例5.33略。 定理53.4设总体X具有二阶矩，即EX=4,aX=2<+0,x1,x2,,xn为从该 总体中得到的样本，x和S2分别是样本均值与样本方差，则 EX-Earor,EsVark ' 证明略。 §5.4三大抽样分布 一、x分布（卡方分布） 1、定义541设X,X,,X,独立同标准正态分布M0,,则X2=立X的分布称 为自由度为n的x2分布，记为x2-x2(m) x()的密度函数为：p(x)= 1xe宁，0 2r5 1、性质 1°可加性若X~x2(),Y~x2(m)且X与y独立，则。X+Y~x2(m+n 证明略。 2°若X~x2(n),则EX=n,aX=2n 3°x2分布的分位数 定义若x2~x2(m),对给定的a,0<a<1,称满足 P(x2≤x2.(n)=1-a 的x(n)是自由度为n的x己分布的1-a分位数。 注1°要会查x2分位数。 2°【一分布、F一分布仍有相应的分位数定义 二、F一分布
例 5.3.3 略。 定理 5.3.4 设总体 X 具有二阶矩，即 2 EX = ,VarX = < + , n x , x , , x 1 2 为从该 总体中得到的样本， x 和 2 S 分别是样本均值与样本方差，则 2 2 2 , 1 1 = = , = = ES = VarX = n VarX n EX EX VarX 。 证明 略。 §5.4 三大抽样分布 一、 2 分布（卡方分布） 1、定义 5.4.1 设 X X Xn , , , 1 2 独立同标准正态分布 N(0,1)，则 = = n i Xi 1 2 2 的分布称 为自由度为 n 的 2 分布，记为 ~ ( ) 2 2 n . ( ) 2 n 的密度函数为： 1 1 2 2 2 1 ( ) 2 ( ) 2 n x n p x x e n − − = ，x>0。 1、 性质 1 可加性 若 ~ ( ), ~ ( ) 2 2 X n Y m 且 X 与 Y 独立，则。 ~ ( ) 2 X +Y m + n 证明 略。 2 若 ~ ( ) 2 X n , 则 EX=n, VarX=2n。 3 2 分布的分位数 定义 若 ~ ( ) 2 2 n ，对给定的 ，0 1，称满足 ( − ( )) = 1− 2 1 2 P n 的 ( ) 2 1− n 是自由度为 n 的 2 分布的 1− 分位数。 注 1 要会查 2 分位数。 2 t—分布、F—分布仍有相应的分位数定义。 二、F—分布
h定义段X~2mr~训且r与r维立，则路F:侣的公态为自由 度为mm的F分布，记为FF(mn,mn分别为分子、分母的自由度 F(m,)的密度函数可由商的分布来推导，此处略。 2、性质 (1)若F~F(m,)则F~Fnm 2)Fem,）=Fmm 1 三、一分布 1、定义 定义5设机变量X服从MQ,且与y独立则的分布 为自由度为n的1分布，记为m). )分布的密度可由商的分布公式来推导，此处略，但必须注意： 注)向分布的密度函数为偶函数从而P1时，O,。 (②)例分布当n充分大时(n≥30)，可用M0,1)分布近似 2、性质 (1)若1-(n),则t2-F(1,n): 四、Fisher定理及其推论 1、Fisher定理 定理541设x,x2,…,x是米自正态总体N(4,02)的样本，和2分别是样本均值与 样本方差，则 (-N): a"r-2-ra-: (3)x与s2独立。 证明略。 注(1)在证明Th5.41的过程中有一重要结论即：独立同NQ,1)分布的随机变量经过正交 变换后得到的仍是独立同N(O,1)分布的随机变量。 白证明思路x,,,X,州，乃，儿，邀，而后研究经 过两步变换得到的随机变量之间的关系。 2、三个推论
1、定义 设 ~ ( ), ~ ( ) 2 2 X m Y n ，且 X 与 Y 独立，则称 / / X m F Y n = 的分布为自由 度为(m,n)的 F 分布，记为 F~F（m,n），m、n 分别为分子、分母的自由度。 F（m,n）的密度函数可由商的分布来推导，此处略。 2、性质 （1） 若 ~ ( , ) 1 ~ ( , ), F n m F F F m n 则 。 （2） ( , ) 1 ( , ) 1 F n m F m n − = 。 三、t—分布 1、定义 定义 5.4.3 设随机变量 X 服从 2 N Y n X Y (0,1), ~ ( ), , 且 与 独立 则称 / X t Y n = 的分布 为自由度为 n 的 t 分布,记为 t~t(n)。 t(n)分布的密度可由商的分布公式来推导,此处略,但必须注意： 注(1) t(n)分布的密度函数为偶函数,从而 n>1 时,Et=0。 (2) t(n)分布当 n 充分大时(n≥30),可用 N(0,1)分布近似。 2、性质 (1) 若 ~ ( ), ~ (1, ) 2 t t n 则t F n ； (2) 1 t n t n ( ) ( ). = − − 四、Fisher 定理及其推论 1、Fisher 定理 定理 5.4.1 设 n x , x , , x 1 2 是来自正态总体 ( , ) 2 N 的样本, 2 x和s 分别是样本均值与 样本方差，则 (1) ) 1 ~ ( , 2 n x N ； (2) = − − = − n i i x n n s x x 1 2 2 2 2 ( ) ~ ( 1) ( 1) ； (3) 2 x与s 独立。 证明 略。 注(1) 在证明 Th5.4.1 的过程中有一重要结论即：独立同 N(0,1)分布的随机变量经过正交 变换后得到的仍是独立同 N(0,1)分布的随机变量。 (2) 证明思路: , , , , , , , , , , 1 2 n 1 2 n 1 2 n x x x ⎯⎯⎯→y y y ⎯⎯⎯→z z z 标准化 正交化 而后研究经 过两步变换得到的随机变量之间的关系。 2、三个推论
推论54.1设x,x2,,xn是来自正态总体N(4,G2)的样本，x,s2为样本均值、样本方 差则1=n-四-a-. 分析按一分布定义来证。 证明略。 推论542设x1,x2,…,xm是来自N(4,o)的样本，片，2，，y,是来自N(山，O) 的样本，且两样本相互独立，记 2成2-22，- m台 则防F=子F0m-Ln-小.特别自0=0时F-号Fm-Ln- 分析据F-分布的定义结合Th54.1 证明略。 推论5.4.3在推论5.4.2的记号下，设o=σ2=σ2，则有 x-y-(4,-4,) (m+n-2)。 (m-1)s+(n-1)s子1,1 m+n-2Vm 证明略
推论 5.4.1 设 n x , x , , x 1 2 是来自正态总体 ( , ) 2 N 的样本, 2 x,s 为样本均值、样本方 差,则 ~ ( 1) ( ) − − = t n s n x t 。 分析 按 t—分布定义来证。 证明 略。 推论 5.4.2 设 m x , x , , x 1 2 是来自 ( , ) 2 N 1 1 的样本, n y , y , , y 1 2 是来自 ( , ) 2 N 2 2 的样本,且两样本相互独立,记 2 1 2 1 1 2 2 1 ( ) 1 1 , 1 ( ) , 1 1 , 1 = = = = − − − = = − = = n i y i n i i m i x i m i i y y n y s n x x y m x s m x , 则有 ~ ( 1, 1) 2 2 2 2 1 2 = F m − n − s s F y x 。特别当 2 2 2 1 = 时, ~ ( 1, 1). 2 2 = F m − n − s s F y x 分析 据 F—分布的定义结合 Th5.4.1。 证明 略。 推论 5.4.3 在推论 5.4.2 的记号下,设 2 2 2 2 1 = = ,则有 ~ ( 2) 1 1 2 ( 1) ( 1) ( ) 2 2 1 2 + − + + − − + − − − − t m n m n m n m s n s x y x y 。 证明 略
第六章参数估计 一、教材说明 本章内容包括参数估计中基本的概念、参数估计的两种方法及评价估计量的四个标准。 它们是参数估计最基本的内容，是以后学习参数估计其他内容的基础。 1、教学目的与敕学要求 1)使学生了解参数估计中最基木的占估计及相关橱今 )使学生掌握矩估计及最大似然估计的 法 (3) 使学生掌握评价估计量优劣的四个标准，尤其是前三个标准， (4)使学生了解矩估计、最大似然估计的原理。 2、本章的重点 本章重点是求未知参数的矩估计与最大似然估计的方法以及如何对求出的估计量的优 良性进行评价。 教学内容 本章主要分2节来讲述。 §6.1点估计的几种方法 一、参数估计问题 这里所指的参数是指如下三类未知参数： 1、类型已知的分布中所含的未知参数日。如二点分布b(L,p)中的概率pP:正态分布 N(4,σ2)中的4和c2; 2、分布中所含的未知参数0的函数：如正态分布N(4,σ2)的变量X不超过给定值a 的概率P(X≤a=(a-凸)是未知参数4，G的函数： 3、分布的各种特征数也都是未知参数，如均值EX,方差X,分布中位数等等。 一般场合，常用日表示参数，参数日所有可能取值的集合称为参数空间，记为日。参数 估计问恩就是根据样本对上述各种参数做出估计。 二、概率函数 总体X的概率函数p(x,)是指：当X为离散型总体时，p(x,)就是总体的分布列：当 X为连续性总体时，P(x,)就是总体的密度函数。 三、参数估计形式 分为点估计与区间估计。 设x,2，…，xn是来自总体的样本，我们用一个统计量0=0(x,…,x,)的取值作为0的 估计值，0称为日的点估计量，简称估计。若给出参数日的估计是一个随机区间（但，），使 这个区间（但，）包含参数真值的概率大到一定程度，此时称（但，）为参数日的区间估计。 四、矩法估计
第六章 参数估计 一、教材说明 本章内容包括参数估计中基本的概念、参数估计的两种方法及评价估计量的四个标准。 它们是参数估计最基本的内容,是以后学习参数估计其他内容的基础。 1、 教学目的与教学要求 (1) 使学生了解参数估计中最基本的点估计及相关概念; (2) 使学生掌握矩估计及最大似然估计的方法; (3) 使学生掌握评价估计量优劣的四个标准,尤其是前三个标准; (4) 使学生了解矩估计、最大似然估计的原理。 2、 本章的重点 本章重点是求未知参数的矩估计与最大似然估计的方法以及如何对求出的估计量的优 良性进行评价. 二、教学内容 本章主要分 2 节来讲述。 §6.1 点估计的几种方法 一、参数估计问题 这里所指的参数是指如下三类未知参数： 1、 类型已知的分布中所含的未知参数 。如二点分布 b(1, p)中的概率 p；正态分布 ( , ) 2 N 中的 和 2 ; 2、 分布中所含的未知参数 的函数：如正态分布 ( , ) 2 N 的变量 X 不超过给定值 a 的概率 ( ) ( ) − = a P X a 是未知参数 , 的函数； 3、 分布的各种特征数也都是未知参数，如均值 EX，方差 VarX，分布中位数等等。 一般场合，常用 表示参数，参数 所有可能取值的集合称为参数空间，记为 。参数 估计问题就是根据样本对上述各种参数做出估计。 二、概率函数 总体 X 的概率函数 p(x, ) 是指：当 X 为离散型总体时， p(x, ) 就是总体的分布列；当 X 为连续性总体时， p(x, ) 就是总体的密度函数。 三、参数估计形式 分为点估计与区间估计。 设 n x , x , , x 1 2 是来自总体的样本，我们用一个统计量 ( , , ) 1 ^ ^ n = x x 的取值作为 的 估计值， ^ 称为 的点估计量，简称估计。若给出参数 的估计是一个随机区间 ( , ) ，使 这个区间 ( , ) 包含参数真值的概率大到一定程度，此时称 ( , ) 为参数 的区间估计。 四、矩法估计