题导入激发学生兴趣，唤起学生叙述实际问题，引出本周课课堂与同学一起讨论生活中有趣（10分钟）求知欲望。程的主要知识点。的随机现象

《概率论与数理统计》教学设计课程名称概率论与数理统计（第 3 周）学时 3 学情分析《概率论与数理统计》是一门面向全校本科学生开设的大学数学基础课程，这门课的任务是以丰富的背景、巧妙的思维和有趣的结论吸引学生，使学生在浓厚的兴趣中学习和掌握概率论与数理统计的基本概念、方法和理论。本课程共 54 学时，18 周，每周 3 学时。大学二年级学生，第 3 次上本课程。学生大一时已学过《高等数学》，普遍掌握了微积分的基本知识，并且已经学习了《概率论与数理统计》前 2 周的课程，有能力学习本周课程。教学目标 1.知识目标：掌握研究随机现象统计规律性的方法和工具，熟悉概率论与数理统计知识在经济、金融和管理等领域的应用。 2.能力目标：对随机现象进行建模和统计决策，洞察和揭示数据背后的统计规律性。 3.素质目标：具有随机观念和统计思维，具有跨学科知识融合和创新意识，具有正确认识问题、分析问题和解决问题的能力，具有探索未知、追求真理、勇攀科学高峰的责任感和使命感。教学思想课堂教学以学生为中心，从实际问题出发，引导学生积极思考和相互讨论，激发学生学习主动性，加强师生互动，让学生在浓厚的兴趣中学习和掌握概率论与数理统计知识。挖掘课程思政元素，有机融入课程教学，达到润物无声的育人效果。理论讲授、例题讲解、课堂练习相结合，注重科学思维方法的训练和科学伦理的教育，培养学生探索未知、追求真理、勇攀科学高峰的责任感和使命感。课程资源教科书：《概率论与数理统计》（第 5 版），盛骤，谢式千，潘承毅编，高等教育出版社 2019。参考书：①《概率论与数理统计习题全解指南（浙大第 5 版）》，盛骤，谢式千，潘承毅编，高等教育出版社 2020。 ②《概率论与数理统计教程》（第 3 版），茆诗松，程依明，濮晓龙编著，高等教育出版社 2019。 ③《概率论与数理统计》，李博纳，赵新泉编著，高等教育出版社 2006。电子资源：《概率论与数理统计习题册》(第一章)pdf、教科书 pdf、参考书 pdf。网络资源：https://www.icourse163.org/ 中国大学 MOOC 平台“国家精品”课程。教学内容第 3 周：第一章概率论的基本概念第五节条件概率第六节独立性 1.掌握乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式； 2.理解事件独立性的概念； 3.在课程教学中把马克思主义立场观点方法的教育与科学精神的培养结合起来，提高学生正确认识问题、分析问题和解决问题的能力。教学重点与难点教学重点：乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式；事件独立性的判断。教学难点：独立性在计算中的应用。教学方法与工具从实际问题出发，理论讲授、例题讲解、课堂练习相结合。选择问题导向型教学法、讨论法、讲授法、练习法，并挖掘课程思政元素，有机融入课程教学，以润物细无声的形式作用于学生。使用黑板写板书，并使用多媒体投银幕。教学安排教学环节教师行为预设学生行为设计意图简要复习（5 分钟）【口头叙述】声音清晰，语速适中，叙述上周课程主要知识点。【学生回忆】回忆上周课程的重点和难点。温故而知新。实际问题导入（10 分钟）【口头讲授】叙述实际问题，引出本周课程的主要知识点。【小组讨论】课堂与同学一起讨论生活中有趣的随机现象。激发学生兴趣，唤起学生求知欲望

【写板书】注重科学思维方法的训【记笔记】板书理论讲授和例题讲解相结练，培养探索未知、追求真认真听讲，记纸质笔记或电子笔（80分钟）合，恰当处理逻辑严谨性与理、勇攀科学高峰的责任记。生动直觉的关系感和使命感。通过课堂练习检验学生课【出题】【思考与解答】课堂练习堂学习效果，使学生具备布置练习题，预留时间让学思考练习题并给出解答，认真聆（30分钟）运用知识分析和解决问题生做，然后给出详细解答。听教师讲解正确答案并反思。的能力。【总结和布置作业】多做习题是打好数学基础教学巩固对本次课主要知识点进行【记录作业】的必由之路。编发高质量（10分钟）梳理总结，使学生掌握教学认真聆听，记录作业题目。习题册，让学生对知识的掌握更牢固。重点和难点，并布置作业。深入挖掘课程思政元素，有机融入课程教学，达到润物无声的育人效果。通过课堂观察、提教学评价问、练习等方式对学生学习效果进行评价，及时调整语速和课程进度。收集学生反馈意见，不断改进教学方法，提高教学效果。预习任务预习随机变量的概念、离散型随机变量。课后作业《概率论与数理统计习题册》（第一章）16#一57#$1.5条件概率二、乘法公式对于两个事件A与B,如果P(A)>0,则有P(AB)=P(A)P(B[A);如果 P(B)>0,则有 P(AB)=P(B)P(A|B)。-般地,P(A,A, ...A,)=P(A,)P(A,IA)P(A, IA,A,)...P(A, A,A,An-I)P16例3，P17例4注AUAAUAAA=AUAUA三、全概率公式和贝叶斯公式定理（全概率公式）如果事件A,A，,A构成一完备事件组，且P(4)>0,i=1,2,,n，则对任一事件 B,有 P(B)=之 P(4,)P(BI A.),板书设计i=1定理（贝叶斯公式）设事件A,A2，,A,构成一完备事件组，且P(A)>0,i=1,2,…",n，对任一事件B，若P(B)>0,有P(Am)P(BIAm)P(Am|B) =m=1,2,...,nZBIA注贝叶斯公式又称后验概率公式或逆概率公式，用它进行的判断方法，称为贝叶斯决策。随着大数据时代的到来，贝叶斯公式所蕴含的思想之深刻，远远超出般人的想象和认知。课程思政元素：介绍人工智能科技案例，如垃圾邮件的识别、智能手机自动翻译、Siri的语音识别等很多人工智能（AI）现象的关键算法核心都是贝叶斯公式

板书（80 分钟）【写板书】理论讲授和例题讲解相结合，恰当处理逻辑严谨性与生动直觉的关系【记笔记】认真听讲，记纸质笔记或电子笔记。注重科学思维方法的训练，培养探索未知、追求真理、勇攀科学高峰的责任感和使命感。课堂练习（30 分钟）【出题】布置练习题，预留时间让学生做，然后给出详细解答。【思考与解答】思考练习题并给出解答，认真聆听教师讲解正确答案并反思。通过课堂练习检验学生课堂学习效果，使学生具备运用知识分析和解决问题的能力。教学巩固（10 分钟）【总结和布置作业】对本次课主要知识点进行梳理总结，使学生掌握教学重点和难点，并布置作业。【记录作业】认真聆听，记录作业题目。多做习题是打好数学基础的必由之路。编发高质量习题册，让学生对知识的掌握更牢固。教学评价深入挖掘课程思政元素，有机融入课程教学，达到润物无声的育人效果。通过课堂观察、提问、练习等方式对学生学习效果进行评价，及时调整语速和课程进度。收集学生反馈意见，不断改进教学方法，提高教学效果。预习任务预习随机变量的概念、离散型随机变量。课后作业《概率论与数理统计习题册》(第一章)16#—57# 板书设计 §1.5 条件概率二、乘法公式对于两个事件 A 与 B, 如果 P ( A ) > 0,则有 ; 如果 P ( B ) > 0,则有。一般地， P16 例 3，P17 例 4 注 . 三、全概率公式和贝叶斯公式定理（全概率公式）如果事件构成一完备事件组，且，则对任一事件 B , 有 . 定理（贝叶斯公式）设事件构成一完备事件组，且，对任一事件 B , 若 P ( B ) > 0 ,有 m = 1 , 2 , . , n . 注贝叶斯公式又称后验概率公式或逆概率公式，用它进行的判断方法，称为贝叶斯决策。随着大数据时代的到来，贝叶斯公式所蕴含的思想之深刻，远远超出一般人的想象和认知。课程思政元素：介绍人工智能科技案例，如垃圾邮件的识别、智能手机自动翻译、Siri 的语音识别等很多人工智能（AI）现象的关键算法核心都是贝叶斯公式。 P(AB) = P(A)P(B | A) P(AB) = P(B)P(A | B) ( ) ( ) ( | ) ( | ) ( | ) P A1A2 An = P A1 P A2 A1 P A3 A1A2 P An A1A2 An−1 A A A A A A A A A 1 1 2 1 2 3 1 2 3 = A A An , , , 1 2  P A i n i ( )  0, = 1,2,  , = = n i P B P Ai P B Ai 1 ( ) ( ) ( | ) A A An , , , 1 2  P A i n i ( )  0, = 1,2,  , = = n i i i m m m P A P B A P A P B A P A B 1 ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( | )

探讨概率统计理论是如何应用到实际问题建模的，理解这一简洁但是强大的贝叶斯公式的深刻思想内涵。激发学生科技报国的家国情怀和使命担当。练一箱产品装100件，其含0,1,2件次品是等可能的，开箱检验时从中随机地抽取10件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收，已知该箱产品通过了验收，求其中确实没有次品的概率解设A=（该箱产品通过验收）,B=（该箱产品中有i件次品），i=0,12,C8_891C99_ 9,i=0,1,2, P(A|B)=1, P(A|B,)=P(A|B2)=P(B)=C1%11010Cl00989由全概率公式得 P(A)=ZP(B,)P(A|B)=×2.71=0.9,10°110213由贝叶斯公式得 P(B,[4)=P(B)P(4/B)1= 0.37.2.71P(A)P19例5设市场上某种商品由甲、乙、丙三个厂家同时供货，已知三家工厂供货的份额分别为15%，80%.5%，各厂家供货的次品率分别为2%，1%，3%，现从市场上任意选购一件该商品：（1）求买到的该商品是次品的概率：（2）经检验发现买到的该商品是次品，求这件商品是由内厂供货的概率解设A=[买到的是次品}，B,Bz,B,分别表示该商品是由甲厂、乙厂、丙厂供货的，由题设知P(B)=0.5,P(B,)=P(B)=0.25（1）由全概率公式,P(A)=P(AB)+P(AB,)+P(AB,)ZP(B)P(4|B)=0.15×0.02+0.8×0.01+0.05×0.03=0.0125;isl(2）由贝叶斯公式,P(B[4)-(B)()_0-15x0=0.240.0125P(A)P19例6据一份资料报导，人群中患肺癌的概率为0.1%，在人群中有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率为0.3%：（1）求不吸烟者患肺癌的概率：（2）已知某个人患肺癌，求此人是不吸烟者的概率，解设A={患肺癌}，B={吸烟者},(1)由全概率公式,P(A)=P(AB)+P(AB)=P(B)P(A|B)+P(B)P(AB)代入数据得0.001=0.2×0.003+0.8×P(AB)，故P(AB)=0.0005;P(B)P(4|B)_ 0.8×0.0005=0.4（2）由贝叶斯公式，P(BA)=0.001P(A)P19例7、P20例8练建立“狼来了"模型，记事件A=小孩说谎”，事件B="小孩可信”，不妨假设过去村民对小孩的信任程度为P(B)=0.8，可信的孩子说的概率为P(AB)=0.1，不可信的孩子说谎的概率为P(A/B)=0.5。小孩第一次说谎后，村民对小孩的可信度为多大？即P(B|A)=?利用贝叶斯公式计算可得0.444。当小孩第二次说谎后，在0.444可信度的基础上，再一次应用贝叶斯公式，计算得到村民对小孩的可信度降为0.138。由此可见，当小孩两次说谎之后，他的可信度由最初的0.8迅速降低为0.138，村民也就不会再相信小孩了

探讨概率统计理论是如何应用到实际问题建模的，理解这一简洁但是强大的贝叶斯公式的深刻思想内涵。激发学生科技报国的家国情怀和使命担当。练一箱产品装件, 其含件次品是等可能的, 开箱检验时从中随机地抽取件, 如果发现有次品, 则认为该箱产品不合要求而拒收. 已知该箱产品通过了验收, 求其中确实没有次品的概率. 解设该箱产品通过验收}, 该箱产品中有件次品} 由全概率公式得由贝叶斯公式得 P19 例 5 设市场上某种商品由甲、乙、丙三个厂家同时供货, 已知三家工厂供货的份额分别为 , 各厂家供货的次品率分别为 , 现从市场上任意选购一件该商品.（1）求买到的该商品是次品的概率;（2）经检验发现买到的该商品是次品, 求这件商品是由丙厂供货的概率. 解设买到的是次品} , 分别表示该商品是由甲厂、乙厂、丙厂供货的, 由题设知（1）由全概率公式, P( A) = P AB P ( 1 2 3 ) + ( AB B ) + P A( ) ( ) ( ) 3 1 i i i P B P A B = =  ; （2）由贝叶斯公式, P19 例 6 据一份资料报导, 人群中患肺癌的概率为在人群中有是吸烟者, 他们患肺癌的概率为 .（1）求不吸烟者患肺癌的概率;（2）已知某个人患肺癌, 求此人是不吸烟者的概率. 解设患肺癌} , 吸烟者} , （1）由全概率公式, 代入数据得故 ; （2）由贝叶斯公式, . P19 例 7、P20 例 8 练建立“狼来了”模型，记事件 A =“小孩说谎”，事件 B=“小孩可信”，不妨假设过去村民对小孩的信任程度为 P(B)=0.8 ，可信的孩子说谎的概率为 P(A|B)=0.1，不可信的孩子说谎的概率为 P(A|B)=0.5。小孩第一次说谎后，村民对小孩的可信度为多大？即 P(B|A)=? 利用贝叶斯公式计算可得 0.444。当小孩第二次说谎后，在 0.444 可信度的基础上，再一次应用贝叶斯公式，计算得到村民对小孩的可信度降为 0.138。由此可见，当小孩两次说谎之后，他的可信度由最初的 0.8 迅速降低为 0.138，村民也就不会再相信小孩了。 100 0,1, 2 10A = Bi = i , 0,1,2, i = ( ) 1 , 0,1, 2, 3 P B i i = = ( ) ( ) ( ) 10 10 99 98 0 1 2 10 10 100 100 9 89 1, , , 10 110 C C P A B P A B P A B C C = = = = = ( ) ( ) ( ) 2 0 i i i P A P B P A B = =  1 9 89 1 1 2.71 0.9, 3 10 110 3   = + + =  =     ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 0.37. 2.71 P B P A B P B A P A = = = 15%, 80%, 5% 2%, 1%, 3% A = 1 2 3 B B B , , P B( 1 ) = 0.5, P B P B ( 2 3 ) = = ( ) 0.25 =  +  +  = 0.15 0.02 0.8 0.01 0.05 0.03 0.0125 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0.15 0.02 0.24 0.0125 P B P A B P B A P A  = = = 0.1%, 20% 0.3% A = B = P A P AB P AB P B P A B P B P A B ( ) = + = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 0.001 0.2 0.003 0.8 , =  +  P A B ( ) P A B ( ) = 0.0005 ( ) ( ) ( ) ( ) 0.8 0.0005 0.4 0.001 P B P A B P B A P A  = = =

课程思政元素：“狼来了”的模型告诉学生做人做事都要讲诚信，人无信则不立。在当下我们每个人都有诚信档案，诚信记录跟随我们一生，同时也全方位地影响着每个人点滴生活。 §1.6 独立性一、两个事件的独立性定义设是两个事件, 如果则称事件与事件相互独立, 简称独立. 否则称与不相互独立. P21 例 1 注两个事件相互独立的含义是它们中一个已发生, 不影响另一个发生的概率. 性质 1 若或 1, 则与任何其他事件独立. 证设 , 对任意 , 由于于是又故所以性质 2 不可能事件与任何其他事件独立. 必然事件与任何其他事件独立. 性质 3 若与与与与中有一对独立, 则另外三对事件也独立. 证不妨设与独立, 则性质 4 设则与独立性质 5 设则与独立注 “独立”与“互不相容”是两个没有任何关系的概念. 与互不相容从而与独立但不一定为练设与互不相容, 且问与是否独立? 解不独立. 因为有 ; 而 . 练设则与的关系是互不相容. 相互独立. 不相互独立. 互为对立. 练设事件与事件相互独立, 求（1）得（2）（3）练设事件与事件相互独立, 则 . A B, P AB P A P B ( ) = ( ) ( ), A B A B P A( ) = 0 A B P A( ) =1 B P A P B P B ( ) ( ) = ( ); 1 ,  = + − P A B P A P B P AB ( ) ( ) ( ) ( ) P AB P A P B P B ( )  + − = ( ) ( ) 1 , ( ) P AB P B ( )  ( ), P AB P B ( ) = ( ), P AB P A P B ( ) = ( ) ( ).  S A B, A B, A B, A B A B P AB P A B P A P B P A P B ( ) = = − − + ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) = − − =     1 1 . P A P B P A P B ( ) ( ) ( ) ( )     P A( )  0, A B  = P B A P B ( ) ( ). 0 1,   P A( ) A B  = = P B P B A P B A ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) P AB P B P AB P AB P B A P B A P A P A P A − =  = = − 证  − = −  = P AB P AB P A P A P B P A P AB P AB P A P B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). A B  =  AB . P AB ( ) = 0. A B  = P AB P A P B ( ) ( ) ( ). P AB ( ) 0. A B P A P B ( )   0, 0, ( ) A B AB =, P AB ( ) = 0 P A P B ( ) ( )  0 0 1, 0 1, 1,     + = P A P B P A B P A B ( ) ( ) ( ) ( ) A B ( ) ( A ) ( B) (C) ( D ) A B P A P A B ( ) = = 0.5, 0.8, ( ) P A B P A P B P B ( ) = − = − = 1 1 0.5 0.8, ( ) ( ) ( ) P B( ) = 0.4, P B( ) = 0.6. P A B P AB P A P B ( − = = = ) ( ) ( ) ( ) 0.2. P A B P AB ( ) = = ( ) 0.7. A B P A( ) = 0.4, P B( ) = 0.2, P A B B ( ) = 0.4