中国科学A辑：数学2009年第39卷第3期：373~384 www.scichina.com math.scichina.com ◇中阳科烂〉条志社 基于经验似然的Value-at-Risk模型的评价 万法 魏正红①②*，温松桥①②，朱力行@ ①深圳大学数学与计算科学学院，深圳518060 。香港浸会大学数学系。香港 E-mail:weizhenghong2006@yahoo.com.cn 摘要Value-at-Risk(VaR)是度量市场风险的一个基本工具，自从VaR概念提出以来】 涌现出大量方法用于VR估计，因此在统计意义下，如何检验这些方法的有效性，以及如 何比较不同VR模型从而选择出最好的方法，就成为人们非常关注的问愿.本文提出了利 用经脸似然法来评估和比较不同的Value-.at-Risk模型.模拟和实证分析表明经验似然方法 比已有的方法有效和稳健。 关健词 Value--at-Risk波动率经验似然设定检验非套检验 MSC(2000)主题分类62G10,62P20,91B30 1引言 风险管理是金融机构、金融监管当局、非金融机构和资产管理公司非常关注的重要问 题.Value--at-Risk(VaR)是一种度量某一个金融资产的市场风险的方法.它是指当市场正常 波动时，在一定的持有期和置信水平下，某一金融资产所面临的最大可能的损失.关于VR 的详细介绍，可参见综述文献山以及专著2- 风险管理领域的发展非常迅速，酒现出了大量的VR的估计方法.目前已有的方法大 致包括六类.最简单的方法是历史模拟法(History Simulation),该方法是利用基于历史数据 的样本分位数去估计VaR,见文献5,61.另一类普遍使用的方法是基于GARCH模型的参 数估计方法，见文献[亿，8.极值理论是测量极端市场情况下风险损失的另一种方法，它是基 于最小或最大次序统计量的分布，焦点在分布的尾部概率，关于这种方法见文献9,10.第四 类方法是条件自回归Value-at-Risk模型，简称为CAViaR模型，该方法是由Engle等提 出的，主要思想是将研究的问题由收益的分布转为直接对分位数的研究。他们用自回归的方 法确定分位数随时间的变化规律.文中使用了Koenker等提出的分位数回归的方法来估计未 知的参数.为了扩展模型的使用范围，Fan等到提出了时间相依的半参方法，这个方法是 Cham等提出的用于动态期限结构的时间齐性半参模型的推广.最后一类方法是Chn 引用格式：魏正红，温松桥，朱力行.基于经验似然的Vaue-a-R1sk模型的评价方法.中同科学A,209,393373 g2882bi&ogbaadmhaiomadVaaetikmadsacan
中国科学 A 辑: 数学 2009 年 第 39 卷 第 3 期 : 373 ∼ 384 www.scichina.com math.scichina.com 基于经验似然的 Value-at-Risk 模型的评价 方法 魏正红 ① ②∗, 温松桥 ① ②, 朱力行 ② ① 深圳大学数学与计算科学学院, 深圳 518060 ② 香港浸会大学数学系, 香港 * E-mail: weizhenghong2006@yahoo.com.cn 收稿日期: 2007-10-29; 接受日期: 2008-11-20 香港研究局研究基金 (批准号: HKBU 2030/07P) 和广东省自然科学基金 (批准号: 2008276) 资助项目 摘要 Value-at-Risk (VaR) 是度量市场风险的一个基本工具. 自从 VaR 概念提出以来, 涌现出大量方法用于 VaR 估计, 因此在统计意义下, 如何检验这些方法的有效性, 以及如 何比较不同 VaR 模型从而选择出最好的方法, 就成为人们非常关注的问题. 本文提出了利 用经验似然法来评估和比较不同的 Value-at-Risk 模型. 模拟和实证分析表明经验似然方法 比已有的方法有效和稳健. 关键词 Value-at-Risk 波动率 经验似然 设定检验 非嵌套检验 MSC(2000) 主题分类 62G10, 62P20, 91B30 1 引言 风险管理是金融机构、金融监管当局、非金融机构和资产管理公司非常关注的重要问 题. Value-at-Risk (VaR) 是一种度量某一个金融资产的市场风险的方法. 它是指当市场正常 波动时, 在一定的持有期和置信水平下, 某一金融资产所面临的最大可能的损失. 关于 VaR 的详细介绍, 可参见综述文献 [1] 以及专著 [2–4]. 风险管理领域的发展非常迅速, 涌现出了大量的 VaR 的估计方法. 目前已有的方法大 致包括六类. 最简单的方法是历史模拟法 (History Simulation), 该方法是利用基于历史数据 的样本分位数去估计 VaR, 见文献 [5, 6]. 另一类普遍使用的方法是基于 GARCH 模型的参 数估计方法, 见文献 [7, 8]. 极值理论是测量极端市场情况下风险损失的另一种方法, 它是基 于最小或最大次序统计量的分布, 焦点在分布的尾部概率, 关于这种方法见文献 [9, 10]. 第四 类方法是条件自回归 Value-at-Risk 模型, 简称为 CAViaR 模型, 该方法是由 Engle 等 [11] 提 出的, 主要思想是将研究的问题由收益的分布转为直接对分位数的研究. 他们用自回归的方 法确定分位数随时间的变化规律. 文中使用了 Koenker 等提出的分位数回归的方法来估计未 知的参数. 为了扩展模型的使用范围, Fan 等 [13] 提出了时间相依的半参方法, 这个方法是 Chan 等 [14] 提出的用于动态期限结构的时间齐性半参模型的推广. 最后一类方法是 Chen 引用格式: 魏正红, 温松桥, 朱力行. 基于经验似然的 Value-at-Risk 模型的评价方法. 中国科学 A, 2009, 39(3): 373– 384 Wei Z H, Wen S Q, Zhu L X. Empirical likelihood-based evaluations of Value at Risk models. Sci China Ser A, 2009, 52, DOI: 10.1007/s11425-009-0050-6
魏正红等：基于经验似然的Value-at-.Risk模型的评价方法 等可提出的基于特殊的密度函数的核密度估计法，该方法可以解决一些相依问题.Cm 等同利用平滑的经验似然构造了弱相依过程的VR的置信区间.由于该方法依赖于分块 样本，虽然可以处理相依数据，但是窗宽的选择却是 个挑战性的问题 对银行和监管当局来说.VaR的估计方法无疑是非常重要的.但是评估不同VaR模型 的准确性同样是必须解决的问题.首先，给定一个VR的估计方法，风险管理者如何检验这 个估计模型的准确性？其次，给定两个不同的VaR估计模型，比如 一个是GARCH模型，另 一个是隐含波动率模型，那么在统计意义上如何比较这两个模型，从而选择出一个好的模型？ 目前基干假设检验的VaR模型的评估方法有三类.每个评估方法的零假设都是VaR模型 准确地估计了实际的VaR.第 一个检验方法是无条件覆盖检验，第二个是条件覆盖检验，分别 由Kupiec1可和Christoffersen1s提出.这两个检验方法都是基于例外（实际损失超过VaR 的模型检验.它们仅仅考越了整个分布的一一个百分点.所以Crnkovic等1可提出第三个检路 方法，称为分布预测检验。他们认为应该以整体概率分布函数，而不是仅仅以 一点的概 特性为基础来评估顶测的质量.在这些检验中，如果零假设被拒绝，则VaR的预测值将不能 准确地预测实际的VaR.也就是说VaR的估计摸型是“不正确的”：如果零假设不被拒绝，侧 Va的估计模型“可以认为是正确的”.由于这些检验的功效往往很低，也就是常常将不正 确的模型误判为正确的模型.Lopez2可提出了一种不基于假设检验的VaR模型的评估方法 该方法使用一种非统计的预测评价标准，其基本思想是指定一个预测的损失函数，使用该损 失函数对VaR模型的预测结果打分，根据VaR模型的得分评估其准确性，得分越高，模型的 预测效果越差，如果得分太高则拒绝该VR模型. 在Kullback-Leibler信息准则下，Christoffersen等2提出了设定检验和非嵌套检验，并 利用实际数据作了实证分析，但却没有对这些方法进行必要的模拟.一般来说，为了全面地 评估一种方法，常规的模拟是不可缺少的.本文中，我们对Christoffersen的两种检验方法做 了模拟，发现这种渐进方法不是总能得到希望的结果，因此，我们在同样的条件下考虑另 种方法，即经验似然法.经验似然法由Owem2,2网首先提出并用于构造置信区间，Ha等P 总结了该方法与传统的统计方法相比所具有的一些优点：如.用经验似然法构造置信区间时 置信区间的形状由数据自行决定，域保特性，变换不变性.还有Bartlett纠偏性等.由于这些 原因，经验似然方法被应用到各种统计模型和众多领域，如均值的光滑函数的应用问，非参 数密度和回归参数的估计26-2网，分位数估计2网等等.关于经验似然方法及其应用的详细 介绍.请参阅Own的综合性专著301l.模似和实证分析表明经验似然方法比已有的方法有 效和稳健。 本文的结构如下.在第2节，我们提出了基于经验似然的对VR模型进行检验和比较 的新方法，并详细介绍了这种方法是如何对VR模型进行检验和比较的.第3节中给出这 种方法的模拟和实证结果.最后在附录中我们给出主要定理的证明。 2基于经验似然方法的Value-at-.Risk模型的检验和比较 关于VaR模型的检验和比较，包括Christoffersen在内的一些学者已经作了一些研究 但是我们的数值研究表明这些方法不是总能给出希望的结果（参见下一节的模拟结果）在这 一节里我们将提出另一个方法一经验似然方法.我们将分别讨论设定检验和非嵌套检验. 374
魏正红等: 基于经验似然的 Value-at-Risk 模型的评价方法 等 [15] 提出的基于特殊的密度函数的核密度估计法, 该方法可以解决一些相依问题. Chen 等 [16]利用平滑的经验似然构造了弱相依过程的 VaR 的置信区间. 由于该方法依赖于分块 样本, 虽然可以处理相依数据, 但是窗宽的选择却是一个挑战性的问题. 对银行和监管当局来说, VaR 的估计方法无疑是非常重要的, 但是评估不同 VaR 模型 的准确性同样是必须解决的问题. 首先, 给定一个 VaR 的估计方法, 风险管理者如何检验这 个估计模型的准确性? 其次, 给定两个不同的 VaR 估计模型, 比如一个是 GARCH 模型, 另 一个是隐含波动率模型, 那么在统计意义上如何比较这两个模型, 从而选择出一个好的模型? 目前基于假设检验的 VaR 模型的评估方法有三类, 每一个评估方法的零假设都是 VaR 模型 准确地估计了实际的 VaR. 第一个检验方法是无条件覆盖检验, 第二个是条件覆盖检验, 分别 由 Kupiec[17] 和 Christoffersen[18] 提出. 这两个检验方法都是基于例外 (实际损失超过 VaR) 的模型检验, 它们仅仅考虑了整个分布的一个百分点, 所以 Crnkovic 等 [19] 提出第三个检验 方法, 称为分布预测检验. 他们认为应该以整体概率分布函数, 而不是仅仅以某一点的概率 特性为基础来评估预测的质量. 在这些检验中, 如果零假设被拒绝, 则 VaR 的预测值将不能 准确地预测实际的 VaR, 也就是说 VaR 的估计模型是 “不正确的”; 如果零假设不被拒绝, 则 VaR 的估计模型 “可以认为是正确的”. 由于这些检验的功效往往很低, 也就是常常将不正 确的模型误判为正确的模型, Lopez[20] 提出了一种不基于假设检验的 VaR 模型的评估方法, 该方法使用一种非统计的预测评价标准, 其基本思想是指定一个预测的损失函数, 使用该损 失函数对 VaR 模型的预测结果打分, 根据 VaR 模型的得分评估其准确性, 得分越高, 模型的 预测效果越差, 如果得分太高则拒绝该 VaR 模型. 在 Kullback-Leibler 信息准则下, Christoffersen 等 [21] 提出了设定检验和非嵌套检验, 并 利用实际数据作了实证分析, 但却没有对这些方法进行必要的模拟. 一般来说, 为了全面地 评估一种方法, 常规的模拟是不可缺少的. 本文中, 我们对 Christoffersen 的两种检验方法做 了模拟, 发现这种渐进方法不是总能得到希望的结果, 因此, 我们在同样的条件下考虑另一 种方法, 即经验似然法. 经验似然法由 Owen[22, 23] 首先提出并用于构造置信区间, Hall 等 [24] 总结了该方法与传统的统计方法相比所具有的一些优点: 如, 用经验似然法构造置信区间时, 置信区间的形状由数据自行决定, 域保持性, 变换不变性, 还有 Bartlett 纠偏性等. 由于这些 原因, 经验似然方法被应用到各种统计模型和众多领域, 如均值的光滑函数的应用 [25], 非参 数密度和回归参数的估计 [26−28], 分位数估计 [29] 等等. 关于经验似然方法及其应用的详细 介绍, 请参阅 Owen 的综合性专著 [30]. 模拟和实证分析表明经验似然方法比已有的方法有 效和稳健. 本文的结构如下. 在第 2 节, 我们提出了基于经验似然的对 VaR 模型进行检验和比较 的新方法, 并详细介绍了这种方法是如何对 VaR 模型进行检验和比较的. 第３节中给出这 种方法的模拟和实证结果. 最后在附录中我们给出主要定理的证明. 2 基于经验似然方法的 Value-at-Risk 模型的检验和比较 关于 VaR 模型的检验和比较, 包括 Christoffersen 在内的一些学者已经作了一些研究. 但是我们的数值研究表明这些方法不是总能给出希望的结果 (参见下一节的模拟结果). 在这 一节里我们将提出另一个方法 — 经验似然方法. 我们将分别讨论设定检验和非嵌套检验. 374
中国科学A辑：数学第39卷第3期 2.1基于经验似然方法的设定检验 设S,是t时刻的资产价格，若 是t时刻资产的对数收益，根据VaR的定义，它是指在一定的持有期r和置信水平1一p下， 某一金融资产所面临的最大可能的损失（在本篇文章中，我们取？=1）.更准确地说，VR, 就是下列方程的解 Pr≤VaRlw-i)= (2.1) 其中，亚：=a(S,s≤)表示t时刻的历史信息. 实际中，金融资产的收益往往具有被广泛介绍的三个特征：（波动的群聚性，（）高峰 厚尾的分布，（的）收益带有偏态特性，而且可能是时变的.考虑到这些因素，我们引入下面更 一般的模型 rt=ut+01Et 2.2) 这里：和1都是重-1-可测的，1是均值为0，方差为1的随机变量.记给定亚，-1的条件 下，r的条件分布函数为F(w)=P(≤：-)，Hw.则根据(2.1)式和上述的位置刻度 模型，我们得到 VaR()=F(p)=4+3a, 这里B是的分位数，即P(:≤)=卫.不失一般性，我们可以假设4=0（例如，首 先对原序列零均值化)。 由于(2.1)可以重新写成下列形式 E(Ir VaR(8))-plv:-1)=0. (2.3) 如果{24-1,4-2，小是亚-1可测，这里-1是t-1时刻的信息集，那么由(2.3)可以导出 Efrt,3)=:E{(I{r:≤VaR(3)}-p)k(at-1,t-2,.)}=0, (2.40 这里4=，4-4-2f,)=(≤VaR(}-pk-14-2随机变量序 列{，一1，，-2，.，}指的是在计量经济文献中常用的工具变量.在后面的模拟分析中，我们采 用的是波动率的一阶滞后作为工具变量.向量值函数k(是最简单的截距为0斜率为1的 线性函数。 定义=√fz,3),如果VaR的估计模型是正确的，那么对任意的y∈+1，我们都 有EY=0,因此我们构造如下基于的经验似然， L(g,）=maxΠp 满足条件 =1，=0 =1 根据标准的经验似然的推导过程可以证明（见文献30》 P:=T1+阿 375
中国科学 A 辑: 数学 第 39 卷 第 3 期 2.1 基于经验似然方法的设定检验 设 St 是 t 时刻的资产价格, 若 rt = log St − log St−1 = log St St−1 是 t 时刻资产的对数收益, 根据 VaR 的定义, 它是指在一定的持有期 τ 和置信水平 1 − p 下, 某一金融资产所面临的最大可能的损失 (在本篇文章中, 我们取 τ = 1). 更准确地说, VaRt 就是下列方程的解 P(rt VaRt|Ψt−1) = p, (2.1) 其中, Ψt = σ(Ss, s t) 表示 t 时刻的历史信息. 实际中, 金融资产的收益往往具有被广泛介绍的三个特征: (i) 波动的群聚性, (ii) 高峰 厚尾的分布, (iii) 收益带有偏态特性, 而且可能是时变的. 考虑到这些因素, 我们引入下面更 一般的模型 rt = μt + σtεt, (2.2) 这里 μt 和 σt 都是 Ψt−1-可测的, εt 是均值为 0, 方差为 1 的随机变量. 记给定 Ψt−1 的条件 下, rt 的条件分布函数为 Ft(w) = P (rt w|Ψt−1), ∀ w. 则根据 (2.1) 式和上述的位置-刻度 模型, 我们得到 VaRt(β) = F −1 t (p) := μt + βσt, 这里 β 是 εt 的 pth 分位数, 即 P(εt β) = p. 不失一般性, 我们可以假设 μt =0(例如, 首 先对原序列零均值化). 由于 (2.1) 可以重新写成下列形式 E(I{rt VaRt(β)} − p|Ψt−1)=0, (2.3) 如果 {zt−1, zt−2,...} 是 Ψt−1-可测, 这里 Ψt−1 是 t−1 时刻的信息集, 那么由 (2.3) 可以导出 Ef(xt, β) =: E {(I{rt VaRt(β)} − p) k(zt−1, zt−2,...)} = 0, (2.4) 这里 xt = (rt, zt−1, zt−2,...), f(xt, β)=(I{rt VaRt(β)} − p)k(zt−1, zt−2,...). 随机变量序 列 {zt−1, zt−2,...} 指的是在计量经济文献中常用的工具变量. 在后面的模拟分析中, 我们采 用的是波动率的一阶滞后作为工具变量. 向量值函数 k(·) 是最简单的截距为 0 斜率为 1 的 线性函数. 定义 Vt = γ f(xt, β), 如果 VaR 的估计模型是正确的, 那么对任意的 γ ∈ Rd+1, 我们都 有 EVt =0. 因此我们构造如下基于 Vt 的经验似然, L(β, γ) = max T i=1 pi, 满足条件 T i=1 pi = 1, T i=1 piVi = 0. 根据标准的经验似然的推导过程可以证明 (见文献 [30]) pt = 1 T (1 + λVt) , 375
魏正红等：基于经验似然的Value-at-Risk模型的评价方法 这里入满足条件 品0 那么，对数经验似然比（乘以一2）是 9:=-2ogΠTpm)=2∑og(1+A). 上述的经验似然比9包含两个未知的参数日和？，这两个参数可以用下面的方法估计倒 (房，m)=arg,） gmiu7∑epf,. (2.5 上述的估计是基于这样的直觉：如果估计模型是正确的，VaR估计应该最小化Kullback Leibler Information Criterion (KLIC). =f红，r,和p9=2∑1og(1+A). 这样我们得到下面的定理，定理的证明见附录 定理2.1在Christoffersen等的假设1-9下，对数经验似然比（乘以-2） p9=2∑1og1+A的一axi,依分布 这里a-a'/EV,a2。'-limT-eVar(∑1).等价地 ap9一x好，依分布， 上述定理表明，一个较大的a~19值表明采用的模型可能是错误的.在应用定理2.1 进行设定检验之前，我们首先需要估计未知的尺度参数a.注意到o。'=imr一，这里 =(2 1 =∑c, 台台 -Ya()+(T-jCw(V.V.) (2.6) 最后一个等式是基于序列的平稳性.在实际中我们可以用(2.6)式的前r项的相应的样 本版本去近似的估计宁，为此我们定义 =7-+--, 这里了=∑T,T.但是为了保证我们有足够的数据去估计相应的协方差，r不能取得 太大.在后面的模拟研究中，我们发现上述估计量对r的选择是相当不敏感的.当然我们也 可以用别的方法去估计'，但是相应的估计的相合性需要作进一步的研究。现在我们定义 a=说x/(T-1∑-？)，那么如果ap1>x(a),我们就拒绝零假设。 37
魏正红等: 基于经验似然的 Value-at-Risk 模型的评价方法 这里 λ 满足条件 T t=1 Vt 1 + λVt = 0. 那么, 对数经验似然比 (乘以 −2) 是 ρ˜ (1) T := −2 log T t=1 (T pt)=2 T t=1 log(1 + λVt). 上述的经验似然比 ρ˜ (1) T 包含两个未知的参数 β 和 γ , 这两个参数可以用下面的方法估计 [31], (βˆT , γˆT ) = arg max β min γ MT (β, γ) = arg max β min γ 1 T T t=1 exp (γ f(xt, β)). (2.5) 上述的估计是基于这样的直觉: 如果估计模型是正确的, VaR 估计应该最小化 Kullback Leibler Information Criterion (KLIC). 设 Vˆt = ˆγ T f(xt, βˆT ), 和 ρ (1) T = 2 T t=1 log(1 + λVˆt). 这样我们得到下面的定理, 定理的证明见附录. 定理 2.1 在 Christoffersen 等 [21] 的假设 1–9 下, 对数经验似然比 (乘以 −2) ρ (1) T = 2 T t=1 log(1 + λVˆt) −→ aχ2 1, 依分布. 这里 a = σ2 ∞ /EV 2 1 , σ2 ∞ = limT→∞ Var( √ 1 T T t=1 Vt). 等价地, a−1ρ (1) T −→ χ2 1, 依分布. 上述定理表明, 一个较大的 a−1ρ(1) T 值表明采用的模型可能是错误的. 在应用定理 2.1 进行设定检验之前, 我们首先需要估计未知的尺度参数 a. 注意到 σ2 ∞ = limT→∞ σ2 T , 这里 σ2 T = Var 1 √ T T t=1 Vt = 1 T T s=1 T t=1 Cov(Vs, Vt) = Var(V1) + 2 T T −1 j=1 (T − j)Cov(V1, V1+j ), (2.6) 最后一个等式是基于序列 Vt 的平稳性. 在实际中我们可以用 (2.6) 式的前 r 项的相应的样 本版本去近似的估计 σ2 T , 为此我们定义 σˆ2 r,T = 1 T T t=1 (Vˆt − V¯ ) 2 + 2 T r j=1 T −j t=1 (Vˆt − V¯ )(Vˆt+j − V¯ ), 这里 V¯ = T t=1 Vˆt/T . 但是为了保证我们有足够的数据去估计相应的协方差, r 不能取得 太大. 在后面的模拟研究中, 我们发现上述估计量对 r 的选择是相当不敏感的. 当然我们也 可以用别的方法去估计 σ2 ∞ , 但是相应的估计的相合性需要作进一步的研究. 现在我们定义 aˆ = ˆσ2 r,T /(T −1 T t=1 Vˆ 2 t ), 那么如果 |aˆ−1ρ (1) T | > χ2 1(α), 我们就拒绝零假设. 376
中国科学A辑：数学第39卷第3期 2.2基于经验似然方法的非嵌套检验 现在我们将问题转向不同的VaR估计模型的比较上.假定给出两个VaR估计模型 VaR,()和VaR,(0),那么矩的条件可以重新写成：f(,)=(I{r,≤VaR,()}-p)k(a-1,24-2 .),g(zt,)=(I{r≤VaR:(0)}-p)k(-1,t-2,).注意到VaR模型评估的特殊性，传统 的非嵌套检验在这里就不能够使用。这一节里，我们将利用经验似然方法研究这个问题首 先我们定义 M(mmn()mmi Efexp( N(",)=max min N(0,)max min Efexp('g(,)]. 那么在零假设成立的条件下，两个估计模型应该具有同样的KLC距离，也就是M(,Y)= N(0,X).相应的样本的KLIC距离定义为 ,学中保=学中宁泛即 2.7) ,6,)=n咖a刘=x咖宁】 exp(X'g(:.0)). (2.8) 关于KLIC距离的差，Christoffersen等证明了下列性质， VT(Mr(ar,)-Nr(r,r》一N(0,a2),依分布 (2.9) 这里 店=(2epar》-a四川 (2.10) 下面我们构造经验似然比检验来比较两个VR估计模型的差异.设 W:=expfy"f(.B)}-exp(g(.0)). W:exp(if(,Br)}-exp(rg(t,0r)}, 在零假设成立的条件下，我们有EW:=0.类似于前面构造设定检验的方法，我们有下面的 定理，定理的证明见附录 定理2.2在Christoffersen等2到的假设条件1-g下.如果零假设M(g,Y）= N(*,X)成立，我们有 p-2∑1og1+m,)一bx,依分布. 这里b=/E形2，入由下式确定 合+=0 等价地有 b2-一x子依分布 类似于定理21 当我们实际使用定理2.2时，我们需要估计未知的刻度参数6，这可以用与 设定检验里相类似的方法来处理，具体的细节在这里就省略了. 377
中国科学 A 辑: 数学 第 39 卷 第 3 期 2.2 基于经验似然方法的非嵌套检验 现在我们将问题转向不同的 VaR 估计模型的比较上. 假定给出两个 VaR 估计模型 VaRt(β) 和 VaRt(θ), 那么矩的条件可以重新写成: f(xt, β)=(I{rt VaRt(β)}−p)k(zt−1, zt−2, ...), g(xt, θ)=(I{rt VaRt(θ)} − p)k(zt−1, zt−2,...). 注意到 VaR 模型评估的特殊性, 传统 的非嵌套检验在这里就不能够使用. 这一节里, 我们将利用经验似然方法研究这个问题. 首 先我们定义 M(β∗, γ∗) = max β min γ M(β, γ) = max β min γ E[exp (γ f(xt, β))], N(θ∗, λ∗) = maxθ min λ N(θ, λ) = maxθ min λ E[exp (λ g(xt, θ))]. 那么在零假设成立的条件下, 两个估计模型应该具有同样的 KLIC 距离, 也就是 M(β∗, γ∗) = N(θ∗, λ∗). 相应的样本的 KLIC 距离定义为 MT (βˆT , γˆT ) = max β min γ MT (β, γ) = max β min γ 1 T T t=1 exp (γ f(xt, β)), (2.7) NT (ˆθT , λˆT ) = maxθ min λ NT (θ, λ) = maxθ min λ 1 T T t=1 exp (λ g(xt, θ)). (2.8) 关于 KLIC 距离的差, Christoffersen 等 [21] 证明了下列性质, √ T(MT (βˆT , γˆT ) − NT (ˆθT , λˆT )) → N(0, σ2 ∞), 依分布. (2.9) 这里 σ2 ∞ = lim T→∞ Var 1 √ T T t=1 [exp(γ∗ f(xt, β∗)) − exp(λ∗ g(xt, θ∗))] . (2.10) 下面我们构造经验似然比检验来比较两个 VaR 估计模型的差异. 设 Wt = exp{γ∗ f(xt, β∗)} − exp{λ∗ g(xt, θ∗)}, Wˆ t = exp{γˆ T f(xt, βˆT )} − exp{λˆ T g(xt, ˆθT )}, 在零假设成立的条件下, 我们有 EWt = 0. 类似于前面构造设定检验的方法, 我们有下面的 定理, 定理的证明见附录. 定理 2.2 在 Christoffersen 等 [21] 的假设条件 1–9 下. 如果零假设 M(β∗, γ∗) = N(θ∗, λ∗) 成立, 我们有 ρ(2) T = 2 T t=1 log(1 + λWˆ t) −→ bχ2 1, 依分布. 这里 b = σ2 ∞/EW1 2, λ 由下式确定: T t=1 Wˆ t 1 + λWˆ t = 0. 等价地有 b−1ρ (2) T −→ χ2 1, 依分布. 类似于定理 2.1, 当我们实际使用定理 2.2 时, 我们需要估计未知的刻度参数 b, 这可以用与 设定检验里相类似的方法来处理, 具体的细节在这里就省略了. 377